中国科学院大学高等数学历年考研试题
中国科学院研究生院高等数学3
(
)。
(a) 条件收敛 (b) 发散
(c) 绝对收敛 (d) 不能确定
(8) 设 为螺旋面
,
,
的一部分，
,
,则
的值为 (
)。
(a)
(b)
(c)
(d)
(9)
的值为 (
)。
(a)
(b)
(c)
(d)
(10) 一平面过点 (a)
且与直线
的交线的方向数是 (
(b)
(c)
垂直，则该平面与平面 )。
(d)
二、(本题满分 10 分) 证明极限
(1) 函数
, 正确结论是 (
)。
(a) 在
内有界
(b) 当
时 为无穷大
(c) 在
内无界
(d) 当
时 极限存在
(2) 函数 在
上是连续函数, 且
。
则
的最大取值区间是 (
)。
(a) (3) 微分方程
(a)
(b)
的一个特解是 ( (b)
(c) )。
(c)
(d) (d)
(4) 已知
是正整数,且
, 如果
则下面结论正确的一个是 (
三、（本题满分 10 分）求微分方程
四、(本题满分 10 分) 计算
和抛物线
围成的闭区域。
五、(本题满分 10 分) 将函数
六、(本题满分 10 分) 设函数
存在, 并求出极限值。
，其中
的通解。 是由抛物线
(
)展开成正弦级数。
,求
的值。
七、 (本题满分 10 分) 计算曲线积分
，其中 是由直线
和半圆周
中国科学院研究生院高等数学3
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分50 分，每小题5 分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)(1)函数, 正确结论是( )。
(a)在内有界(b) 当时为无穷大(c) 在内无界(d) 当时极限存在(2)函数在上是连续函数, 且。
则的最大取值区间是( )。
(a) (b) (c) (d)(3)微分方程的一个特解是( )。
(a) (b) (c) (d)(4)已知是正整数,且, 如果则下面结论正确的一个是( )。
(a)(b) (c) (d) 的大小关系不确定(5)函数在其定义域内零点的个数是( )。
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3科目名称：高等数学（甲）第1 页共3 页(6)若函数的导函数在上连续, 则( )。
(a) (b) (c) (d)(7)若幂级数在处条件收敛，则级数( )。
(a)条件收敛(b) 发散(c) 绝对收敛(d) 不能确定(8)设为螺旋面, , 的一部分，,, 则的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(9)的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(10)一平面过点且与直线垂直，则该平面与平面的交线的方向数是( )。
(a) (b) (c) (d)二、(本题满分10 分) 证明极限存在, 并求出极限值。
三、（本题满分10 分）求微分方程的通解。
四、(本题满分10 分) 计算，其中是由抛物线和抛物线围成的闭区域。
五、(本题满分10 分) 将函数 ( )展开成正弦级数。
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2020中国科学院大学考研初试高等代数
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
说明：本卷共九题，前七道题必答，第八题、第九题只准选其一答之。
一． (20分) 若整系数多项式()f x 有根p q ，这里,p q 是互素的整数，证明 1) ()|(1),()|(1)q p f q p f -+-；2) 对任意整数m 有 ()|()mq p f m -。
二． (18分) 以det()M 记矩阵M 的行列式，证明下列结论：1) 设,A B 都是n 阶实方阵，则det det()det()A B A A B A ⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭2) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，k I 表示k 阶单位矩阵。
则()()det det n m m n I AB I BA λλλλ⋅-=⋅-, (λ是复数)。
三． (18分) 已知n 阶方阵A 满足2n A I =，问：秩()n I A ++秩()n I A -?= 并证明你的答案。
四． (18分)设A 是n 阶实对称正定矩阵，B 是n 阶实对称半正定矩阵，1) 证明：det()det()det()A B A B +≥+；2) 当2n ≥时，问：在什么条件下有det()det()det()A B A B +>+，并证明之。
五． (18分)设n 阶复方阵A 的全部特征值为12,,,n λλλ。
求A 的伴随矩阵 *A 的全部特征值。
科目名称：高等代数 第1页 共2页六． (20分) 已知实对称矩阵 222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭1) 求正交矩阵Q ，使得1Q AQ -为对角形矩阵；2) 求解矩阵方程2X A =。
七． (18分) 设λ是非零复数，k 为正整数，()n J λ表示特征值为λ的n 阶若 当块。
数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
∫∫∫ 算积分 I = ex+y+zdxdydz ． D
4．(15
⎛ 分)定义向量场 F (x, y) = ⎜⎜⎝
xe x2 + y2 ,
x2 + y2
ye
x2 + y2
⎞ ⎟, x2 + y2 > 0
x2 + y2 ⎟⎠
证明 F (x, y) 是有势
场, 并求出 F (x, y) 的一个势函数．
∑ 5．(25
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校
的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们
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博士家园考研丛书 （2010 版）
全国重点名校数学专业考研真题及解答
数学分析与高等代数 考研真题详解
中国科学院数学专卷 博士家园 编著
博士家园系列内部资料
《 博士家园数学专业考研丛书》
编委会
这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究
中国科学院研究生院高等数学
科目名称：高等数学（丙） 第 1 页 共 3 页1 1⎨ 91 精品文档，欢迎下载！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（丙）考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题 (本题满分 40 分，每小题 5 分。
请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
)1. 下列极限式正确的是（ ）。
（A ） lim(1+ x →∞ 1 )x = 1 x （B ）lim(1 + x →01 )x = 1 x （C ） lim(1+ x ) x = 1x →0（D ） lim(1+ x ) x= e x →∞2. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导且导函数连续， f (0) = 0 ， f '(0) = b 。
若函数⎧ f ( x ) + a tan x, x ≠ 0F ( x ) = ⎪x⎪⎩ A ,在 x = 0 处连续，那么常数 A=（）。
x = 0 (A) a + b(B) a - b(C) b - a(D) -a - b3. 设函数 f (x ) 可导，函数 y = f (x 2) 的自变量 x 在 x = -1 处取增量∆x = -0.1时， 相应的函数增量∆y 的线性主部为0.1 ，则 f '(1) 等于（）。
（A ）0.5（B ） -0.5(C) 1(D) -1x4. 设 f (x ) 在 (0, +∞) 内连续， 且f (x ) > 0 ， 则函数 (x ) = ⎰1 tf (t )dt x在 (1, +∞) 内（）。
⎰1f (t )dt(A) 单调递减（B ）单调递增（C ）先递增后递减（D ）先递减后递增∞2 n -15.幂级数∑ n x n =1 的收敛半径为（）。
中科院数学分析考研试题
∫ξ
a
f
(x) dx
=
∫b
ξ
f
(x) dx
=
1 2
∫b
a
f
(x) dx.
