江苏省南京市2015届高三9月调研考试数学试题(含答案)

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江苏省南京市2024-2025学年高三9月学情调研考试数学含答案

南京市2025届高三年级学情调研数学 2024.09.19 注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{x |x －3＞0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＞0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，1)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知a x ＝4，log a 3＝y ，则a x ＋y ＝A ．5B ．6C ．7D ．123．已知|a |＝3，|b |＝1．若(a ＋2b )⊥a ，则cos<a ，b >＝A ．－32B ．－33C ．33D ．324．已知数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ．若S 3＝6，S 6＝3，则S 9＝A ．－18B ．－9C ．9D ．185．若a 是第二象限角，4sin2α＝tan α，则tan α＝ A ．－7 B ．－77 C ．77D ．7 6．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为A ．4B ．6C ．8D ．127．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为A ．24B ．32C ．96D ．1288．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上．若PF ＝2QF ，PF ⊥QF ，则△PFQ 的面积为A ．254B ．25C ．552D ．55二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z ，下列命题正确的是A ．若z ＋1∈R ，则z ∈RB ．若z ＋i ∈R ，则z 的虚部为－1C ．若|z |＝1，则z ＝±1D ．若z 2∈R ，则z ∈R10．对于随机事件A ，B ，若P (A )＝25，P (B )＝35，P (B |A )＝14，则 A ．P (AB )＝320 B ．P (A |B )＝16 C ．P (A ＋B )＝910 D ．P (―AB )＝1211．设函数f (x )＝1|sin x |＋8|cos x |，则 A ．f (x )的定义域为{x |x ≠k π2，k ∈Z } B ．f (x )的图象关于x ＝π4对称 C ．f (x )的最小值为5 5 D ．方程f (x )＝12在(0，2π)上所有根的和为8π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．(2x ＋1x)4展开式中的常数项是 ▲ ． 13．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 ▲ ．(第13题图)14．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，直线BF 2与C 相交于另一点A ．当cos ∠F 1AB 最小时，C 的离心率为 ▲ ．四、解答题；本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：(1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X．若用频率估计概率，求P(X＝3)．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，16．(本小题满分15分)如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，→AM＝2→MD，→CN＝2→ND．(1)求证：EF∥平面MNB；(2)若平面ACD⊥平面ABC，求直线BD与平面MNB所成角的正弦值．(第16题图)已知数列{a n }，{b n }，a n ＝(－1)n ＋2n ，b n ＝a n ＋1－λa n (λ＞0)，且{b n }为等比数列．(1)求λ的值；(2)记数列{b n ⋅n 2}的前n 项和为T n ．若T i ⋅T i ＋2＝15T i ＋1(i ∈N *)，求i 的值．18．(本小题满分17分)已知 F 1，F 2是双曲线线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，F 1F 2＝26，点T (26，10)在C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 过点D (1，0)，且与C 交于A ，B 两点．①若→DA ＝3→DB ，求△F 1F 2A 的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若|PQ |＝2，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝e x－a＋ax2－3ax＋1，a∈R．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；(2)当a＞1时，试判断f(x)在[1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．。

