山西省太原市2020届高三理科数学一模试卷(解析版)
．
16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了
数表的奇数行和偶数行．如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2）
＝11，则 a（41，18）＝
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；
以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任
取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C5．函数 ሺᖈݔ
若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设|AB|＝10，若平面上点 P 满足对任意的λ∈R，恒有
λ
，则一定正确的是
3
（）
A．
B． 諨
C．
D．∠APB≤90°
12．设函数 f'（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，当 x＞0 时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），
山西省太原市 2020 届高三理科数学一模试卷（解析版）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|y 諨 ᖈ ᖈ }，则 M∩N＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣2≤x＜3} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣3＜x≤3}
5
λ ，已知当λ＝2 时，|AB|＝|BF1|．
（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线 BC 过定点． 21．已知函数 f（x）＝xsinx+cosx，g（x） 讈ᖈሻᖈ．
（Ⅰ）判断函数 f（x）在区间（0，﹣∞）上零点的个数；
（Ⅱ）设函数 g（x）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为 x1，x2，x3，x4，…，
xn．证明：（1）g（x1）+g（x2）＜0； （2）对一切 n∈N*，g（x1）+g（x2）+g（x3）+…+g（xn）＜0 成立．
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A．
B．
ᖈ諨ᖈ 9．已知变量 x，y 满足约束条件 ᖈ ᖈ
ᖈ
C．3π
D．4 π
，若目标函数 z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最小
值为 2，则 諨 的最小值为（ ）
A．2諨
B．5+2
C．8諨
D．2
ᖈᖈ 10．已知椭圆 C： 諨
（a＞b＞0）的右焦点为 F，过点 F 作圆 x2+y2＝b2 的切线，
则使得（x2﹣4）f（x）＞0 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
ᖈᖈ
13．已知双曲线
1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y
ᖈ ᖈ
的图象大致为（
）
A．
1
B． C．
D． 6．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）
2
A．a＝6
B．a＝5
C．a＝4
D．a＝7
7．（3x3諨 ᖈ）7 展开式中的常数项是（ ）
A．189
B．63
C．42
D．21
8．刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，
阴性的概率为 P
．
（Ⅰ）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请
说明理由．
20．已知椭圆 E 的焦点为 F1（﹣1，0）和 F2（1，0），过 F2 的直线交 E 于 A，B 两点，过
A 作与 y 轴垂直的直线交直线 x＝3 于点 C．设 （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
2．设复数 z 满足 z（2+i）＝5，则|z﹣i|＝（ ）
A．
B．2
C．
D．4
3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块
正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七
巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足
4
共 60 分． 17．已知△ABC 外接圆的半径为 R，其内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 2R（sin2B
﹣sin2A）＝（a+c）sinC． （Ⅰ）求角 B； （Ⅱ）若 b ，c＝2，求 sinA 的值． 18．如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE⊥平面 BCE，且 AE＝1． （Ⅰ）求证：平面 ABCD⊥平面 ABE； （Ⅱ）线段 AD 上是否存在一点 F，使二面角 A﹣BF﹣E 等于 45°？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由．
x，若其右顶点到这
条渐近线的距离为 ，则双曲线方程为
．
14．已知函数 ሺᖈ ݔሻ ൌሺ ᖈ （ݔω＞0）在ሺ ， ݔ单调增加，在ሺ ， ݔ单调减少，
则ω＝
．
15．在如图所示装 置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直，
活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值是
19．新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检 验血液样本相关指标是否为阳性，对于 a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份 检验，则雷检验 n 次．二是混合检验，将其中 k 份血液样本分别取样混合在一起，若检 验结果为阴性，那么这 k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性， 为了明确这 k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时 k 份血液检验的 次数总共为 k+1 次．某定点医院现取得 4 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一， 逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受 检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是
山西省太原市2020届高三年级数学理科模拟试题(三) (含答案)
第 I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.己知集合A = { xlx2 - 3x + 2 注0},B = { xix + 1 注α｝，若A UB=R ，则实数α的取值范围是
A.[2, +oo)
B. ( -oo,2]
A. 0
B. 1
C.2
D. 3
，
高三数学（理） 第3页（共8页）
。
高三数学（理） 第4页（共8页）
太原市2020年高三年级模拟试题（三）
数 山｛子 试卷（理科）
三、解答题：共70，分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17：时21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
高三数学（理） 第1页（共8页）
4.已知 sinα － cosα ＝ 〉豆，αε （0， τ ），则 tana =
A.-1
B －－一－ 2
c.
