浅谈地震频谱分析
地震勘探原理第2章地震信号频谱分析课件
三、采样定理和假频问题
1、采样定理
若采样频率为fs时，信号频率为f，则满足这样的条 件，即当采样频率fs大于信号频率f的2倍时，采集到的 离散信号才能完全恢复原来的连续信号。
20
a
10
第二节 傅立叶展式的重要性质
四、时延定理
设τ是一个实值常量，而
则有 u(t) S()
u(t ) S ( )e jt
五、褶积定理
u1 (t) S1 () u2 (t) S2 ()
则有
u1(t) *u2 (t) S1() S2 ()
其中，褶积定义为：
u1 (t) * u2 (t) u1 ( )u2 (t )d
若输入信号和相应的频谱为：
x(t) X ()
系统的时间响应和频率响应为： h(t) H ()
通过系统后输出信号和相应的频谱为：
y(t) Y ()
则有
y(t) x(t) h(t)
Y () Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ() H ()
19
第三节 地震波频谱的特征和应用
五、频率滤波参数的选择
有效波与干扰波频谱不重叠时，滤波器中心频率应与 有效波主频相同； 通频带越窄，选择性越好，但分辨能力降低，只适用 于厚层的研究，反之亦成立； 地层变深，地震波主频降低，因此应采取时变滤波器； 应首先对地震资料进行频谱分析，做频率扫描，了解 有效波和干扰波的频谱规律，通过试验选取合适的滤 波器。
1
信号的合成和分解
• 一个复杂的信号可以分解成不同 频率的正弦信号。
• 不是所有的信号都可以分解（哪 怕无限多个）简谐振动的。数学 上确立了确切的条件，即狄利克 莱（Dirichlet)条件。
频谱分析技术在地震波预测中的应用
频谱分析技术在地震波预测中的应用地震是一类破坏力极大的自然灾害，尤其对高楼大厦和地下工程等建筑物造成的损失更大。
如何预测并及时发布地震预警信息，对于人民群众的生命财产安全保障和社会发展具有重要意义。
频谱分析技术作为一种有效的地震波预测方法，在地震灾害研究和防灾减灾工作中得到了广泛应用。
一、频谱分析技术是什么频谱分析技术是一种经典的信号处理技术，用于研究信号的频谱特性。
频谱分析技术的基本思想是将信号分解成不同频率分量，然后分析它们的幅度、相位等属性，从而得到信号的频谱特性。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频域特征，比如频率分布、主要频率、谐波等，对于理解和处理信号具有重要意义。
二、地震波是一种短时间内产生强烈振动的波动信号，它的频谱特性与地震的产生原因、传播路程和地表反射等复杂因素有关。
通过对地震波信号的频谱分析，可以了解地震波的频谱特性，进而推断地震波传播途径、震源位置、震级等重要参数。
下面介绍几种常见的频谱分析方法：1.快速傅里叶变换（FFT）法FFT是一种计算机算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT），是频谱分析中最常用的方法之一。
它的基本思路是将时域数据转换为频域数据，得到信号的频谱特性。
FFT法适用于连续信号和离散信号的频谱分析，具有处理速度快、计算量小、精度高的优点。
2.似然比频谱估计法似然比频谱估计法是指通过最小二乘估计法求解频率分量的幅度和相位，从而得到信号的频谱特征。
它不仅能够估计频率分量，还能够估计噪声的功率谱密度，因此在低信噪比条件下仍然具有良好的性能。
3.小波分析法小波分析法是一种新型的时频分析方法，是一种能够同时分析时域和频域特性的方法。
小波分析采用小波函数作为基函数，将信号分解成不同尺度和频率的小波分量，从而得到信号的时频特性。
小波分析法适用于非平稳信号的分析，并且能够有效地提取信号中的局部频率变化和瞬态信号。
三、频谱分析技术在地震波预测中的优势频谱分析技术在地震波预测中具有以下优势：1.快速及时频谱分析方法计算速度快，可以在较短时间内完成信号处理，并及时得到地震波的频域特征，对于地震监测预警和快速响应至关重要。
地震如何利用地震波频谱分析震级
地震如何利用地震波频谱分析震级地震是地球上常见的自然灾害之一，它给人类社会造成了巨大的破坏和伤害。
了解地震的强度和规模是地震研究的重要方向之一，而地震波频谱分析是一种常用的方法，可以用来评估地震的震级。
本文将介绍地震波频谱的概念和分析方法，并说明它在地震监测和预测中的应用。
一、地震波频谱的概念地震波频谱是描述地震波能量随频率变化的图像，可以反映地震的频率特征。
根据地震波的传播路径和地质构造，地震波会以不同频率和振幅传播，形成地震波频谱。
地震波频谱通常是以频率为横坐标、能量或振幅为纵坐标绘制的曲线图。
二、地震波频谱分析方法地震波频谱分析主要有两种方法：时域分析和频域分析。
时域分析是指通过观测地震波的时域振幅变化，直接计算地震的震级。