2015高三数学9月月考

江苏省扬中高级中学2015届高三调研试卷数学 2014.9命题：黄定方一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题纸的横线上.1. 已知集合{}{}2,,1,2A a a B ==-，若A I {}1B =-，则A U B = ▲ .2. 设复数z 满足:(1)3z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的模等于 ▲ .3. 函数2sin (0)7y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则ω= ▲ . 4. 已知向量a (,1),t =b (3,2)=-，若b a ⋅6=-，则实数t 的值是 ▲ . 5. 函数3()log (51)f x x =-的单调增区间是 ▲ .6. 若双曲线2214x y m -=的离心率为2，则m 的值是 ▲ . 7. 若函数()321xaf x =-+-为奇函数，则实数a 的值是 ▲ . 8. 若直线0x y -=与圆22(1)(1)4x y ++-=的交点为,A B ，则AB 的长是 ▲ . 9.已知,,sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ▲ . 10. 若函数2()4,[0,]f x x x x a =-∈的值域是]0,4[-，则实数a 的取值范围是 ▲ . 11. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且523a a =，若67S a λ=，则λ= ▲ .12. 已知()lg f x x =，若()2628,(0,0)f mn m n =>>，则f f += ▲ .13. 已知()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,3]上，,12()3,23a x x f x xbx x ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩ ，且7722f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b -6的值为 ▲ . 14. 定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足：①(2)()f x cf x =(c 为正常数)；②当24x ≤≤时，()13f x x =--.若函数()f x 的所有极大值点均落在同一条直线上，则c = ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知二次函数()f x 顶点坐标为(1,2)，且图象经过原点，函数()log a g x x =的图像经过点1,24⎛⎫-⎪⎝⎭. (1) 分别求出函数()f x 与()g x 的解析式；(2) 设函数()(())F x g f x =，求()F x 的定义域和值域.16. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，11BC B C 与的交点为E ，1AC AB =，F 为1AA 的中点.(1) 求证：面1FCB ⊥面1ABC ； (2) 求证：//EF 面ABCA CB1A 1C 1B EF17. 已知函数32()31,(0)f x ax x a =-+≠.(1)当1a =时，求()f x 的图像在1x =处的切线方程； (2)当0a <时，求()f x 的单调区间；(3)若对于任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.18. 某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a x -和x 的乘积成正比；②2a x =时，2y a =；③02()x t a x ≤≤-，其中t 为常数，且[0,1]t ∈.（1）设()y f x =，求()f x 表达式，并指出()y f x =的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入.19. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1⎛ ⎝⎭，离心率为2，左、右焦点分别为12F F ,.点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ,O 为坐标原点.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设直线12,PF PF 的斜率存在，且分别为12,k k .① 求证：2131k k -为定值； ② 是否存在这样的点P ，使直线,,,OA OB OC OD 的斜率之和为0？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.20. 已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且当1-=x 时，()f x 取极小值，当1x =时，()f x 取极大值为2，(2)2f =-. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若函数()1y f x k =--有两个零点，求实数k 的取值范围； (3) 设函数21()2()2(1),()()x f x x h x x t x g x h x e x -⎡⎤=+-=⋅+⎢⎥⎣⎦，若存在实数,,[0,1]a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，求实数t 的取值范围.。

2015高三数学9月月考(附加)

江苏省扬中高级中学2015届高三调研试卷
附加题 2014.9
B ．（选修4—2：矩阵与变换）本小题满分10分）
已知矩阵11x M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
　2 的一个特征值为1-，求其另一个特征值.
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
22
1164
x y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，点P 是第一象限内在椭圆上的一个动点，求PAB ∆面积S 的最大值．
班级姓名学号
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）
三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2AB =，4AC =，
13AA =．D 是BC 的中点．
（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）求二面角111B A D C --的大小的正弦值．
23．（本小题满分10分）
已知数列}{n a 满足：)(1,22*1
11N n a a a a n a n ∈+=-=-+
（1）若1-=a ，求数列}{n a 的通项公式
（2）若3=a ，试证明：对任意n a N n ,*∈是4的倍数。