一v'－2
2
D.1
5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题，松
长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如
图是源于其思想的一个程序框图
答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
’ log1x(O < x 运 11 I I
111二 13.已知函数J(x）＝� 2 , x2 - 1(x > 11
则11 \ \ IS －
．
＿付 14.�ABC的内角 A,B,C的对边分别为α，b 'c. 若A腻的面积为
山西省太原市2020年高三一模理科数学试题文字版带解析
太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。
山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)理科数学试题
P
22 3
．
（I）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E 的焦点为 F1（-1，0）和 F2（1，0），过 F2 的直线交 E 于 A，B 两点，过 A 作与 y 轴垂直的
A. 3
B. 3
C.
3 2
D. 4 3
9．已知变量
x，y
满足约束条件
x x x
y60 3y 2 0 1
，若目标函数
z=ax+by（a>0，b>0）的最小值为
2，则
1 a
3 b
的最小值为（ ）
A． 2 3
B． 5 2 6
C． 8 15
D． 2 3
10．已知椭圆
C：ax
2 2
y2 b2
1(a
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C A D B D C A
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. x2 y2 1 4 12
14． 1 2
15． 3 3
三、解答题（共 70 分）
（一）必考题 17. （本小题满分 12 分）
E
x
易知平面 ABF 的一个法向量为 m (1, 0, 0) ，................................9 分
设平面 BEF 的一个法向量为 n (x, y, z) ，而 BE ( 3 , 3 , 0), BF (0, 2, h) ， 22
则
n
BE
0,
山西省2020版高考数学一模试卷(理科)A卷(新版)
山西省 2020 版高考数学一模试卷（理科）A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2018 高一上·长安月考) 若 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）⑴若⑵若⑶若A. 个B. 个C. 个D. 个2. （2 分） 设平面区域 是由直线目标函数的最大值为（ ）和 所围成的三角形（含边界与内部）．若点，则A.B.C.D.3. （2 分） (2017·银川模拟) 知如图所示的程序框图的输入值 x∈[﹣1，4]，则输出 y 值的取值范围是（ ）第 1 页 共 14 页A . [0，2] B . [﹣1，2] C . [﹣1，15] D . [2，15] 4. （2 分） 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这 个几何体的全面积为（ ）A.B.C.D.5. （2 分） “直线 y＝x＋b 与圆 x2＋y2＝1 相交”是“0＜b＜1”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件第 2 页 共 14 页6. （2 分） 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 、 ， 若曲线 上存在点 满足：2，则曲线 的离心率等于（ ）：=4：3：A. 或B . 或2 C . 或2 D. 或 7. （2 分） 已知非零向量 ， 满足| |=1，且 与 ﹣ 的夹角为 30°，则| |的取值范围是（ ）A . （0， ）B . [ ， 1） C . [1，+∞）D . [ ， +∞） 8. （2 分） 设函数 f（x）=﹣x3+bx（b 为常数），若方程 f（x）=0 的根都在区间[﹣2，2]内，且函数 f（x） 在区间（0，1）上单调递增，则 b 的取值范围是（ ） A . [3，+∞） B . （3，4] C . [3，4] D . （﹣∞，4]二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9. （1 分） (2020 高二下·东台期中) 复数 满足（i 是虚数单位），则________.10. （1 分） (2016 高三上·宜春期中) 已知 a= cosxdx，则 x（x﹣ ）7 的展开式中的常数项是第 3 页 共 14 页________．（用数字作答）11. （1 分） (2017 高一下·静海期末) 在△ABC 中若 a=2，b=2 ，A=30°，则 B 等于________．12. （1 分） (2016 高二上·株洲开学考) 在极坐标系中，点（2， 的距离为________．）到直线 ρ（cosθ+sinθ）=613. （1 分） (2016 高二上·成都期中) 命题 P：将函数 sin2x 的图象向右平移 个单位得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象；命题 Q：函数 y=sin（x+ ）cos（ Q”“非 P”为真命题的个数是________个．﹣x）的最小正周期是 π，则复合命题“P 或 Q”“P 且14. （1 分） (2017 高二下·淮安期末) 函数 f（x）=lnx﹣x 的单调递增区间为________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)15. （10 分） (2016·绵阳模拟) 已知函数．（1） 求函数 f（x）的最小正周期和单调减区间；（2） 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 a=7，若锐角 A 满足，且，求△ABC 的面积．16. （5 分） (2019·龙岩模拟) 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 （ ）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 次；（2）混合检验，将其中 （且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这 份的血液全为阴性，因而这 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 份再逐份检验，此时这 份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．（Ⅰ）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 4 次检验就能把阳 性样本全部检验出来的概率．（Ⅱ）现取其中 （且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为第 4 页 共 14 页（ⅰ）试运用概率统计的知识，若，试求 关于 的函数关系式；（ⅱ）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 的最大值．