频域分析则是通过对地震波在频域上的分解，计算地震波的频谱特征并评估地震的震级。
时域分析方法包括震级矩法和震源谱法。
震级矩法是根据地震波振幅的时间积分值，直接估计地震的总释放能量。
该方法需要对地震波形进行多次积分，计算复杂而耗时，但可以提供较为准确的震级估计。
震源谱法则是通过测量地震波振幅在不同频率范围内的衰减情况，进行频谱拟合，进而估算地震的震级。
频域分析方法主要包括功率谱法和频谱比较法。
功率谱法是通过地震波信号的傅里叶变换，得到地震波的频谱密度函数，计算地震波在各频率上的能量分布情况。
频谱比较法则是将地震波的频谱与已知震级的标准地震波进行比较，找到最佳匹配的标准地震波，从而推断地震的震级。
三、地震波频谱分析的应用地震波频谱分析在地震监测和预测中发挥着重要的作用。
首先，地震波频谱分析可以提供准确的地震震级估计，为地震研究和防灾准备提供重要依据。
震级是描述地震强度的指标，它可以反映地震的能量释放量和破坏规模。
地震波频谱分析能够通过分析地震波的频谱特征，计算出地震的震级，为灾害预警和紧急救援提供实时准确的信息。
其次，地震波频谱分析可以对地质构造和地震活动进行研究。
通过对不同地震事件的频谱特征进行比较和分析，可以揭示地震活动的规律和模式，进一步了解地球内部结构和地震产生机理。
第2章 地震信号的频谱分析
28
总之，采样不足有两个影响： （a）连续信号的频谱是带限的，最大频率是 Niquist频率； （b）数字信号的谱被Niquist频率以外的高频 所污染，它会出现在连续信号中。
20:53:16
29
20:53:16
30
20:53:16
31
20:53:16
32
第二节 傅立叶变换的重要性质
一
唯一性定理
u1 ( )u2 (t )d S1() S 2()
u1 (t )* u 2 (t) u1( )u 2(t ) d
两个函数褶积的频谱等于它们的频谱的乘积
20:53:16
38
傅里叶变化实例
1, x 0 f ( x) 1,0 x
u(t)
S(ω)
给定u（t），只能求出一种展式； 给定展式，也只能定出一种u（t）。
20:53:16
33
20:53:16
34
二
线性叠加定理
a1u1 (t ) a 2u2 (t ) .......... a N uN (t ) ......
a1S1 ( ) a2 S2 ( ) ....... aN S N ( )
一 基本概念
频谱分析：frequency spectral analysis
就是利用傅立叶方法对振动信号进行分解并进而对 它进行研究和处理的一种过程 傅立叶：Fourier
F ( )
f (t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( )e jt d
20:53:16
20
2)
激发条件对地震波频谱有一定的影响 在用炸药激发，药量增大时
短时频谱分析在地震探测中的应用研究
短时频谱分析在地震探测中的应用研究地震是地球上最常见的自然现象之一，对人类社会和环境造成了巨大的影响。
因此，地震的准确探测和预测一直以来都是地球科学领域的热门研究课题。
在地震探测中，短时频谱分析成为了一种非常重要的手段。
本文将探讨短时频谱分析在地震探测中的应用，并介绍其原理、方法和优势。
短时频谱分析是一种将时间和频率结合起来进行信号分析的方法。
它通过对时间序列信号进行窗函数处理，然后进行傅里叶变换，得到该时间段内的频谱信息。
短时频谱分析对于地震信号的处理非常重要，因为地震信号包含丰富的频谱信息，从而可以提供有关地震的许多重要参数。
首先，短时频谱分析可以提供地震信号的频谱特征。
地震事件通常会在不同的频率范围内产生能量，这些能量的分布可以揭示地震的一些重要特征，如震级和震源深度。
通过对地震信号进行短时频谱分析，可以快速获取频谱特征，帮助地震学家和地震工程师更好地理解地震源的特性。
其次，短时频谱分析可以提供地震信号的时间变化图像。
地震信号随着时间的推移会发生变化，而这些变化可以反映地震发生时的动力学过程。
通过对地震信号进行短时频谱分析，可以得到一系列的时间频率图像，揭示地震信号在时间域和频率域上的演变规律。
这些图像可以帮助地震学家研究地震的起伏变化，从而更好地理解地震活动过程。
此外，短时频谱分析可以提供地震信号的强度和能量分布信息。
在地震探测中，确定地震的震级和能量释放情况是非常重要的。
通过对地震信号进行短时频谱分析，可以得到地震信号在时间和频率上的分布情况，从而推断地震的强度和能量分布情况。
这些信息对于预测地震可能对地区造成的破坏具有重要意义。
总之，短时频谱分析在地震探测中具有广泛的应用前景。
它可以提供地震信号的频谱特征、时间变化图像以及强度和能量分布信息。
这些信息对于地震学家和地震工程师来说非常重要，可以帮助他们更好地了解地震现象，预测地震破坏情况以及改善地震防灾减灾工作。