南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学WORD版及答案

南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学 2015.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸．．．相应位置．．．．上． 1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．6．记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈甲乙8 9 7 8 9 3 1 0 6 9 7 8 9（第5题图）（第4题图）B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中， ABC ＝120，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则错误!·错误!的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ． 11．若将函数f (x )＝∣sin(x －6)∣(＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是 ▲ ．12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸．．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ．（1）求角A 的值；（2）求sin B ＋sin C 的取值范围．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，BC ∥AD ，P A ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ， E 为P A 的中点．（1）求证：BE ∥平面PCD ；（2）求证：平面P AB ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记AOP ＝， ∈(0，π)．（1）当＝23 时，求点P 距地面的高度PQ ；（2）试确定的值，使得MPN 取得最大值．18．（本小题满分16分）（第16题图）PABCDE（第17题图）AMNBOPQ在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线 l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m ．（1）已知点(62，1)在椭圆C 上，求实数m 的值；（2）已知定点A (－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围； ②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ，若AM → ＝λAP →，BM →＝BQ →，求证：λ＋为定值．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g (x )＝ln x ．（1）令h (x )＝f (x )＋g (x )，求证：h (x )是增函数；（2）直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切．对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．（1）求a2a1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．xy AO BMPQ（第18题图）F 2F 1l南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2015.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l '：x －y ＋2a ＝0．（1）求实数a 的值；（2）求A 2．（第21A 题图）C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝错误!(ρ∈R )交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知实数x ，y 满足x ＞y ，求证：2x ＋1x2－2xy ＋y2 ≥2y ＋3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A平面ABCD ，AD ∥BC ，ABAD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝P A ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（2）求二面角A －PD －C 的余弦值．23．（本小题满分10分）已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n }(n ≥3，n ∈N *)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f (n )．（1）求f (3)，f (4)；（2）求f (n )（用含n 的式子表示）．PABCD南京市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准 2015.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 5 2．0.74 3．4 4．6 5．甲 6．(－∞，－3] 7．4 3 8．12 9．119 10．911．32 12． 43 13．[－34，＋∞) 14．(0，1)∪{2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ．从而sin B ＝2sin B cos A ． ………………………… 4分因为sin B ≠0，所以cos A ＝12．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3． ………………………… 7分（2）sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(2π3－B )＝sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋π6)． ………………………… 11分因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6．所以sin B ＋sin C 的取值范围为(32，3]． ………………………… 14分16．证明：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ．因为E 为P A 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC ．所以四边形BCFE 为平行四边形．所以BE ∥CF ． ………………………… 4分因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． ………………………… 6分（2）因为AB ＝PB ，E 为P A 的中点，所以P A ⊥BE ．因为BE ∥CF ，所以P A ⊥CF ． ………………………… 9分因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，PD ∩CF ＝F ，所以P A ⊥平面PCD ． ………………………… 12分因为P A平面P AB ，所以平面P AB平面PCD ． ………………………… 14分 17．解：（1）由题意，得PQ ＝50－50cos．从而，当＝23 时，PQ ＝50－50cos 23＝75．即点P 距地面的高度为75m ． ………………………… 4分（2）（方法一）由题意，得AQ ＝50sin，从而MQ ＝60－50sin，NQ ＝300－50sin．又PQ ＝50－50cos，所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin 1－cos ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin5－5cos．………………………… 6分从而tanMPN ＝tan(NPQ －MPQ )＝tan NPQ －tan MPQ1＋tan NPQ tan MPQ ＝6－sin 1－cos －6－5sin5－5cos 1＋6－sin 1－cos × 6－5sin5－5cos ＝12(1－cos )23－18sin －5cos． ………………………… 9分令g ( )＝12(1－cos )23－18sin －5cos，∈(0，π)，PABCDEF（第16题图）则g ()＝12×18(sin ＋cos －1)(23－18sin －5cos )2 ， ∈(0，π)．由g()＝0，得sin＋cos－1＝0，解得＝ 2．………………………… 11分当 ∈(0，2)时，g ( )＞0，g ( )为增函数；当 ∈(2，)时，g( )＜0，g ( )为减函数，所以，当＝ 2时，g ( )有极大值，也为最大值．因为0＜MPQ ＜NPQ ＜2，所以0＜MPN ＜2，从而当g ( )＝tan MPN 取得最大值时，MPN 取得最大值．即当＝ 2时，MPN 取得最大值． ………………………… 14分（方法二）以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)．设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0．从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x0y0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x0y0．………………………… 6分从而tanMPN ＝tan(NPQ －MPQ )＝tan NPQ －tan MPQ1＋tan NPQ tan MPQ ＝300－x0y0 － 60－x0y01＋300－x0y0 ×60－x0y0 ＝24y010y0－36x0＋1800．由题意知，x 0＝50sin ，y 0＝50－50cos，所以tanMPN ＝＝12(1－cos )23－18sin －5cos． ………………………… 9分（下同方法一）18．解：（1）设椭圆C 的方程为 x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎨⎧a2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ，解得⎩⎨⎧a2＝m ＋1，b2＝m ，c ＝1．所以椭圆方程为x2m ＋1＋y2m＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m＝1，解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． ………………………… 4分（2）①设点T (x ，y )．由TATF1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2． ………………… 6分由⎩⎨⎧x2＋y2＝2，x2m ＋1＋y2m ＝1，得y 2＝m 2－m ．因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2．所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈[33，22]． ………………………… 10分②（方法一）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则错误!＝(x 0＋2，y 0)，错误!＝(x 1＋2，y 1)．由错误!＝错误!，得错误!从而⎩⎨⎧x0＝x1＋2(－1)，y0＝y1．………………………… 12分因为x022＋y 02＝1，所以[x1＋2(－1)]22＋(y 1)2＝1．即2(x122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x122＋y 12＝1，代入得2(－1)x 1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，故x 1＝－3－12，所以x 0＝－32．同理可得x 0＝－＋32． ………………………… 14分因此－32＝－＋32，所以＋＝6． ………………………… 16分（方法二）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．直线AM 的方程为y ＝y0x0＋2(x ＋2)．将y ＝y0x0＋2(x ＋2)代入x22＋y 2＝1，得(12(x 0＋2)2＋y 20)x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2 ＝0(*)．因为x022＋y 02＝1，所以（*）可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0．