参考数据：，，，，17. （10 分） (2019·肇庆模拟) 如图，在四棱锥中，底面是菱形，.（1） 证明：；（2） 若面面，，18. （10 分） (2019·郓城模拟) 设数列 满足（1） 求 的通项公式；，，求 到平面的距离.．（2） 求数列的前 项和 ．19. （10 分） (2019·海南月考) 设函数，，其中 为实数.（1） 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求 的取值范围；（2） 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.20. （10 分） (2018·雅安模拟) 已知椭圆 ：过点，且离心率为.第 5 页 共 14 页（1） 求椭圆 的方程；（2） 过的直线 交椭圆 于 ， 两点，判断点关系，并说明理由.与以线段 为直径的圆的位置第 6 页 共 14 页一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)参考答案第 7 页 共 14 页15-1、 15-2、第 8 页 共 14 页16-1、17-1、第 9 页 共 14 页17-2、 18-1、第 10 页 共 14 页18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−x≥0}，N={x|x≥2}，则M∩N=()A. ⌀B. {x|x≥1}C. {x|x≥2}D. {x|x≥1或x≤0}+1，则|z|2018=()2.已知复数z=2018+2019i2019−2018iA. 22018B. 21009C. 1D. √23.已知正方形ABCD如图所示，其中AC，BD相交于O点，E，F，G，H，I，J分别为AD，AO，DO，BC，BO，CO的中点，阴影部分中的两个圆分别为△ABO与△CDO的内切圆，若往正方形ABCD中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为()A. 1+(2−√2)π2B. 1+(4−2√2)π4C. 1+(6−2√2)π4D. 1+(6−4√2)π44.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2017>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f(x)=sin x+ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是()A. 3B. 6C. 8D. 117.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2808.如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 403B. 323C. 163D. 2839. 已知x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3x −y ⩾−12x −y ⩽3，若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为10，则5a +4b 的最小值为 ( ) A. 6 B. 8 C. 4 D. 10 10. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >c >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，若以F 2为圆心，b −c 为半径作圆F 2，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于√32(a −c)，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A. [35,1)B. [35,√22)C. (0,35)D. (√22,1) 11. 点G 为△ABC 的重心，AB =2，BC =1，∠ABC =60°，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −59 B. −98 C. 59 D. 1912. 设函数f ′(x )是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，，则不等式(x 2−20192)f(x)>0的解集为( )A. (−2019,0)∪(0,2019)B. (−2019,0)∪(2019,+∞)C. (−∞,−2019)∪(2019,+∞)D. (−∞,−2019)∪(0,2019) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知双曲线x 2m −y 23=1(m >0)的一条渐近线方程为y =√32x ，则m 的值为____________． 14. 若函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√2，则ω=________．15. 如图，四边形ABCD 和ABEF 均是边长为1的正方形，且平面ABCD ⊥平面ABEF.M ，N 分别为对角线AC ，BF 上两点，则MN的最小值为________．16. 将正整数1,2,3,⋯,n,⋯，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行、第j 列的数可用(i,j)表示，则2015可表示为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−c=2bcos C．+B)的值；(1)求sin(A+C2(2)若b=√3，求c−a的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=AD=1，CD=√3．PD=2，BC=12(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)在棱PC上是否存在一点M，使二面角M−BQ−C为30°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．19.某次运动会的游泳比赛中，已知5名游泳运动员中有1名运动员服用过兴奋剂，需要通过检验尿液来确定因服用过兴奋剂而违规的运动员，尿液检验结果呈阳性的即为服用过兴奋剂的运动员，呈阴性则没有服用过兴奋剂，组委会提供两种检验方法：方案A：逐个检验，直到能确定服用过兴奋剂的运动员为止．方案B：先任选3名运动员，将他们的尿液混在一起检验，若结果呈阳性则表明违规的运动员是这3名运动员中的1名，然后再逐个检验，直到能确定为止；若结果呈阴性则在另外2名运动员中任选1名检验．(Ⅰ)求依方案A所需检验次数不少于依方案B所需检验次数的概率；(Ⅱ)ξ表示依方案B所需检验次数，求ξ的数学期望．20.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．21. 已知函数f(x)=ln(2−x)+x ，求f(x)的极值．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知a >b >0，函数f(x)=|x +a +1b |+|x −1a−b |．(1)若b =1，a =2，求函数f(x)的最小值；(2)证明：f(x)≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：解：M ={x|x ≤0，或x ≥1}；∴M ∩N ={x|x ≥2}．