未来，随着技术的不断发展和研究的深入，短时频谱分析在地震探测中的应用将进一步扩大和深化。
第2章地震勘探频谱分析
地震勘探原理主讲人：王守东地震勘探原理第2章地震波运动学理论第3章地震资料采集方法与技术第5章地震资料解释的理论基础23第2+章地震信号的频谱分析频谱分析的数学基础是付立叶(Fourier)分析。
第2+章地震信号的频谱分析第二节傅里叶展式的重要性质第四节线性时不变系统的滤波方程5第一节频谱分析概述二、频谱图6一、信号的合成与分解一、信号的合成与分解一、信号的合成与分解一、信号的合成与分解就是利用付立叶方法来对振动信号进行分解并进而对它进行研究和处理的一种过程。
9一、信号的合成与分解一个复杂的振动信号，可以看成是由许多简谐分量叠加而成；那许多简谐分量及其各自的振幅、频率和初相，就叫做那复杂振动的频谱11狄利克莱（Dirichlet)条件狄利克莱（Dirichlet)条件，任意一个区段内，1)信号f(t)除有限个间断点外都连续，2)仅有有限个极大和极小值。
这是傅里叶级数展开的充分必要条件。
能分解的振动曲线不能分解的振动曲线12第一节频谱分析概述二、频谱图13二、频谱图2、频谱的描述141、函数的傅里叶展开ωωπωd e S t u t j )(21)(∫∞∞−=dte t u S t j ∫∞∞−−=ωω)()(注意：S(ω)是复值函数1、函数的傅里叶展开15 1、函数的傅里叶展开171、函数的傅里叶展开182、频谱的描述频宽Δω= ω2-ω1二、频谱图2、频谱的描述19第一节频谱分析概述二、频谱图2021第2+章地震信号的频谱分析第二节傅里叶展示的重要性质第四节线性时不变系统的滤波方程22第二节傅里叶展示的重要性质二、线性叠加定理四、时延定理23一、唯一性定理所谓唯一性是说u （t ）和S （ω）是一一对应的。
给定了u （t ），只能求出一种展式，而不可能求出互不相等的两种展式，反过来，给了一个展式，也只能定出一种u （t ），而不可能得到两个不同的u （t ）。
用符号表示出来就是)()(ωS t u ↔24二、线性叠加定理设有N 个函数以及N 个常数（可以是实数，也可以是复数）)(),(),(21t u t u t u N L L Na a a L L ,,21)()()()()(22112211ωωωN N N N S a S a S a u a t u a t u a +++↔↔+++L L L L 则有)(,)(),(21ωωωN S S S L L )()(),(21t u t u t u N L L 的频谱分别是25三、时标变换定理)()/(ωa aS a t u ↔)()(ωS t u ↔)/(1)(a S aat u ω↔设则或26四、时延定理设τ是一个实值常量，而则有)()(ωS t u ↔()()j u t S e ωττω±±↔U(t-τ)和u(t)的关系定理的含意：1)在时间曲线上，两者差τ。
地震勘探频谱及分辨率简述
OR0之间反射的时间差是半个周期， 认为R0R1半径内的信号能够互相加强， 小于R0R1半径的地质体在地震剖面上 无法识别。
R0R1= 0.5λh
f=
Vh 2（R0R1）2
频率与地质体半径的平方成反比
V=λ·f
A∝
1 S
随着地层压实和成岩作用，地震波传播速度变大，导致波长变
大。同时振幅与传播距离成反比，地震波能量减少。
地震分辨率随深度增加而降低
1、地震波长变大 2、地震波能量变小 3、高频成份衰减
频率、波长与分辨率 地震波垂直最大分辨率 h > λ 4 一般分辨率 h >
λ 2
地震波在某一层岩层中的传播速度是一定的 V V=λ·f h> 2f 所以子波中的高频成份越多，λ值就越小，能够分辨的层厚h就越薄
二个要点： 1、地震子波，也就是激发条件 2、界面反射系数，也就是不同地层的波阻抗差 简单的自激自收模型
频谱
傅里叶变换能将符合条件的脉冲信号分解为多 个简谐信号，反之可以认为该子波信号是多个简 谐信号的叠加，这是我们开展地震属性分析的前 提。 地震记录是子波到达地层界面后反射形成的一 连串振动记录，也可以分解为多个简谐信号，以 振幅为Y轴，频率为X轴，绘制频谱图，从而研究 地震记录的频率成份
物探原理 地球物理研究偏重于数学算法，而忽略了本身的物理意义，本人从理论出发， 结合研究实际，探讨一下地震资料分析及运用方面的一些看法 首先简单描述下地震激发接收过程
检波器记录
地震激发产生一个脉冲信号，该信号在传播 过程中称为子波 子波在传播过程中遇到地层界面就会产生反 射，用检波器采集反射信号，从而形成了一道 地震记录，运用该地震记录就能研究地下地层 信息（声波测井合成记录就是用褶积算法模拟 该过程）
浅谈地震频谱分析
bn ：正弦分量的分量