5. (15 分) 求以下曲面所围立体的体积:
S1
:
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1,
S2
:
x2 a2
+
y2 b2
=
z2 c2
(z
≥
0) .
6. (12 分) f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 且 f (x) 单调递增. 求证:
(a) 求证存在 ξ ∈ (a, b), 使得 f (ξ) = b − ξ; (b) 若 a = 0, 求证存在 α, β ∈ (a, b), α ̸= β, 使得 f ′(α) f ′(β) = 1.
9. (15 分) 求椭圆 x2 + 4y2 = 4 上到直线 2x + 3y = 6 距离最短的点, 并求其最短距离.
中国科学院大学
招年收招攻收读攻硕读士硕学士位学研位究研生究入生学入统学一统考一试考试题试题 科目名称：数学分析
考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ————————————————————————————————————————
∫
b
tf
(t) dt
中国科学院高等数学甲试题2007
中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、填空题(本题满分30分，每个空格6分。
请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，直接填在试题空格内无效。
)1．30tansinlimln(1)xxxx→.+=（）。
2. 设函数(,)fxy可微，(0,0)0,(0,0)xffm′==，(0,0)yfn′=，()(,(,))tftftt.=，则(0).′=（）。
3. 312dxx++∫=（）。
4. 微分方程22xyxyy′+=的满足(1)2y=的解为（）。
5. 设是曲面Σ222xyza++=的外侧，cos,cos,cosαβ是其外法线向量的方向余弦，则32222coscoscos()xyzdSxyzαβγΣ++++∫∫=( )。
二、选择题 (本题满分30分，每小题6分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)1.设1sin(1)1(),()2,1xxbxfxxeax....≠.=...=.。
若 f(x) 在x=1处连续，则。
A．; B. ; C. 0,1ab==1,1ab==.1,1ab=.=; D. 1,0ab==2. 设()fx和都在()gx0x处二阶可导，且0000()()0,()()0fxgxfxgx′′==.，则。
A. 0x不是()()fxgx.的驻点B. 0x是()()fxgx.的驻点，但不是()()fxgx.的极值点科目名称：高等数学（甲）第1页共3页C. 0x是()()fxgx.的驻点，且是它的极小值点D. 0x是()()fxgx.的驻点，且是它的极大值点3. 已知连续函数()fx满足()(2)(0)fxfaxa=.≠，为任意常数，则c()ccfaxdx. .∫。
中国科学院大学601高等数学(甲)历年考研真题及详解
目录
2016年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题（回忆版）及详解[视频讲解]
2015年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2014年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2013年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解
2012年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2011年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2010年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2009年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2008年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2007年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2006年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2005年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2004年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2003年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解。
中国科学院高等代数考研试题
中科院高等代数1.(15分) 证明()231....1!2!3!!nx x x x f x n =++++与()'f x 没有重因式。
2. (20分) 设()g x 是[]P X 中的非零多项式, ()g x =()()1n p x g x ,且()()()1,1p x g x =证明对任意()f x 均有: ()()()()()()()111n n f x r x f x g x p x p x g x -=+ 其中:()0r x ∂=或者()()r x p x ∂<∂。
3. (20分) 设矩阵21121221222121..11..1::::11..n n n n n a a a a a a a a a a A a a a a a ⎡⎤++⎢⎥++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦且满足11n i i a ==∑;21n i i a n ==∑。
()1求矩阵A 的所有特征值()2求det A 及trA4.(15分) 若n 阶方阵A 满足2A A =,其中1V 为0AX =的解空间,2V 为()0n A I X -=的解空间,证明12P V V =⊕。
5. (20分) 若n 阶方阵A 可逆,且,αβ均为n 维列向量又满足110T A βα-+≠。
()1 证明1T A P αβ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆,并求其逆矩阵. ()2 证明T Q A αβ=+可逆,并求其逆矩阵.6. (20分) 证明:任意n 阶复方阵A 与其转置矩阵T A 相似。
7.(22分) 若n 阶方阵,A B 满足()(),T A B tr A B =。
()1 证明: (),A B 为内积.()2 若W 为1100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1011B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦生成的子空间,求W 的一组标准正交基W ⊥.8.(18分) 若1T ,2T ,3T ….. n T 为线性空间V 上的一组非零变换.证明:线性空间V 上存在向量α,使得()0i T α≠,{}1,2,3,.....,.i n ∈。