故选：C ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，属于基础题．求出z ，求出z 的模，从而求出答案．解：∵z =2018+2019i 2019−2018i +1=(2018+2019i)i (2019−2018i)i +1 =(2018+2019i)i +1 =i +1，∴|z|=√2，则|z|2018=21009，故选：B ． 3.答案：D解析：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．根据条件分别求出小正方形和三角形内切圆的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：设正方形的边长为1，则对角线AC =√2，则AO =√22， 即小正方形的边长FO =√24，则小正方形的面积S =(√24)2=18，则等腰直角三角形AOB 中，设内切圆的圆心为M ，半径为r ，则由等积法得12AD ⋅r +12AB ⋅r +12AB ⋅r =12AB ⋅AD ，即(√22+√22+1)r =√22×√22， 得r =12(√2+1)=√2−12则一个小圆的面积S =π(√2−12)2=3−2√24π， 则阴影部分的面积S =3−2√24π×2+18×2=1+(6−4√2)π4， 则对应的概率P =1+(6−4√2)π4， 故选：D ．4.答案：C解析：解：若公比q =1，则当a 1>0时，则S 2017>0成立，若q ≠1，则S 2017=a 1(1−q 2017)1−q ，∵1−q 与1−q 2017符号相同，∴a 1与S 2017的符号相同，则“a 1>0”⇔“S 2017>0”，即“a 1>0”是“S 2017>0”充要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．5.答案：B解析：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数值的符号以及函数的奇偶性即可判断．解：因为f(x)=sin x+ln|x|是非奇非偶函数，所以其图象不关于原点成中心对称，也不关于y轴成轴对称，所以选项C、D错误；当x>e时，f(x)=sin x+ln x>0恒成立，所以选项A错误，B正确．故选B．6.答案：D解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=10，S=0，满足条件S≤t，S=20=1；k=8，满足条件S≤t，S=1+21=3；k=6，满足条件S≤t，S=3+23=11；k=4，不满足条件S≤t，输出k=4；则t的值不可能是11．故选：D．模拟程序框图的运行过程，得出不满足条件S≤t时输出k=4，由此求出t的值不可能是11．本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7.答案：C)7的展开式的通项公式为解析：解：二项式(x2−2xT r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，x令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题8.答案：A解析：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直四棱锥；且四棱锥的底面为梯形，梯形的上底长为1，下底长为4，高为4；所以，该四棱锥的体积为V=S底面积⋅ℎ=13×[12(1+4)×4]×4=403．故选A．9.答案：B解析：分析】本题考查了简单线性规划和利用基本不等式求最值，属于中档题．利用简单线性规划计算得4a+5b=10，再利用基本不等式求最值计算得结论．解：作满足约束条件的可行域如下图的阴影部分，把目标函数变形为y =−a b x +zb ，斜率始终为负值．z b是直线z =ax +by(a >0,b >0)在y 轴上的截距，当直线z =ax +by(a >0,b >0)过点D(4,5)时，zb 取得最大值， 即z 取得最大值，z max =4a +5b ，又因为z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为10，所以4a +5b =10， 因此5a +4b =110(4a +5b )(5a +4b )=110(40+25b a +16a b) ≥110(40+2√25b a×16a b)=8，当且仅当25b a=16a b，即a =54，b =1时，等号成立，因此5a +4b 的最小值为8． 故选B ．10.答案：B解析：本题考查椭圆的性质、离心率的计算公式、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次不等式的解法是解题的关键，是中档题．利用切线的性质和勾股定理可得|PT|=√|PF 2|2−(b −c)2，利用椭圆的性质可得|PF 2|的最小值为a −c ，再利用题意可|PT|的最小值为√32(a −c)，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b >c ，可得b 2>c 2，即a 2−c 2>c 2，又得出e 满足的不等式，联立解出即可． 解：当P 点位于椭圆的右顶点的位置的时候，|PF 2|最小值，且最小值为|PF 2|=a −c ． ∵|PT|=√|PF 2|2−(b −c)2， ∴√(a −c)2−(b −c)2=√32(a −c)，∴(a −c)2=4(b −c)2，∴a −c =2(b −c)， ∴a +c =2b ，∴(a +c)2=4(a 2−c 2)， 化为5c 2+2ac −3a 2=0，即5e 2+2e −3=0． 解得e =35，可得35≤e <1，① ∵b >c ，∴b 2>c 2，∴a 2−c 2>c 2，∴a 2>2c 2，∴e 2<12，② 解得0<e <√22．由①②解得35≤e <√22．故椭圆离心率的取值范围为[35,√22).故选B ．11.答案：A解析：先根据余弦定理求得AC =3，于是得到△ABC 为直角三角形，然后建立平面直角坐标系，根据重心得到点G 的坐标，然后根据数量积的坐标运算得到所求．解：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ·BCcos60°=4+1−2×2×1×12=3， 所以AC =√3，所以AB 2=AC 2+BC 2，所以△ABC 为直角三角形，且C =90°． 以点C 为原点，边CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则A(√3,0)，B(0,1)，又G 为△ABC 的重心，∴点G 的坐标为(√33,13).所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,13)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,13)， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33×√33+13×13=−59． 故选A ．12.答案：D解析：本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系，属于难题． 以及不等式的解法，关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集．