高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲

导数知识点

导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1

lim

0n n

→∞

=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=

.

两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x

x e x →∞??

+= ???

(e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则：若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x

g x b →=，则 (1)()()0

lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0

lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0

lim 0x x

f x a

b g x b

→=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞

==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞

?=?(3)()lim 0n n n a a

b b b

→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数)

)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim

x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''==

=00()()

lim lim x x y f x x f x x x

?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数

(1)0='C （C 为常数）.(2)'1()()n n x nx n Q -=∈.(3)x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='

(4)x

x 1)(ln ='；e a x x

a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(;a a a x x ln )(='.

导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=±.（2）'

'

'

()uv u v uv =+.（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数

''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''

x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是． [考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

[解答过程]()2

2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2.设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3.已知函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)

-，，(13]，各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；

（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211()32

f x x ax bx =

++在区间[11)

-，，(13]，分别有一个极值点，所以2

()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=

-2104x x <-≤．于是

2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++--，

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++，且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．

若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．

所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

- 2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．

当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设2

33()1222a a h x x x ?

??

?=++

-+ ? ????

?，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

a

h =?++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--． 例4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5．过坐标原点且与x 2

+y 2

-4x +2y +2

5=0相切的直线的方程为 ( )

A.y =-3x 或y =3

1x B. y =-3x 或y =-3

1x C.y =-3x 或y =-3

1x D. y =3x 或y =3

1x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2

x y -++=∴-圆心为

21

3830., 3.3

k k k k =

+-=∴==- 1

,3.3

y x y x ∴==-或

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,

2

222?

?- ???

由 ()()/

/

2

2

//

/

/113

231(,)(,)22

22

5(2)1,22(2)210,2

.

1

13,.313,.3

x x

x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=

故选A.

例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为

))(2(2)2(1112

1x x x x x y -+=+-，即211)1(2x x x y -+=①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2

222②

若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得

1,12

22121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ，即2

1-=a 时，解得2

11-=x ，此时点P 、Q 重合.

∴当时2

1-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14

y x =- .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式;

2. 求函数的值域;

3.解决单调性问题;

4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式. 典型例题

例7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 .设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2

()f x c <成立，求c 的取值围．

思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值．

解答过程：（Ⅰ）2

()663f x x ax b '=++，

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??

++=?，

．

解得3a =-，4b =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3

2

()29128f x x x x c =-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．

当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．

所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2

()f x c <恒成立，

所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值围为(1)

(9)-∞-+∞，，．

例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由24030

x x +≥+≥??

?得，x ≥-2，即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=

+-+=

+-++?+12412323242243

， 又2324282324

x x x x x +-+=

++++， ∴当x ≥-2时，y '>0，

∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数，而f ()-=-21，∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.

例10．已知函数()θθcos 16

3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．

（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；

（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值围；

（3）若对（2）中所求的取值围的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-都是增函数，数a 的取值围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞是增函数，故无极值.

（Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2

x x θ==.

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

因此，函数()f x 在cos 2x =处取得极小值cos f()2，且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.

要使cos ()02f θ>，必有213cos (cos )044θθ-->，可得0cos θ<<由于0cos θ≤≤，故3116

2

2

6

ππππθθ<<<<或.

错误！未找到引用源。当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.

综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞的极小值大于零，参数θ的取值围为311(,)(,)62

2

6

ππππ?.

（错误！未找到引用源。）解：由（错误！未找到引用源。）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2

θ+∞都是增函数。

由题设，函数()(21,)f x a a -在是增函数，则a 须满足不等式组

210a a a -<≤或21121cos 2

a a

a θ

-<-≥ 由（错误！未找到引用源。），参数时311(,)(,)62

2

6

ππππθ∈?时，0cos θ<要使不等式121cos 2

a θ-≥关于参数θ恒成

立，必有21a -≥a ≤.

综上，解得0a ≤1a ≤<.

所以a 的取值围是(,0)-∞?.

例11．设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减， （2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a

=

'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表