一级倒立摆的建模与控制分析

控制工程与仿真课程设计报告

报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计

组员1专业、班级14自动化1 班朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班王宪孺学号1405031011 组员1专业、班级14自动化1 班金红学号1405031013

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总分

直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计

一状态空间模型的建立

1.1直线一级倒立摆的数学模型

图1.1 直线一级倒立摆系统

本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1.2 系统中小车的受力分析图

图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g。

图1.3 摆杆受力分析图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

()11-

设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。

()21-

对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

()θsin 22

l x dt

d m F N S +=- ()31-

即：

αθθθθsin sin cos 2f

F ml ml x

m N +-+= ()41-

对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

()θcos 22

l l dt

d m F mg P h -=++-

()51-

即 θθθθ

αcos sin cos 2 ml ml F mg P g

+=++- ()61-

力矩平衡方程如下：

N x f F x M --=

0cos sin sin cos cos sin =++++θ

θθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71-

代入P 和N ，得到方程：

()

0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx

ml ml mgl ml I l F l F g g

()81-

设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理：

φφφφφφφ===???

??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2

dt d

由于：23

1

ml I =

方程化为：

()x

m mg ml F g

=-+--φφαφα3

4cos sin 2 ()91-

令：()αφαcos sin --=g f F F ，则()91-可化为：

x m mg ml F f

=-+φφ

3

42 ()101-

即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。带入实际数据后，微分方程为：

m

F x f

234.29-+= θθ

()111-

当忽略了F f 时，系统的微分方程如式（1-12）所示

x 34.29+=θθ

()121-

忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力

α

sin g S F F =α

cos g h F F =

后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其部的4个状态量分别是小

车的位移x 、小车的速度x

、摆杆的角度θ、摆杆的角速度θ 。系统输出的观测量为小车的位移x 、摆杆的角度θ。其控制量为小车的加速度θ

将微分方程（1-12）化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：

()

()4

.293

2

-=s s R s θ ()131-

1.2 直线一级倒立摆系统的状态方程

实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x

作为系统的控制输入，所以根据式（1-12）建立系统的状态方程为：

x

l

l g x

x x x

4343+====φφφφ

整理后得到系统状态方程：

[][]x x x x y x l g x x l g

x x

??????+?????

?

????????????=??????=????

??????????+?????????????????????????

?=????????????000100

0001430100430

010********

10φφφφ

φφφ

将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为：

[][]x x x x y x

x x x x ??

????+?????

?????????????=??????=?

?

???

???????+????????????????????????=????????????00

01000001301004.2900

1000000000

10φφφφφφφ

?????????

???=04.2900

1000000000

1

0A ?

????

?

??????=3010B ??

????=01000001C ??????=00D

二 运动分析、能控性及能观性分析

2.1 运动分析

线性定常系统非齐次状态方程为：

则其解为：

系统的输出方程为：

则

运动分析可以借助计算机的MATLAB 进行。用MATLAB 仿真求线性非齐次状态方程的解实例如例1 所示。

例1 已知系统状态方程为

用以下MATLAB 程序求系统方程的解。其中，collect( )函数的作用是合并同类项，而ilaplace( )

函数的作用是求取拉普拉斯逆变换，函数det( )的作用是求方阵的行列式，语句phi=subs(phi0,’

t’ ,(t-tao))表示将符号变量phi0 中的自变量t 用(t-tao)代换就构成了符号变量phi，而语句

x2=int(F,tao,0,t)表示符号变量F 对tao 在0 到t 的积分区间上求积分，运算结果返回到x2。

程序执行结果为