解：根据题意，设g(x)=ln x2019⋅f(x)，(x >0)，其导数g ′(x )=1x f(x)+ln x2019f ′(x )， 又由当x >0时，ln x2019⋅f ′(x )<−1x f (x )，则有g ′(x )=1x f(x)+ln x2019f ′(x )<0， 即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数，又由g(1)=ln 12019⋅f(x)=0，则在区间(0,1)上，g(x)=ln x 2019⋅f(x)>0，又由ln x2019<0，则f(x)<0， 在区间(1,+∞)上，g(x)=ln x2019⋅f(x)<0，又由ln x2019>0，则f(x)<0， 则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上，f(x)<0，又由f(x)为奇函数，则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有f(x)>0， (x 2−20192)f(x)>0⇒{x 2−20192>0f (x )>0或{x 2−20192<0f (x )<0. 解得：x <−2019或0<x <2019，则x 的取值范围是(−∞,−2019)∪(0,2019)； 故选D ．13.答案：4解析：本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握求双曲线的渐近线的方法是解题的关键． 解：双曲线x 2m−y 23=1(m >0)的渐近线方程为y =±√3m x ， 由于双曲线x 2m−y 23=1(m >0)的一条渐近线方程为y =√32x ， ∴√3m =√32，解得m =4，故答案为4．14.答案：34解析：本题考查正弦函数的性质，属于基础题．根据已知区间，确定ωx 的范围，求出它的最大值，结合0<ω<1，求出ω的值． 解：x ∈[0,π3],0≤x ≤π3,0≤ωx ≤ωπ3<π3，f(x)max =2sinωπ3=√2, sin ωπ3=√22, ωπ3=π4, ω=34故答案为34 ．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33．16.答案：(37,17)解析：∵第一行有a 1=3个数，第二行有a 2=6个数，∴每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，∴第n 行有a n =3+3(n −1)=3n 个数，由求和公式可得前n 行共n (3+3n )2个数，经检验可得第36行的第1个数为36×(3+3×36)2=1998，按表中的规律可得第37行共3×37=111个数，第一个为1999，∴2015为第37行的第17个数，故答案为(37,17)...17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a −c =2bcosC =a 2+b 2−c 22ab×2b ，整理可得，a 2+c 2−b 2=ac ，cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB =√32，所以a sinA =c sinC =bsinB =2，从而a =2sin A ，c =2sin C ．所以c−a=2sinC−2sinA=2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)．因为A+C=2π3，所以0<A<2π3，从而−π3<π3−A<π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c−a的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．18.答案：(1)证明：∵AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴BC//DQ且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ，∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，∵PA=PD，∴PQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；(2)结论：当M是棱PC上靠近点C的四等分点时有二面角M−BQ−C为30°．理由如下：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q−xyz如图，∴Q(0,0，0)，P(0,0，√3)，B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)， 则平面BQC 的一个法向量为n ⃗ =(0,0，1)， 设满足条件的点M(x,y ，z)存在，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，z −√3)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,√3−y,−z)， 令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t >0， ∴{x =t(−1−x)y =t(√3−y)z −√3=t(−z)，∴{x =−t1+t y =√3t1+t z =√31+t，在平面MBQ 中，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t1+t ,√3t 1+t ,√31+t )，设平面MBQ 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3b =0m ⃗⃗⃗ ·QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 1+t a +√3t 1+t b +√31+t c =0, 取a =√3，得c =t ，∴平面MBQ 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(√3,0，t)， ∵二面角M −BQ −C 为30°， ∴cos30°=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√3+0+t2=√32，解得t =3，∴满足条件的点M 存在，M 是棱PC 的靠近点C 的四等分点．解析：本题考查面面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． (1)通过四边形BCDQ 为平行四边形、∠AQB =90°，及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论； (2)以Q 为坐标原点，以QA 、QB 、QP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系Q −xyz ，通过平面BQC 的一个法向量与平面MBQ 的一个法向量的夹角的余弦值为√32，计算即得结论．19.答案：解：(Ⅰ)若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：∁42A 33A 53×1A 31=15．②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束)：A 43A 53⋅A 21A 22=25，∴乙只用两次的概率为15+25=35． 