齐次线性方程组有非零解的条件

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齐次线性方程组有非零解的条件

齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是：
利用全选主元高斯消去法求解Ax=b(A是n阶矩阵，b是列向量)，当A
的行列式det A != 0时，齐次线性方程组Ax = b才有非零解。

如果
满足这个条件，则齐次线性方程组Ax = b就有非零解。

具体来说，首先要明确的是，只有行列式det A 不等于0的矩阵A，才能用高斯消去法求出非零解。

如果行列式 det A 等于 0，那么A
就不可逆，齐次线性方程组将一直没有解。

因此，为了使齐次线性方
程组有非零解，必须确保行列式det A != 0。

除了行列式det A 的条件外，齐次线性方程组有非零解还要满足
另一个条件，即矩阵A 和列向量b的维数必须相同，即n=m（m为列向
量b的维数，n为A的阶数）。

另外，要求各个方程的右边的b的分量
都不全为0。

从上面的分析可知，齐次线性方程组有非零解的条件是：
（1）行列式det A 不等于0；
（2）矩阵A和列向量b的维数必须相同，即n=m；
（3）各个方程的右边的b的分量都不全为0。

此外，还要确保齐次线性方程组的系数矩阵A在最终得到非零解后，它能满足A×x=b。

如果不满足，那么齐次线性方程组就无法求出
非零解。

而如果满足，那么就可以用全选主元高斯消去法求出非零解，从而解决齐次线性方程组 Ax = b 的有非零解问题。

齐次方程组有非零解是什么意思

齐次方程组有非零解是什么意思
齐次线性方程组只有零解说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解）。

齐次线性方程组有非零解即有无穷多解。

如：常数项全为0的n元线性方程组
称为n元齐次线性方程组。

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。

若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：（1）当r=n时，原方程组仅有零解；
（2）当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

4.3_齐次线性方程组解的结构

１．基础解系的定义
1 ,2 ,,t 称为齐次线性方程组Ax 0的基础解系,
如果
11 ,2 ,,t是Ax 0的一组解;
21 ,2 ,,t是线性无关的;
即
3 Ax 0的任一解都可由 1 ,2 ,,t 线性表出.
X k11 k22 ktt (＊)
例1(1)
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7x 7x 3x x 0 1 2 3 4 的基础解系与通解.
解对系数矩阵 A作初等行变换，变为行标准形，有
求齐次线性方程组
1 1 1 1 A 2 5 3 2 7 7 3 1
1 3 解： A 2 1
3 1 10 初等行变换 0 0 7 4 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0
r A 3 n,
所以只有零解。
2 3 7 7 5 4 即得基础解系 , , 1 2 7 7 1 0 0 1
2 3 x1 7 7 对应有及 , x2 5 4 7 7
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次线性方程组 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0 3 x x x 0 1 2 3 的解, 求的值和 B
解:
B 0, B的列向量是齐次方程组的解，则该方程组有非零解。所以该方程组
并由此得到通解 2 3 7 7 x1 x2 C 5 C 4 ,(C , C R ). 1 2 x3 7 7 1 2 1 0 x4 0 1

