华师大一附中初高中数学衔接教材

引入：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222

()

2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ??-+-??

=242(1)(1)x x x -++ =61x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-

=61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习

1．填空：

（1）221111

()9423

a b b a -=+（）

；（2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值（）

（A ）总是正数（B ）总是负数

（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数

第一讲因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．

（2）由图1．1－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）=-+652x x __________________________________________________。（2）=+-652x x __________________________________________________。（3）=++652x x __________________________________________________。（4）=--652

x x __________________________________________________。（5）()=++-a x a x 12

__________________________________________________。

（6）=+-18112

x x __________________________________________________。（7）=++2762

x x __________________________________________________。（8）=+-91242

m m __________________________________________________。（9）=-+2

675x x __________________________________________________。（10）=-+2

612y xy x __________________________________________________。

－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －1 1

x y

图1．1－5

2、()() 3 42

++=+-x x x x

3、若()()422

-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072

++x x （5）44152

++x x 中，有相同因式的是（） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式2

338b ab a -+得（）

A 、()(

)3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+- 3、()()2082

-+++b a b a 分解因式得（）

A 、()(

)2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32

可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（）

A 、10=a ，2=b

B 、10=a ，2-=b

C 、10-=a ，2-=b

D 、10-=a ，2=b

5、若()(

)b x a x mx x ++=-+ 102

其中a 、b 为整数，则m 的值为（） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9±

三、把下列各式分解因式

1、()()3211262

+---p q q p 2、2

2365ab b a a +-

3、6422--y y

4、822

4--b b

2．提取公因式法

例2 分解因式：

（1） ()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++ 解：（1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a

（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++．

32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+ ＝2(3)(3)x x ++ 课堂练习：

一、填空题：

1、多项式xyz xy y x 4262

+-中各项的公因式是_______________。 2、()()()?-=-+-y x x y n y x m __________________。

3、()()()?-=-+-2

y x x y n y x m ____________________。

4、()()()?--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。

5、()()?--=++---z y x z y x z y x m ______________________。

6、5

23623913x b a x ab --分解因式得_____________________。 7．计算99992

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、()b a ab ab b a -=-2422

………………………………………………………… （）

2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （）

3、(

)

52315632

-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （） 4、()111+=+--x x x

x n n n

……………………………………………………………… （）

3：公式法

例3 分解因式：（1）164+-a （2）()()2

23y x y x --+

解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-

(2) ()()2

23y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++

课堂练习

一、222b ab a +-，22b a -，3

3b a -的公因式是______________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、()??

? ??-??? ??+=-??? ??=-1.032 1.0321.03201.0942

2x x x x ………………………… （）

2、()()()()b a b a b a b a 43 434389222

2-+=-=- ………………………………… （）

3、()()b a b a b a 45 4516252

-+=-………………………………………………… （）

4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2

222………………………………………… （）

5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 2

……………………………………………… （）

五、把下列各式分解

1、()()2

9n m n m ++-- 2、3

132

3、()

2244+--x x 4、122

+-x x

4．分组分解法

例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．

（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．

或

222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----

=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．

课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-

（2）9126442

++-+-b a b ab a

5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式

2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．

解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，

∴221x x +-=(1(1x x ????----????

=(11x x +-++．

（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，

∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++．

练习

1．选择题：

多项式2

215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；

（3）x 2－2x －1；（4）4(1)(2)x y y y x -++-．

习题1．2

1．分解因式：

（1） 31a +；（2）42

4139x x -+；

（3）22

222b c ab ac bc ++++；（4）2

35294x xy y x y +-++-．

2．在实数范围内因式分解：

（1）2

53x x -+ ；（2）2

3x --；

（3）2234x xy y +-；（4）222

(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ?三边a ，b ，c 满足2

a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ?的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．

第二讲函数与方程

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，

如求方程的根（1）0322=-+x x (2) 0122=++x x (3) 0322=++x x }

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

222

4()24b b ac

x a a -+=． ①

因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x 1，2

（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数

根

x 1＝x 2＝－

2b a

；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2

()2b x a

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac