空间问题的四面体单元
第三章 轴对称、三维和高次单元§3-2 空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。
由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。
它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。
这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。
和平面问题一样，空间有限单元法采用单元也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体单元。
采用四面体单元和线性位移模式来处理空间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。
在采用四面体单元离散化后的空间结构物中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。
四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p 。
每个单元的计算简图如图3-7所示。
在位移法中，取节点位移为基本未知量，四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量)，其节点位移列阵为{}[]Tpp p m m m j jj i i ip m j i ew v u w v u w v u w v u =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=δδδδδ其子矩阵 {}[]i ii i w v u =δ (i,j,m)相应的节点力列阵为{}[]Tp m j ie F F F F F -图3-7 空间四面体单元其子矩阵 {}[]Ti i i i W V U F =一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标x 、y 、z 的函数。
当单元足够小时，单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述，即⎪⎭⎪⎬⎫+++=+++=+++=z y x w z y x v z y x u 121110087654321αααααααααααα (3-49) 式中1α，2α，…，12α是十二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。
假定节点i,j,m,p 的坐标分别为(i x i y i z )、(j x j y j z )、(m x m y m z )、 (p x p y p z )，将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x 方向的位移⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=p p p p m m m m j j j j i i i i z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα (3-50)解上述线性方程组，可得到1α，2α，3α，4α，再代入(3-50)式，得])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a Vu +++-+++++++-+++=(3-51) 其中V 为四面体ijmp 的体积，a i ,b i ，…，c p ,d p 为系数。
pppm m m j j j i i i z y x z y x z y x z y x V 1111=(3-52)p p pm m mj j ji z y x z y x z y x a = 111j ji m m p py z b y z y z = p p m m j j i z x z x z x c 111= 111p pm mj ji y x y x y x d = (i,j,m,p) (3-53) 为了使四面体的体积V 不致为负值，单元四个节点的标号i,j,m,p 必须按照一定的顺序：在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照i →j →m 的转向转动时，向p 的方向前进，象图3-1中单元那样。
用同样方法，可以得出其余二个位移分量：])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i v z d y c x b a v z d y c x b a v z d y c x b a v z d y c x b a Vv +++-+++++++-+++=(3-54) ])()()()[(61p p p p p m m m m m jj j j j i i i i i w z d y c x b a w z d y c x b a w z d y c x b a w z d y c x b a Vw +++-+++++++-+++=(3-55) 综合表达式(3-51)、(3-54)及(3-55)，可以将位移分量表示成为{}[]{}[]{}ep mj ieTIN IN IN IN N w v uf δδ===][ (3-56)其中I 是三阶的单位矩阵，[N]为形函数矩阵，而各个形函数为⎭⎬⎫+++-=+++=),(6/)(),(6/)(p j Vz d y c x b a N m i V z d y c x b a N i i i i j i i i i i (3-57) 和平面问题相似，(3-49)式中的系数1α，5α，6α代表刚性移动0u ，0v ，0w ；系数2α，7α，12α代表常量的正应变；其余6个系数反映了刚性转动x w ，y w ，z w 和常量剪应变。
这就是说，12个系数充分反映了单元的刚体位移和常量应变。
同时，可以证明：由于位移模式是线性的，两个相邻单元的共同边界在变形过程中 ，始终是相互贴合的，使得离散的模型变形中保持为连续体。
这样，选用的位移函数满足收敛的充分必要条件，保证了有限单元法解答收敛于精确解。
二、载荷移置空间问题的单元载荷移置和平面问题一样，也是根据静力等效原则，将不作用在节点上的集中力、体力、面力移置成作用在节点上的等效节点载荷。
其通用公式的形式和平面问题也是一样的，只不过多出一维空间分量。