齐次和非齐次线性方程组的解法整理定稿

线性方程组解的结构解法一、齐次线性方程组的解法定义 rA = r <n ,若AX = 0A 为m n ⨯矩阵的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：1 ,,,n r -12ξξξ线性无关;2 AX = 0 的任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 ;其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 定理若齐次线性方程组AX = 0有解,则1 若齐次线性方程组AX = 0A 为m n ⨯矩阵满足()r A n =,则只有零解；2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.注：当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.注：1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组;由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数也即方程的个数,n 是未知量的个数,则有：（1）当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； 3当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解； 4当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >,则齐次线性方程组无解;1、求AX = 0A 为m n ⨯矩阵通解的三步骤1−−→A C 行行最简形; 写出同解方程组CX =0. 2 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;3 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.例题1 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠,不可以用行列式的方法来判断,从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 注：此法仅对n 较小时方便例题2 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ,4x ,5x 为自由未知量令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-；令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-；令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-, 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++1k ,2k ,3k R ∈. 二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解,()m n r r ⨯=A A用初等行变换求解,不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη,12,,,n r k k k -为任意常数;其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系,0η为AX = b 的特解,定理1 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解,α是其导出组AX=0的一个解,则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解;定理2如果0η是非齐次线性方程组的一个特解,α是其导出组的全部解,则αη+0是非齐次线性方程组的全部解;由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解,r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系; 例题3判断下列命题是否正确, A 为m ⨯n 矩阵.1若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因rA =n , rA = n = rA |b2若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因rA <n , rA = rA |b3若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, rA = rA |b =n. 4若AX =0有非零解,则A TX=0也有非零解.答:错,A 为m ⨯n , rA =m <n , rA T=m , 这时A TX=0只有零解. 例如A 为3⨯4, RA =3 <4, rA T=3=m . 5若rA =r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,rA =r =m= rA |b .6若rA =r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m ⨯n ,当m >n 时, 可以rA |b =n +1. ⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例题4 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==,则方程组有唯一解,所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠,则原方程组无解例题5解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可见()3()2r A r A =≠=,所以原方程组无解.⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例题6解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ,4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ,4x 为自由未知量令31x =,40x =,得121,2x x =-=；令30x =,41x =,得125,7x x ==-,于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;所以,原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++1k ,2k R ∈.例题7 求线性方程组：12341234123421,22,2 3.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23212(3)(2)(1)r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 103340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦33331()3123()212r r r r ⨯-⨯⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()34r A r A ==<,所以方程组有无穷多解,其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令40x =,可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数,得1233,3,1x x x ==-=,于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以,原方程组的通解为 X k ηξ=+ k R ∈.例题8求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解;解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=421500421500421500312331515493111231203162312331A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→000000000000421500312331因为52)()(<==A r A r ,所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为542,,x x x , 原方程组与方程组⎩⎨⎧-=-+-=+-++425323354354321x x x x x x x x 同解取自由未知量542,,x x x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000,得原方程组的一个特解： T ⎪⎭⎫⎝⎛=0,0,54,0,530η再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组⎩⎨⎧=-+-=+-++025023354354321x x x x x x x x 同解对自由未知量542,,x x x 分别取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100,010,001,代入上式得到其导出组的一个基础解系为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100,010,0001352513515721ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断例题9已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系;证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量,并且由齐次线性方程组解的性质可知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明321211,,ηηηηηη+++线性无关即可; 设存在数321,,k k k 使0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立; 整理得： 0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k 1已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,即得321,,ηηη线性无关,则由1得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,解得：0321===k k k 所以321211,,ηηηηηη+++线性无关; 即321211,,ηηηηηη+++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系; 例题10已知,,,1234ξξξξ是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,若,,,t t t =+=+=+112223334ξξξξξξηηη t =+441ξξη;讨论t 满足什么条件时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系解：首先,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的解,只须证,,,1234ηηηη线性无关.由已知有：(,,,)(,,,)t tt t⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭12341234100100010001ξξξξηηηη 因为：,,,1234ηηηη线性无关0t tt t⇔≠100100010001, 即t t t t=100100010001t -≠041, 所以当t ≠ ±1时, ,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系例题11已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且rA =n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解：由rA =n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量. 又0,,,,i i in a a a i n +++==1212, 即0i i in a a a ⋅+⋅++⋅=12111T (,,,),k ∴=111X k 为任意常数为所求通解.例题12设X 1,X 2,…, X t 是非齐次线性方程组 AX =b ≠0 的解向量,证明：对于X 0=k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t当k 1 +k 2+…+k t =1时, X 0是AX =b 的解；当k 1 +k 2+…+k t =0时, X 0是AX =0的解. 证：AX 0=Ak 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t =k 1 AX 1+k 2 AX 2+…+k t AX t =k 1 b +k 2 b +…+k t b =k 1+k 2+…+k t b故：当k 1+k 2 +…+k t =1时, AX 0 =b 当k 1 +k 2+…+k t =0时, AX 0=0由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解例题13已知,12ηη为=AX β的两个不同解,12,ξξ是0AX =的一个基础解系.12,k k 为任意常数. 则=AX β的通解为答案B (A)().k k -+++12112122ξξξηη (B)().k k ++-+12112122ξξξηη(C)().k k -+++12112122ξηηηη (D)().k k ++-+12112122ξηηηη例题14设321,,ηηη是四元非齐次线性方程组AX ＝b 的三个解向量,且矩阵A 的秩为3,()()TT 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ηηη,求AX ＝b 的通解;解：因为A 的秩为3,则AX ＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量;由线性方程组解的性质得：)()(21312132ηηηηηηη-+-=-+是AX ＝0的解, 则解得AX ＝0的一个非零解为：()T5,4,3,22132----=-+ηηη;由此可得AX ＝b 的通解为：()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+;例题15设A 是4阶方阵, β≠0是4×1矩阵, 1234()2,,,,=r A ηηηη是AX =β的解,且满足 122334232401,2,3030831⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη试求方程组AX =β的通解.解：先求AX =β的一个特解12112()024*⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ηηη再求AX =β的一个基础解系112230112()(2)1233⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ξηηηη,21234272()(3)015⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξηηηη因为124()2,,R -=A ξξ线性无关,所以12,ξξ是0AX =的一个基础解系.故方程组AX =β的通解是1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 12,k k 为任意常数.例题16设矩阵A ＝()()s n ij nm ijb B a ⨯⨯=,;证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解;证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =,其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =,零矩阵也按列分块()s s m O O O O ,,,21 =⨯ 则()s AB AB AB AB ,,,21 = 必要性：AB ＝0可得： ),,2,1(,s i O AB i i ==,即i B 是齐次方程组AX=0的解;充分性：矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解,即有 ),,2,1(,s i O AB i i ==得：()s AB AB AB AB ,,,21 =()s O O O ,,,21 =,即证;。

