河南省新乡市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题
新乡市高三第一次模拟测试
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|24}x
A x =>，{|015}
B x x =<-≤，则()
=R C A B （ ）
A ．{|25}x x <≤
B ．{|5}x x ≤
C ．{|12}x x <≤
D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．8
3.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑
5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）
A ．39200m
B ．39300m
C ．39400m
D ． 39500m 4.若二项式7
1()n
x x -
的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5x
x f x e
e x -=--，则不等式2()(6)0
f x f x +--<的解集为（ ）
A ．(3,2)-
B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ． 28
B ．30 C. 36 D ．42
7.设不等式组40310x x y y -≤??
+≥??-≥?
，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则
2z x y =+的最小值为（ ）
A ． -9
B ．9 C. -7 D ．7
8.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．
1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．289
359
9.已知点(,)M x y 是抛物线2
4y x =
（ ）
A ．3
B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数4
4
()sin cos f x x x =+的图像向左平移
8
π
个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）
A ．
31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13
cos 244
x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>
12.已知函数1
,0()3,0x e x f x x ax x -?>?
=??+≤?，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于
-4，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若向量,a b 满足||3a =，且()()4a b a b +-=，则||b = ．
14.设P 为曲线2x =上一点，(A ，B ，若||2PB =，则||PA = ． 15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．
16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体
积为，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.
（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？
（2）若3b c =，且ABC ?的周长为4，求ABC ?的面积.
18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =，BD DC =.
（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为
9
4
，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.
19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：
（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方
程；
（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.
（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；
（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.
相关公式：∑∑==---=
n i i n
i i
i
x x y y
x x b 1
21
^
)()
)((∑∑==--=
n i i n
i i
i x
n x y
x n y
x 1
2
21 ， x b
y a ^^-= 20. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭
圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ?的周长为8.
（1）求C 的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()ln (0)a
f x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）对0a >时，对任意121
,[,]x x e e
∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1222
x y ?=--????=+??（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2
cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB . 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1||2|f x x x =-++.
（1）求不等式()13f x <的解集；
（2）若()f x 的最小值为k ，且2
11(0)k mn m n
+
=>，证明：16m n +≥. 试卷答案
一、选择题
1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC
1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤.
2.B 因为1811582i
z i i
+=
=+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑76
50007200392002
m ??+?=. 4.B 71()n x x -
的展开式的通项为817
1()(1)r n r r r r n r
r n n T C x C x x
--+=-=-(0,1,,)r n =，令80n r -=，
得8n r =，则整正数n 的最小值为8.
5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ?<---=+.又()f x 是减
函数，∴22()(6)6f x f x x x <+?>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为
(,2)(3,)-∞-+∞.
6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，
336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.
7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值
-7.
8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=??+=?，解得120
240
x y =??=?，若随
机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为21202360958
11077C C -=.
9.A
(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准
线1x =-
(,)M x y 到点(2,1)A
的距离，所以
(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3
，即min 3=.
10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-?
?31
cos 444
x =+， ∴3131
()()cos(4)sin 4844244
g x f x x x ππ=+=++=-.
11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==
，525lg 64
log 8log 64lg 25
==，∴35log 4log 8<， ∵2
3
85<，∴32
85<，∴3
2
553log 8log 52
<=. 又2443
log 3log 9log 82
=>=
，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12
(1)
'()x e x f x x
--=， 当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，
故min ()(1)1f x f ==.
当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，
当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.
()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵
2
(3)23
e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3
()f x t =有3个解，共有5个解.
由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得231
4x a a =--<-，∵0a >，∴01a <<.
而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解
.
二、填空题 13.
∵ 22
2()()9||4a b a b a b b +-=-=-=，∴||5b =. 14. 4
由2x =得2
2
44(0)x y x =+>，即22
1(0)4y x x -=>，故P 为双曲线22
1(0)4
y x x -=>右 支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.
15. 1
2n n
-
∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴
1
(1)2n n
n S nS ++=，
∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则1
2n n nS -=，∴1
2n n S n
-=.
16.3
∵AB BC ⊥，∴ABC ?的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥
平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又34
3R π=，∴R =，∵AC =
∴'AO ='1OO =，∴2PA AB ==.
设PB 与AC 所成角为θ，则cos cos cos
10PBA BAC θ=∠∠==. 故tan 3θ=.
三、解答题
17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.
假设,,a b c 依次成等差数列，则2
a c
b +=， 则222
4(
)2
a c c a ++=，即221532c a ac +=，
又221532c a ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，
从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列.
（2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则a =，
则(44a b c c ++=+=+，即1c =.
从而223155
cos 2136
A +-=
=??，
则sin 6
A =
故ABC ?
的面积1sin 24
S bc A ==.
18.（1）证明：因为AB AC =，BD DC =，所以AD BC ⊥， 又PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥， 因为AD PA A =，所以BC ⊥平面PAD . 又BC ?平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAD .
（2）因为1119
333224P ABD V PA -=?????=，所以3PA =.
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)E ，33
(,,0)22D ，(0,0,3)P ，
则31
(,,0)22ED =，(0,1,3)PE =-.
设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，
则0
0n ED n PE ?=??=??，即3102230
x y y z ?+=???-=?， 令1z =，得(1,3,1)n =-，
平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)m =，
则cos ,
11m n <>=
=，
故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为11
. 19.（1）21x =，6y =，
^
2222
(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)63
0.7(1521)(1821)(2421)(2721)90
b --+--+--+--=
=-=--+-+-+-， ^^
6210.720.7a y b x =-=+?=，
故y 关于x 的线性回归方程为^
0.720.7y x =-+.
（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =?-+-?-=元 （ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =?-+-?-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =?-+-?-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =?-=元 故分布列为
1087530487296120144101.63030303030
EX =?
+?+?+?== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ?的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12
c e a =
=， 2223b a c =-=.
故C 的方程为22
143
x y +
=. （2）假设存在点P ，使得PM PB 为定值.
若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3
(1,)2
M -，
则209
(1)4
PM PB x =--.
若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，
设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22
143
(1)x y y k x ?+
=???=-?
，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，2122
412
43
k x x k -=+， 由于202(,)PM x x y =-，101(,)PB x x y =-，
则2
12120012()PM PB x x x x x x y y ?=-+++2222120120
(1)()()k x x x k x x k x =+-++++ 222
0002(485)31243
x x k x k --+-=+
因为PM PB 为定值，所以22000485312
43
x x x ---=，
解得0118x =
，故存在点P ，且011
8
x =. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1
(1)
()a a a a x f x ax
x x
--=-=， 当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减；
(1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.
当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减；
(1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.
（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-，
由（1）知，()f x 在1
[,1)e 上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-.
因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1
()max{(),()}f x f f e e =.
设1
()()()2(0)a a g a f e f e e a a e -=-=-->，
则'()220a a g a e e -=-->=，
所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1
()()f e f e
>，
从而max ()()2a f x f e e a ==-，
所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ?=--+>，则'()1a a e ?=-，
当0a >时，'()0a ?>，所以()a ?在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0?=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ??≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].
22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=， 则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.
（2
）将1222
x t y t ?=--
???
?=+??代入2y x =
，得220t -=， 则122t t =-，
故12||||||2PA PB t t ==.
23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<，
则12113x x >??+
2113x x <-??--
，
解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-. （2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =，
因为2119
1(0)k mn m n m n
+
=+=>，所以0,0m n >>，
199()()(10)1016n m m n m n m n m n
+=++=++≥+= 当且仅当
9n m m n
=，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.