注：这种类型与前表中一般函数以 2l 为周期的函数情况一致，不同之处在于此式为等式，
将
l
T 2
带入原式得到（1）式
3、复数形式的傅里叶级数
由公式
sin(t)
1 2j
(e
jt
e
jt
)
cos(t)
1 2
(e
jt
e
jt
)
得
sin(nt)
1 2j
(e
jnt
e
jnt
)
cos(nt)
1 2
x(t) A0 An sin(n0t n ) n1
（6）
或 x(t) B0 Bn cos(n0t n ) （将（1）式中所有三角函数用cos表示出来） n1
将（6）式展开
x(t) A0 [ An cosn sin(n0t) An sinn cos(n0t)] n1
将（7）式与（1）式对比
这种类型与前表中一般函数以2l为周期的函数情况一致不同之处在于此式为等式带入原式得到1式3复数形式的傅里叶级数由公式为负频率是由复数引起的从实数的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数是由用复数表示正余弦引起的
浅谈地震频谱分析
在地震勘探中经常要对单道地震数据进行频谱分析，目的是为了将复杂地震波曲线时 域显示转换为频域显示的一种过程。比较简单的一种理解是：复杂地震波可以分解成为许 多许多不同振幅、频率和初相位角的正弦波之和，将其中的两项作为自变量和因变量画在 一个直角坐标系中，由振幅和频率组成的为振幅谱，由初相位和频率组成的为相位谱。下 面详细介绍频谱分析公式推导过程。
an
bn
0 2 l
l f (x) sin n
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x(t) cne jn0t t [t0 , t0 T ] n
式中： 0
2 T
， cn
1 T
t0 T x(t)e jn0t dt
t0
四 离散频谱
1、三角形式傅里叶级数展开式（1）中，因为
sin(n0t
)
cos(n0t
2
)
cos(n0t
)
sin(n0t
2
)
所以它可以单独表示成不同相位角的 cos(n0t) 或 sin(n0t) 的级数，表示为
(e
jnt
e
jnt
)
用新系数表示
x(t) a0 [an cos(n0t) bn sin(n0t)] n1
a0
[an
n1
1 2
(e jn0t
e jn0t ) bn
1 2j
(e jn0t
e jn0t )]
a0
[( an n1 2
bn )e jn0t 2j
(
an 2
bn )e ] jn0t 2j
aa0n
A0 An
sin n
bn An cosn
由上式得
an2 bn2 An2 (sin2 n cos2 n ) An
（7）
an bn
An sin n An cosn
tann
所以， n
arctan
an bn
由 An 、n 可以确定n次谐波 An sin(n0t n )
cn 表示 cn 的模，即实部与虚部平方的和开根号
频谱分析是建立在傅里叶变换的基础上进行的，先简单介绍傅里叶级数，对傅里叶级 数的由来可以由高等数学知识获得。
一 傅里叶级数
1、设 f (x) 是以 2 为周期的函数，且在[ , ] 或[0, 2 ] 上可积，则 f (x) 的傅里叶系数
为：
an
1
f (x) cos nxdx 1
2 f (x) cos nxdx
l f (x) sin n
0
l
xdx
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
三 傅里叶分析与信号频谱
1、很多情况下，频域比时域有更强的物理意义：如光线的颜色由频率决定，声音音调的高 低由频率决定。
2、在地震系统中，周期为T的信号 x(t) x(x nT ) (n 0, 1, 2) 展为三角形式傅里
x x0
f (x) ，
f (x0
0)
lim
x x0
f (x)
周期与非周期函数傅里叶级数
以 2 为周期的函数 f (x)
以 2l 为周期的函数 f (x)
一 般
f
(x)
~
1 2
a0
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
函
数
an
1
f (x) cos nxdx
(n 0,1, 2)
bn
1
则 f (x) 的傅里叶级数在[ , ] 上收敛，且有
f (x), x是f的(x连) 续点
f
(x)
~
1 2
a0
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
1 2
[
f
( x0
0)
f
( x0
0)], x0是f的(x第) 一类间断点
1 2
[
f
(
0)
f
(
0)],
x
其中
f (x0
0)
lim
由此，便推导出地震波振幅谱和相位谱的计算公式，具体使用时还需注意细节。以上 是自己的认识，由于学识有限，可能存在认识上的错误，还需进一步学习提高。