2002年考研数学(三)真题及详细解析

2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1n n a n→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。

【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。

已知A α与α线性相关，则______a =。

【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得：233411a a a a ++==，从而1a =-。

4_5齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

x1 = − b11 xr +1 − ⋯ − b1 ,n− r xn 分别代入 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ x = −b x − ⋯ − b r 1 r +1 r ,n − r xn r
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x1 − b11 − b12 − b1 ,n − r 依次得 ⋮ = ⋮ , ⋮ , ⋯ , ⋮ . x − b − b − b r r1 r 2 r ,n − r
个解：从而求得原方程组的 n − r 个解：
− b11 ⋮ − b r1 ξ1 = 1 , 0 ⋮ 0
− b12 − b1 ,n − r ⋮ ⋮ − b − b r2 r ,n − r ξ 2 = 0 , ⋯ , ξ n− r = 0 . 1 0 ⋮ ⋮ 0 1
若记
（1））
Page 5
a11 a12 a21 a22 A= ⋯ ⋯ a m 1 am 2
⋯ a1n ⋯ a2 n , ⋯ ⋯ ⋯ amn
x1 x2 x= ⋮ x n
则上述方程组（1）可写成向量方程则上述方程组（）
Page 7
２．齐次线性方程组解的性质
的解，（1）若 x = ξ1 , x = ξ 2 为 Ax = 0 的解，则的解. 也是 Ax= 0 的解.
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0
∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0

线性方程组有解的判定条件

解对增广矩阵B进行初等变换，
1 B =3
−2 −1
3 5
−1 −3
1 2
r2 r3
− −
2r1r1
1 0
−2 5
3 −4
−1 0
1 − 1
2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 05 −04 0 12
显然，R( A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．
例３求解非齐次方程组的通解
λx1 + x2 x1 + λx2
+ +
x3 x3
= =
1
λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
问λ取何值时,有解?有无穷多个解 ?
解对增广矩阵 B = ( A,b) 作初等行变换，
λ 1 1 1 1 1 λ λ2
B=1 λ 1 λ ~1 λ 1 λ
1
1λ
λ2
λ
1
1
1
1 1
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩，讨论线性方程组 Ax = b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n.
证必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解，
设R(A) = n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5

非零解是什么意思

非零解是什么意思
零解就是线性方程组的解中的每个分量全为零，非零解就是线性方程组的解中的内每个分量不全为零容。

1、举例如下：
比如方程组
x1+x2=0
x1-x2=0
就只有零解，但方程组
x1+x2+x3=0
x1+x2-x3=0
除了零解之外，还有无穷的非零解。

零解是一定所有齐次方成组的解，但不一定是唯一解。

当齐次方成组系数矩阵的秩小于未知数的个数时，该方程组一定有非零解，否则只有零解。

齐次线性方程组只有零解：说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解），即A的秩r（A）=未知数的个数n <=>A为列满秩矩阵齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解<=>A的秩。