若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为25． ∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：35×(1−15)+25×(1−15−15)=1825． (Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数， ∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．解析：(1)由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． (2)根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意知b =1，c a =√22，又因为a 2=b 2+c 2解得，a =√2， 所以椭圆方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)设过点(−13,0)的直线为x =ty −13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{x =ty −13y 22+x 2=1得(9+18t 2)y 2−12ty −16=0，且．则{y 1+y 2=12t 9+18t 2,y 1y 2=−169+18t 2,又因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(ty 1−43)(ty 2−43)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−43t(y 1+y 2)+169=(1+t 2)−169+18t2−4t 3⋅12t 9+18t2+169=0，所以．因为线段AB 的中点为M ，所以|AB|=2|CM|．解析：本题考查了椭圆的性质，考查了直线和椭圆的关系，属中档题． (Ⅰ)由题意，可得ca =√22，b =1解得a =√2，故椭圆C 的方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)联立直线与椭圆，根据韦达定理可得y 1+y 2=12t9+18t 2，y 1y 2=−169+18t 2，可证CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得|AB|=2|CM|．21.答案：解：f(x)的定义域是(−∞,2)，所以f′(x)=1x−2+1=x−1x−2.令f′(x)=0，得x =1.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：所以f(x)在x =1处取得极大值1，无极小值．解析：本题考查了利用导数求函数的极值，是一道简单题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=xy′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0， 由于点P(1,0)在直线l 上， 故{x =1+12t y =√32t(t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x24+y2=1，得到13t2+4t−12=0，(t1和t2为M、N对应的参数)所以t1+t2=−1413，t1⋅t2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当b=1，a=2时，f(x)=|x+3|+|x−1|={−2x−2,x<−3 4,−3≤x≤12x+2,x>1,这时函数f(x)的最小值为4．(2)由a>b>0，故−a−1b <0，1a−b>0，f(x)=|x+a+1|+|x−1|={−2x−a−1b+1a−b,x<−a−1ba+1b+1a−b,−a−1b≤x≤1a−b2x+a+1b−1a−b,x>1a−b,(别解|x+a+1b |+|x−1a−b|≥(x+a+1b)−(x−1a−b)=a+1b+1a−b)故f(x)≥a+1b +1a−b，又a+1b +1a−b=a−b+b+1b+1a−b≥a−b+1a−b+b+1b≥2√(a−b)(1a−b )+2√b×1b=4，当且仅当a=2，b=1时等号成立，故f(x)≥4．解析：本题考查绝对值不等式以及绝对值不等式的证明，属于中档题．(1)根据已知可得f(x)=|x+3|+|x−1|={−2x−2,x<−34,−3≤x≤12x+2,x>1进而求出最小值；(2)去掉绝对值然后利用基本不等式证明．。
山西省太原市20xx届高三数学模拟试题(一)理(含解析).doc
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。
1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选 A.【点睛】本题考查了集合的交集运算的真数要大于零., 本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数2. 已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算. .，故本题选 C.3. 下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B.若，则C. 若命题“ 是真命题”，则命题“D. 命题“ ，”的否定是“是真命题”，”【答案】 D【解析】【分析】对于选项 A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项 B: 要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项 D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项 A 是假命题；选项 B: 或者，所以选项 B 是假命题；选项 C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项 D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选 D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】 B 的【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。
【详解】，因为，所以，原式故本题选B。
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。
重点考查了同角三角函数之间的关系。
5. 已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C.1 D.0【答案】 A【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科) (1)
Ⅱ 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
已知椭圆 的焦点为 和 ，过 的直线交 于 ， 两点，过 作与 轴垂直的直线交直线 ＝ 于点 ．设 ，已知当 ＝ 时， ＝ ．
Ⅰ 求椭圆 的方程；
Ⅱ 求证：无论 如何变化，直线 过定点．
【解析】
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【解答】
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8.