因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x0＋42x0＋3．同理x 2＝3x0－42x0－3． ………………………… 14分因为错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以＋＝x0＋2x1＋2＋x0－2x1－2＝x0＋2－3x0＋42x0＋3＋2＋x0－23x0－42x0－3－2＝(x0＋2)(2x0＋3)x0＋2＋(x0－2)(2x0－3)－x0＋2＝6．即λ＋为定值6． ………………………… 16分 19．解：（1）由h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2－x ＋t ＋ln x ，得h' (x )＝2x －1＋1x，x ＞0．因为2x ＋1x≥22x·1x＝22，所以h' (x )＞0，从而函数h (x )是增函数． ………………………… 3分（2）记直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，x 12－x 1＋t )，(x 2，ln x 2)，由f'(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 12－x 1＋t )＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 12＋t ．由g'(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 2＝1x2(x －x 2)，即y ＝1x2· x ＋ln x 2－1．所以⎩⎨⎧ 2x1－1＝1x2，－x12＋t ＝lnx2－1．(*)消去x 1得ln x 2＋(1＋x2)24x22－(t ＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分令F (x )＝ln x ＋(1＋x)24x2－(t ＋1)，则F'(x )＝1x －1＋x 2x3＝2x2－x －12x3＝(2x ＋1)(x －1)2x3，x ＞0．由F'(x )＝0，解得x ＝1．当0＜x ＜1时，F'(x )＜0，当x ＞1时，F'(x )＞0，所以F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )min ＝F (1)＝－t ． ………………………… 9分当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分当t ＞0时，F (1)＜0，由于F (e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0，故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分令k (x )＝ln x ＋1x －1(x ≤1)，由于k' (x )＝1x －1x2＝x －1x2≤0，故k (x )在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x )＞k (1)＝0，即ln x ＞1－1x ，从而ln x ＋(1＋x)24x2 －(t ＋1)＞(12x －12)2－t ．所以F (12(t ＋1))＞(t ＋12)2－t ＝t ＋14＞0，又0＜12(t ＋1)＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．………………………… 16分20．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a2a1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4，令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4．所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a2a1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4．两式相除，得(Sn ＋2＋S1)2(Sn ＋1＋S1)2＝a4a2，所以Sn ＋2＋S1Sn ＋1＋S1＝a4a2＝2．即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列．又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分（方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a2na2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③②－①，得a 2n ＋1＝2a2na2n ＋2－2a 2n ＝2a2n(a2n ＋2－a2n)， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a2na2n ＋2＝2a2n ＋2(a2n ＋2－a2n)， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a2na2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，所以a2n ＋2a2n ＋1＝a2n ＋1a2n ＝2．又a2a1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n －1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分（3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ．若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0． R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0．这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ．从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1．即对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ． ………………………… 16分南京市2015届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2015.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为AB 是⊙O 的切线，所以∠ABD ＝∠AEB ．又因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△BAD ∽△EAB ．所以BD BE ＝ABAE ． ………………………… 5分同理，CD CE ＝AC AE.．因为AB ，AC 是⊙O 的切线，所以AB ＝AC ．因此BD BE ＝CDCE ，即BE · CD ＝BD · CE ． ………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l '上点M (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax0＋y0x0＋ay0，所以⎩⎨⎧x ＝ax0＋y0，y ＝x0＋ay0． ………………………… 3分代入l '方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0，即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0．因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． ………………………… 6分（2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A 2＝⎣⎡⎦⎤2112⋅⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445． ………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程 x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程 y ＝x ． ………………………… 4分由⎩⎨⎧x2＋y2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2．所以A (0，0)，B (2，2)．从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ．………………………… 7分将其化为极坐标方程为：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)． …………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而左边＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y)2＋2y≥33(x －y)(x －y)1(x －y)2＋2y＝2y ＋3 ＝右边．即原不等式成立． ………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：（1）因为P A平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A AB ，P A AD ．又ADAB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．根据条件得AD ＝3．所以B (1，0，0)，D (0，3，0)，C (1，233，0)，P (0，0，2)．从而错误!＝(－1，错误!，0)，错误!＝(1，错误!，－2)．………………………… 3分设异面直线BD ，PC 所成角为，则cos＝|cos ＜→BD ，→PC ＞|＝|错误!|PABCDx yz＝|(－1，3，0)·(1，233，－2)2×193|＝5738．即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738． ………………………… 5分（2）因为AB平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为错误!＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n错误!，n错误!，错误!＝(1，错误!，－2)，错误!＝(0，错误!，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z ．不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)． ………………………… 8分设二面角A －PD －C 的大小为，则cos＝cos ＜错误!，n ＞＝错误!＝错误!＝错误!．即二面角A －PD －C 的余弦值为25． ………………………… 10分23．解：（1）f (3)＝1，f (4)＝2； ………………………… 2分（2）设A 0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n3}，A 1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}，A 2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}，它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝1，2时，f (n )＝(C 1k)3＝k 3；k ≥3时，f (n )＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k ．从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分②当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (5)＝2×2×1＝4； k ＝3时，f (n )＝f (8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f (n )＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分③当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f (n )＝f (7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f (n )＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2 C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*．所以f (n )＝⎩⎨⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． …………………… 10分。