1. 集中力设单元上某点(x,y,z)作用有集中力{}Txyz P P P P ⎡⎤=⎣⎦则仍然得到等效节点载荷{}{}P N R T ][= (3-58)这里 {}T p pp m m m j j j i i ieZ Y X Z Y X Z Y X Z Y X R ][=2. 分布体力单元上作用有分布体力{}T Z YXP ][=，则{}{}dV P N R T e ⎰=][ (3-59)其中dV 是单元中的微分体积，对于直角坐标系上式为{}{}dxdydz p N R eT e ⎰⎰⎰=][ (3-60)3. 分布面力单元的某一边界面 S 上作用有一分布面力{}[]TZ YX P =则 {}{}dA P N R T e⎰=][其中dA 是边界面S 上的微分面积。
4. 常见载荷的移置上列公式是空间问题载荷移置的通用公式。
对于四节点四面体单元，由于其采用线性位移模式，采用直接计算虚功的方法求出节点载荷比较简单。
下面介绍常见的二种载荷的移置。
(1) 重力四面体单元的自重为W ，作用在质心C 处(如图3-8)。
为求得节点载荷X i ,Y i ,Z i ,可分别假想发生1*=i u ,1*=i v 或1*=i w 的虚位移。
在1*=i u 或1*=i v 时，整个单元上各点的均没有z 方向上的虚位移，重力W 不做功，所以X i =Y i =0。
当1*=i w 时，jmp 面上各点的虚位移为零，即0*=b w ，又因bi bc 41=,所以有 41*=c w ， 4WZ i -= 对于其余三个节点可得同样结论，于是有{}Tei W R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=400(i,j,m,p) (3-61)即，对于四节点四面体单元承受的重力载荷，只需要把共41移置到每个节点上即可。
(2) 界面压力设四面体的一个边界面ijm 上受有一线性分布的压力P ，共在三个节点上的强度分别为q i ,0,0。
很容易看出，该力向p 点移置的等效节点力为零。
由水力学知，总压力ijm q P i ∆=31,作用于ijm 面上的d 点，d 点到ij 边和im 边的距离分别为m 到ij 及j 到im 边的距离的1/4。
于是可得{}Tijm i Tei q P P P R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=021211610442(3-62) 所得各节点载荷的方向和分布力的方向相同，要求各节点载荷分量还需乘上相应的方向余弦。
图3-8 重力移置由上述面力移置结果，可求出任意线性分布面的等效节点载荷。
如在ijm 面受有线性分布面力在各点强度分别为q i ，q j ，q m ，时，在i 节点的等效载荷为ijm m j i i q q q P ∆++=)2121(61 (i ，j ，m) (3-63)三、应力应变矩阵空间问题几何方程为{}Tz y x z y x z u x w yw z u x v y u z w y vx u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=γγγεεεε 将四面体单元之位移表达式(3-52)、(3-54)和(3-55)代入几何方程，即得单元应变。
用节点位移可表示为{}{}[]{}ep mj ie B B B B B δδε--==][ (3-64)式中应变矩阵子矩阵为6×3矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii i i ii i ii b d c d b c d c b V B 00000000061][ (i,j,m,p) (3-65) 由上式可以看出，每一个单元的应变矩阵是一个常量矩阵；因此，采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。
这与平面问题中的三角形单元是一样的。
而与平面问题的不同之处仅在于应变矩阵的阶数不同。
将表达式(3-16)代入空间问题的物理方程，即可得出用单元节点位移表示的单元应力：{}{}[]{}{}ee S B D D δδεσ][][][=== (3-66)式中弹性矩阵[]D 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=)1(221000)1(2210000)1(221000111111][μμμμμμμμμμμμ称对D 应力矩阵 []p m j iS S S S ][=S (3-67)令 μμ-=11A ， )1(2212μμ--=A则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=i ii i i i b A d A c A d A b A V E S 22222i2i i 1i 1i 1i i 1i 1i 1i 000c A d c A b A d A c b A d A c A b )21)(1(6)1(][μμμ (i,j,m,p) (3-68) 显然，式(3-68)中各元素均为常量，应力矩阵[Ｓ]是常量矩阵，所以，四面体单元是常应力单元。
空间问题的四面体单元
第三章 轴对称、三维和高次单元§ 3-2空间问题的四面体单元空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完 全相同。
由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方 程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题 和平面问题大得多。
它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。
这些问题都给三维 有限单元法的具体运用带来许多困难。
和平面问题一样，空间有限单元法采用单元 也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体 单元。
采用四面体单元和线性位移模式来处理空 间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。
在采用四面体单元离散化后的空间结构物 中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处 以空间铰相互连接。
四节点四面体单元仅在四个 顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p 。