【答案】
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【考点】
由三都问求体积
【解析】
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【解答】
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9.
【答案】
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【考点】
简单因性规斯
【解析】
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【解答】
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10.
【答案】
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【考点】
椭圆水明心率
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【考点】
充分常件、头花条件滤充要条件
【解析】
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【解答】
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5.
【答案】
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【考点】
函来锰略也与图象的变换
【解析】
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【解答】
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6.
【答案】
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【考点】
程正然图
【解析】
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【解答】
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7.
【答案】
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【考点】
二项式定因及京关概念
已知函数 ＝ ， ．
Ⅰ 判断函数 在区间 上零点的个数；
Ⅱ 设函数 在区间 上的极值点从小到大分别为 ， ， ， ，…， ．证明：
（1） ；
（2）对一切 ， 成立．
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2020年9月9日。
山西省太原市2020届高考数学模拟考试(一)试题 理(无答案)
太原市2020年高三年级模拟考试（一）数学 试 题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。
2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。
5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS nSh V 31其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V3234,4R V R S其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数1ii的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,) 内单调递减的函数是（ ）A ．2y xB ．||1y xC ．lg ||y xD ．||2x y3．若右边表示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以是（ ） A ．5n B ．6n C ．7n D ．8n4．甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是2334和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （ ）A ．12B ．14C ．16D ．5125．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和。
若1342,12,a S 则S = （ ） A ．10 B ．16 C ．20 D ．246．右图是某个三棱锥的三视图，其中正视图是等边三角形， 侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该 三棱锥的体积等于 （ ）A ．612 B ．33C ．64D ．2337．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ，则双曲线的离心率为（ ）A ．13B ．13C ．15D ．158．已知21()nx x的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．40 C ．20 D ．109．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ）， 则点M 取自阴影部分的概率是 （ ） A ．13 B ．12C ．14D ．1610．已知非零向量,,a b c 满足0a b c ，向量a 与b 的夹角为120 ，且|b|=2|a|，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．60B ．90C ．120D ．15011．已知函数()sin()(0)6f x x在4(0,)3 上单调递增，在4(,2)3上单调递减，则 =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．4312．已知函数21,0()log ,0.x x f x x x 则函数[()1]y f f x 的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
山西省太原市小店区第一中学2020年高三数学理联考试题含解析
山西省太原市小店区第一中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是（）参考答案：A2. 若等边的边长为，平面内一点满足，则( )A. B. C． D．参考答案：C3. 下列四个结论中正确的个数是（）①若am2＜bm2，则a＜b②己知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，若变量y与z正相关，则x与z负相关③“己知直线m，n和平面α、β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β”为真命题④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①若am2＜bm2，可知，m2＞0，则a＜b②由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k＞0，得到x 与z的相关性．③若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α、β的位置关系不定④当m=0时，直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0也互相垂直．【解答】解：对于①，若am2＜bm2，可知，m2＞0，则a＜b，故正确；对于②，因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=﹣，一次项系数小于0，所以z与x负相关，故正确；对于③，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α、β的位置关系不定，故错对于④，当m=0时，直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0也互相垂直，故错；故选：B．4. 已知函数,若有,则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B5. 曲线上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（2，4）C．D．参考答案：D略6. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．参考答案：B略7. ”成等差数列”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A8. 已知是内的一点，且,若和的面积分别为，则的最小值是A.20B.18 C. 16 D. 9参考答案：【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用 E6 F3【答案解析】B 解析：由已知得，故选：B【思路点拨】利用向量的数量积的运算求得的值，利用三角形的面积公式求得的值，进而把转化为，展开再利用基本不等式即可求得的最小值。