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负向量: -=(-a1,-a2,…,-an ) p.104 性质
向量空间：n维向量的全体及加法，数乘
线性组合、线性方程组的向量形式
定义对于n维向量组1,2 , ,l , , 如果存在一组数 k1, k2 , , kl 使得 k11 k22 kll ,
称是 1 ,2 , ,l 的线性组合
1
2
3
1
1
1
3 2
,
2
1 1
,
3
5 2
,
4
3 2
5
2 3
向量组之间的关系
向量组线性表示的定义：
向量组() 1,2 ,...,m 能由向量组() 1, 2 ,..., s线性表示:
若向量组（）的任意向量量都能由向量组（）线性表示。向量组等价的定义：
称向量组() 1,2 ,...,m 与向量组() 1, 2 ,..., s 等价
零向量：
= ai = bi
= (0, 0, …,0)
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)，
加法： + = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), 数乘：k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
求 a11 a2 2 an n.
n维单位向量
解:
a11 a2 2 an n
=a1(1, 0, , 0) a2(0,1, , 0) an(0, 0, ,1) =(a1, 0, , 0) (0, a2 , , 0) (0, 0, , an )
(a1 , a2 , , an )=
注：可由1, 2, , n 线性表出。
向量的线性表示与线性方程组的关系
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11
a12
a1n
x1
1
a21
, 2
上述结论如何？，注：此时矩阵为方阵
am1
am2
amm
推论1*
1,2 ,...,m 线性相关
矩阵A降秩，即 R( A) m
A 0 即，矩阵A是奇异的
其中 A 1 2 m
齐次线性方程组只有零解系数矩阵的列向量线性无关
结果2 向量组 1,2 ,...,m 线性无关线性方程组 x11 x22 ... xmm 0 只有零解
或能由 1 ,2 , ,l 线性表示（表出）
注： L1,2 ,
,l
l
ki i
ki K ,
1
i
l
i1
L 1,2 , ,l : 1,2 , ,l 线性组合的全体.
注：零向量可以由任意向量线性表出
例 1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
a22
, , n
a2n
X
x2
,
结论： am1
am2
amn
xn
b1
b
b2
bm
线性方程组有解b 能由系数矩阵的列向量线性表出
即x11 x22
xn n
b,
或 (1 , 2 ,
AX b.
, n ) X b,
例将 = (1,0,-4)T 用 1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出.
若向量组（）的任意向量都能由向量组（）线性表示，同时向量组（）的任意向量也都能由向量组（）线性表示。向量组等价的性质：（）反身性（）对称性（）传递性
加推论1,2,3
向量的线性表示与向量组之间线性表示的矩阵方法
k11 k22 kll (1 2
k1
l
)
k2
向量组 1, 2 ,..., s 能由向量组 1 ,2 , ,l 线性表示，即
定理：齐次线性方程组有非零解系数矩阵的列向量线性相关
推论1 向量组1,2 ,...,m 线性相关线性方程组 x11 x22 ... xmm 0 (或 AX 0 ）有非零解
其中 A 1 2 m
若 1
a11
a21
, 2
a12
a22
, , m
a1m
a2m
定义：
n 维向量的概念
n维行向量(或行阵)： a1, a2 , , an ,
n维列向量(或列矩阵): 常用的记号是希腊字母
a1
a2
,
an
, , , ...
如果向量的元素在复数域上，全体n维向量记为 C n 如果向量的元素在实数域上，全体n维向量记为 Rn
向量的运算
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
解
0 1 1
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
)
1
0
1
1 1 1 0 4 0 0 1 1 1
1 1 0 4 1 0 1 0
1
0
0
1 1 0
0 1 1
4
1
1 0
5
0
0 1 0
0 0 1
5 2
3 2
5 2

5 2
3
.
例下述向量中哪个不能由其余的向量线性表示
推论：向量组 1,2 ,...,m 线性无关
矩阵A列满秩，即
R( A) m
kl
l
j aiji , j 1, 2, , s
i 1
矩阵方法
1, 2 ,..., s 1,2 ,
a11 a12
,l
a21
a22
a1s
a2s
al1
al 2
als
线性相关性
定义I
对向量组 1,2 ,...,m 若存在一组不全为零的数
k1, k2 ,..., km 使得 k11 k22 ... kmm 0
则称此向量组线性相关，否则称为线性无关
等价定义II 若向量组 1,2 ,...,m 中存在一个向量能由其它
向量线性表出，则称此向量组线性相关，否则称为线性无关
注： 1、单个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是该向量α为零向量。
注： 2、向量组含有零向量必线性相关
注： 3、两个向量组成的向量组线性相关
向量的各分量
对应成比例
注：
4、从几何角度解释：两个三维向量线性相关，表示这两个相向量在空间共线，
三个三维向量线性相关，表示这三个相向量在空间共面
例讨论下列 n 维向量组的相关性
1 (1 0 0 0 0), 2 (1 1 0 0 0),
n (1 1 1 1 1)
向量的线性相关性与线性方程组的关系