2024-2025学年江苏省南通市高三(上)调研数学试卷(9月份)(含答案)

2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A，B，若A={−1,1}，A∪B={−1,0,1}，则一定有( )A. A⊆BB. B⊆AC. A∩B=⌀D. 0∈B2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.函数f(x)=(e x+e−x)sinx−2x在区间[−2,2]的大致图象为( )A. B. C. D.4.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则( )A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB. 若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥αC. 若l//m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD. 若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l//m5.在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=4，A1B1=2，A1A与平面ABC所成角为π4，则该三棱台的体积为( )A. 523B. 283C. 143D. 736.设a=2π，b=log2π，c=π，则( )A. c<b<aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c7.若函数f(x)={log2(x+1),−1<x≤3x+ax,x>3，在(−1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )A. [−3,9]B. [−3,+∞)C. [0,9]D. (−∞,9]8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，则a的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列函数中最小值为4的是( )A. y=lnx+4lnxB. y=2x+22−xC. y=4|sinx|+1|sinx|D. y=x2+5x2+110.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+2)−f(x)=f(1)，则( )A. f(1)=0B. f(1−x)+f(1+x)=0C. f(1+2x)=f(1−2x)D. ∑20i=1f(i)=1011.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则( )A. MN//平面ADD1A1B. MN⊥AC1C. 直线MN与平面AA1C1C所成角为π4D. 平面MND1经过棱A1B1的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2015南京三模打印版江苏省南京市2015届高三第三次模拟考试数学 Word版含答案