——WHW 2014-3-4
0
(n 0,1, 2)
bn
1
f (x) sin nxdx 1
2 f (x) sin nxdx
0
(n 1, 2)
2、以 f (x) 的傅里叶系数为系数的三角级数表示式
1
2
a0
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，表示为
f
(x)
~
1 2
a0
n1
(an
bn ：正弦分量的分量
注：这种类型与前表中一般函数以 2l 为周期的函数情况一致，不同之处在于此式为等式，
将
l
T 2
带入原式得到（1）式
3、复数形式的傅里叶级数
由公式
sin(t)
1 2j
(e
jt
e
jt
)
cos(t)
1 2
(e
jt
e
jt
)
得
sin(nt)
1 2j
(e
jnt
e
jnt
)
cos(nt)
1 2
T
T
T
2 T
x(t)e jm0t dt
2
2
T 2
cne jn0t e jm0t dt cn
e dt 2 j(nm)0t
T 2
（4）
正交函数系 e jn0t (n 0, 1, 2) 对不同的n和m有
T
2
T 2
e
jn0t
(e
jm0t
) dt
0
T
所以，只有当n=m时，
2
T 2
e
dt j ( n m )0t
cos
nx
bn
sin
nx)
3、设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在[l, l]上可积，则以
为系数的三角级数
an
1 l
l l
f
(
x)
cos
n l
xdx
bn
1 l
l l
f
(x)
sin
n l
xdx
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
1
2
a0
(an
n1
cos
n l
x bn sin
n l
x)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，表示为
f
(x) ~
1 2
a0
(an
n1
cos
n l
x bn
sin
n l
x)
二 狄里赫利条件
并非所有复杂信号都可以进行傅里叶变换，能够进行傅里叶变换的信号必须满足狄里 赫利条件。狄里赫利条件内容为：
设函数 f (x) 在[ , ] 区间满足条件：
（1） 除有限个第一类间断点外都是连续的。 （2） 只有有限个极值点。
由 cn
1 2
(an
jbn )
得
cn
(
1 2
an
)2
(
1 2
bn
)
2
1 2
an2
bn2
1 2
An
由 cn
1 2
(an
jbn ) 得
cn
(
1 2
an
)2
(
1 2
bn
)2
1 2
an2
bn2
1 2
An
在 cn
1 2
(an
jbn )
中 cn
的相位
arg cn
arctan
bn an
arctan
bn an
n1
an
bn
0 2
f (x) sin nxdx
0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
f (x) 为 [0, l] 上的非周期函数，令
F
(x)
f f
(x) (x)
0 xl l x0
则 F (x) 除 x 0 外在 [l,l]上为偶函数
f
(x)
~
1 2
a0
an
n1
cos
n l
x
an
a0
[( an n1 2
bn 2
j j2
)e
jn0t
(
an 2
bn 2
j j2
)e
jn0t
]
a0
[ an
n1
bn 2
j
e jn0t
an
bn 2
j
e
] jn0t
（2）
则（2）式表示为
c0 a0
cn
1 2
(an
jbn )
cn
1 2
(an
jbn )
x(t) c0
cne t
l f (x) cos n
0
l
xdx
bn 0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
以 2l 为周期，且 f (x) f (x)
奇
f (x) ~ bn sin nx
n1
函
数
f
(x)
~
bn
n1
sin
n l
x
an
bn
0 2
f (x) sin nxdx
0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
c e jn0t n
n1
n1
cne jn0t
（3）
注：在实际中，频率只能取正，上式中n取负值， n0 为“负频率”是由复数引起的，从实
数的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数，是由用复数表示正、余弦引起的。
5、上式中，
cn
为傅里叶级数的系数，对（3）式两边乘以
e
jn0t
，并从
T 2
到
T 2
积分
an
bn
0 2 l