（1）当＝时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定的值，使得MPN取得最大值．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线
l：x＝m＋1与x轴的交，求实数m的值；
（2）已知定点A(－2，0)．

南京市2015届高三年级第三次模拟考试
数学2015.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE·CD＝BD·CE．
B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为
直线l：x－y＋2a＝0．
（1）求实数a的值；
（2）求A2．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，设圆C：＝4 cos与直线l：＝(∈R)交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
（2）直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，n∈N*，
都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n．
（1）求的值；
（2）求证：{an}为等比数列；
（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p(p≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp，Rp，且Tp＝Rp，求证：对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk．

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学 Word版含答案

南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 答案：1 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 答案：－13．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ . 答案：654．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 答案：0.3解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。

5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 答案：226．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ . 答案：42解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .答案：88．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 答案：33π 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲ .答案：512π 10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .答案： 4i ←1S ←0While i ＜8 i ←i + 3 S ←2´i + S End While Print S第6题图11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ . 答案：10 解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+c o s 16816r r r A O B r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为222OD ==，所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，10r =. 方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB =+得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：10r =. 方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+得153288OC OA OB =+，设OC 与AB 交于点M ，则A M B 、、三点共线。

南京市2015届高三第三次模拟考试数学试题及答案

南京市2015届高三年级第三次模拟考试注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．下图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．6．记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中， ABC ＝，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD ·BE的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ． 11．若将函数f (x )＝∣sin(－6)∣(＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是 ▲ ． 12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y的最大值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ．（1）求角A的值；（2）求sin B＋sin C的取值范围．16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，P A⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为P A的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面P AB⊥平面PCD．17.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．（1）已知点(62，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ，若AM → ＝λAP →，BM →＝BQ →，求证：λ＋为定值．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g (x )＝ln x ．（1）令h (x )＝f (x )＋g (x )，求证：h (x )是增函数；（2）直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切．对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N*，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．（1）求a 2a 1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 20．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ：x －y ＋2a ＝0．（1）求实数a 的值；（2）求A 2．C ．选修4－5：不等式选讲已知实数x ，y 满足x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．必做题：第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A 平面ABCD ，AD ∥BC ，AB AD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝P A ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（2）求二面角A －PD －C 的余弦值．23．（本小题满分10分）已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n } (n ≥3，n ∈N*)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f (n )．（1）求f (3)，f (4)；（2）求f (n )（用含n 的式子表示）．南京市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 5 2．0.74 3．4 4．6 5．甲 6．(－∞，－3] 7．4 3 8．12 9．119 10．911．32 12． 43 13．[－34，＋∞) 14．(0，1)∪{2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ．从而sin B ＝2sin B cos A ． ………………………… 4分因为sin B ≠0，所以cos A ＝12．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3． ………………………… 7分（2）sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(2π3－B )＝sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋π6)． ………………………… 11分因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6．所以sin B ＋sin C 的取值范围为(32，3]． ………………………… 14分16．证明：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ．因为E 为P A 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC ．所以四边形BCFE 为平行四边形．所以BE ∥CF ． ………………………… 4分因为BE 平面PCD ，CF 平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． ………………………… 6分（2）因为AB ＝PB ，E 为P A 的中点，所以P A ⊥BE ．因为BE ∥CF ，所以P A ⊥CF ． ………………………… 9分因为P A ⊥PD ，PD 平面PCD ，CF 平面PCD ，PD ∩CF ＝F ，所以P A ⊥平面PCD ． ………………………… 12分因为P A 平面P AB ，所以平面P AB 平面PCD ． ………………………… 14分17．解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1．所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m＝1，解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． ………………………… 4分（2）①设点T (x ，y )．由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2． ………………… 6分由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m＝1，得y 2＝m 2－m ．因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2．所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈[33，22]． ………………………… 10分②（方法一）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则AM ＝(x 0＋2，y 0)，AP ＝(x 1＋2，y 1)．由AM ＝AP ，得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝(x 1＋2)，y 0＝1．从而⎩⎨⎧x 0＝1＋2(－1)，y 0＝1．………………………… 12分因为x 022＋y 02＝1，所以[1＋2(－1)]22＋(1)2＝1．即2(x 122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2(－1)x 1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，故x 1＝－3－12，所以x 0＝－32．同理可得x 0＝－＋32． ………………………… 14分因此－32＝－＋32，所以＋＝6． ………………………… 16分（方法二）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得(12(x 0＋2)2＋y 20)x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2＝0(*)．因为x 022＋y 02＝1，所以（*）可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0．因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3． ………………………… 14分因为AM ＝AP ，BM →＝BQ →，所以＋＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋为定值6． ………………………… 16分 18．解：（1）由h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2－x ＋t ＋ln x ，得h' (x )＝2x －1＋1x，x ＞0．因为2x ＋1x≥22x ·1x＝22，所以h' (x )＞0，从而函数h (x )是增函数． ………………………… 3分（2）记直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，x 12－x 1＋t )，(x 2，ln x 2)，由f'(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 12－x 1＋t )＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 12＋t ．由g'(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2· x ＋ln x 2－1．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－1＝1x 2，－x 12＋t ＝ln x 2－1．(*) 消去x 1得ln x 2＋(1＋x 2)24x 22－(t ＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分令F (x )＝ln x ＋(1＋x )24x 2－(t ＋1)，则F'(x )＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2－x －12x 3＝(2x ＋1)(x －1)2x 3，x ＞0．由F'(x )＝0，解得x ＝1．当0＜x ＜1时，F'(x )＜0，当x ＞1时，F'(x )＞0，所以F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )min ＝F (1)＝－t ． ………………………… 9分当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分当t ＞0时，F (1)＜0，由于F (e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0，故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分令k (x )＝ln x ＋1x －1(x ≤1)，由于k' (x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≤0，故k (x )在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x )＞k (1)＝0，即ln x ＞1－1x ，从而ln x ＋(1＋x )24x 2 －(t ＋1)＞(12x －12)2－t ．所以F (12(t ＋1))＞(t ＋12)2－t ＝t ＋14＞0，又0＜12(t ＋1)＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．………………………… 16分19．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4，令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4．所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4．两式相除，得(S n ＋2＋S 1)2(S n ＋1＋S 1)2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2．即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列．又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分（方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分（3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ．若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0．R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0．这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ．从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1．即对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ． ………………………… 16分南京市2015届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2015.0520．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为AB 是⊙O 的切线，所以ABD ＝AEB ．又因为BAD ＝EAB ，所以△BAD ∽△EAB ．所以BD BE ＝ABAE ． ………………………… 5分同理，CD CE ＝AC AE.．因为AB ，AC 是⊙O 的切线，所以AB ＝AC ．因此BD BE ＝CDCE ，即BE · CD ＝BD · CE ． ………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l上点M (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0，所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．………………………… 3分代入l 方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0，即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0．因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． ………………………… 6分（2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A 2＝⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445． ………………… 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而左边＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2＋2y≥33(x －y )(x －y )1(x －y )2＋2y ＝2y ＋3 ＝右边．即原不等式成立． ………………………… 10分 21．解：（1）因为P A 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以P A AB ，P A AD ．又AD AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．根据条件得AD ＝3．所以B (1，0，0)，D (0，3，0)，C (1，233，0)，P (0，0，2)．从而BD ＝(－1，3，0)，PC ＝(1，233，－2)．………………………… 3分设异面直线BD ，PC 所成角为x ，则cos x ＝|cos ＜→BD ，→PC ＞|＝|BDPC ∣BD ∣∣PC ∣|＝|(－1，3，0)·(1，233，－2)2×193|＝5738．即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738． ………………………… 5分（2）因为AB 平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为 AB ＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由nPC ，nPD ，PC ＝(1，233，－2)，PD ＝(0，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z ．不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)． ………………………… 8分设二面角A －PD －C 的大小为，则cos ＝cos ＜AB ，n ＞＝AB · n∣AB ∣×∣n ∣＝(1，0，0)·(2，23，3)1×5＝25．即二面角A －PD －C 的余弦值为25． ………………………… 10分22．解：（1）f (3)＝1，f (4)＝2； ………………………… 2分（2）设A 0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n 3}，A 1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}， A 2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}，它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝1，2时，f (n )＝(C 1k)3＝k 3；k ≥3时，f (n )＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k ．从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分②当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (5)＝2×2×1＝4； k ＝3时，f (n )＝f (8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f (n )＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分③当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f (n )＝f (7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f (n )＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2 C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*．所以f (n )＝⎩⎨⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． …………………… 10分。

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第 1 页共 16 页南京市2015届高三年级学情调研卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为 ▲ ． 2．已知复数z＝11＋i，其中i是虚数单位，则|z|＝ ▲ ． 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． 4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ． 5．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝ ▲ ． 6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是 ▲ ．

7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲ ． 9．设f(x)＝x2－3x＋a．若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为 ▲ ． 10．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋2c＝2b，sinB＝2sinC，则cosA＝ ▲ ．

11．若f(x)＝ax， x≥1，－x＋3a，x＜1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 ▲ ．

12．记数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，则Sn＝ ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则

|OA→＋OB→|的最大值是 ▲ ． 14．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围

S←0 S←S＋k2

开始

输出S 结束

Y N k＞5

（第6题图）

k←1 k←k＋2 第 2 页共 16 页

为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)．（1）求φ的值；（2）若f(α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6)的值．

16．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB平面CMN．

17．（本小题满分14分）已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21， S4＋b4＝30．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

A B C B1 C1 M

（第16题图）第 3 页共 16 页

（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和． 18．（本小题满分16分）给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1

所截得的弦长为22，求实数m的值．

19．（本小题满分16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B第 4 页共 16 页

点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，a∈R．（1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x∈[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；（2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．

南京市2015届高三年级学情调研卷数学附加题 2014.09

注意事项：

· A M

N P

（第19题图） α

B 第 5 页共 16 页 1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．

定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲如图，PA是圆O的切线，A为切点，PO与圆O交于点B、C，AQOP，垂足为Q．若PA＝4，PC＝2，求AQ的长．

B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝2b13属于特征值的一个特征向量为α＝ 1－1 ．（1）求实数b，的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程．

C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝3＋32t，y＝2＋12t(t为参数 )，圆C的参数方程为x＝3＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

D．选修4—5：不等式选讲已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．

C A P O Q

（第21题A图） B 第 6 页共 16 页

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端

点的点，且CE→＝λCC1→．（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2）若λ＝25，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．

23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果奖励 1红1白 10元 1红1黑 5元 2黑 2元 1白1黑不获奖

（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．

（第22题图） A B

C D E A1

1 第 7 页共 16 页

2015届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准 2014.09 说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．π 2．22 3．32 4．12 5．5 6．35 7．2 8．3 9．(0，94] 10．24 11．[12，＋∞) 12．2－2n－1 13．8 14．(0，1) 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)，所以f(π2)＝2sin(π＋φ)＝－2，即sinφ＝1． „„„„„„„„„„„„„„„„„ 4分因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． „„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分（2）由（1）得，f(x)＝2cos2x． „„„„„„„„„„„„„„„„ 8分因为f(α2)＝65，所以cosα＝35．又因为－π2＜α＜0，所以sinα＝－45． „„„„„„„„„„„„„„ 10分所以sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝－725．„„„„„„„„ 12分从而sin(2α－π6)＝sin2αcosπ6－cos2αsinπ6＝7－24350． „„„„„„„„ 14分