每个单元的 计算简图如图3-7所示。
在位移法中，取节点位移为基本未知量，四 节点四面体单元共有十二个自由度 （位移分量），其节点位移列阵为U i V i W i (i,j,m)相应的节点力列阵为U i Viw i U j V j w jU mTW m U p V p W p其子矩阵图3-7空间四面体单元F i F j F m F p其子矩阵F i U i V i w一、单元法位移函数结构中各点的位移是坐标 X 、y 、z 的函数。
当单元足够小时， 单元内各点的位移可用 简单的线性多项式来近似描述， 即u1 2 X3y 4Zv56 X7y 8Z(3-49)w0 10Xny12Z曰2，…，12是卜二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。
假定节 点 i,j,m,p 的坐标分别为(x i y i Z i )、、(xj y j z j )、(X m将它们代入 (3-49)式的第一式可得各个节点在X 方向的位移U i1 2X i 3Y i4Zu j1 2X j3Y j4Z jU m 1 2X m 3Y m 4 Z mU p12X p3Y p4 Z p解上述线性方程组，可得到1 ,2 ,3 ,4 , 再代入U6V[(a i bXcy d i Z)U i (a jb j x(a m b m X C m yd m z)U m(a p b p X C(3-50)y d p Z )U p ] 1 X i Y i Z i 1 X j y j Z j 1 X m y m Z m1X PY PZ P(3-52)(3-50)式，得y m Z m)、(X p y p Z p )，5y 3)5 (3-51)式中1 ,其中V 为四面体ijmp 的体积，a,b i ,…，c p ,d P 为系数。
几何-空间几何-正四面体专题
几何-空间几何-正四面体专题一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）A．B．C．2πD．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A．B．C．D．5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为_________．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为_________．9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为_________．10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为_________．11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为_________．12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是_________．13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为_________．14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于_________．15．正四面体的棱长为a，它的体积为_________．16．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________．17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF 截球O所得截面的面积是_________．18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________．19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=_________．20．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值_________．几何-空间几何-正四面体专题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征。
一种分析空间物体的质量、质心、惯矩、惯积的新单元——四面体质量单元
一种分析空间物体的质量、质心、惯矩、惯积的新单元——
四面体质量单元
缪瑞卿
【期刊名称】《常州大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1991(000)003
【摘要】本文给出空间四面体质量单元特性的计算公式。
【总页数】7页(P31-37)
【作者】缪瑞卿
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】N
【相关文献】
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3.单元坐标法求截面静矩、惯性矩及惯性积 [J], 温志明;张流生
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《有限元基础教程》_【MATLAB算例】4.8.1(1) 基于4节点四面体单元的空间块体分析(Tetrahedron3D4Node)
【MATLAB 算例】4.8.1(1) 基于4节点四面体单元的空间块体分析(Tetrahedron3D4Node)如图4-22所示的一个块体，在右端面上端点受集中力F 作用。
基于MATLAB 平台，计算各个节点位移、支反力以及单元的应力。
取相关参数为：10110Pa,=0.25E μ=⨯，5=110N F ⨯。
图4-22 一个空间块体的分析解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。
（1）结构的离散化与编号将结构离散为5个4节点四面体单元，单元编号及节点编号和坐标如图4-22所示，连接关系见表4-8，节点的坐标见表4-9。
表4-8 单元连接关系单元号 节点号 1 2 3 4 51 42 6 1 43 7 6 7 5 1 6 7 84 1 4 6 7表4-9 节点的坐标节点节点坐标/mxyz 1 2 3 4 5 6 7 80 0 0 0.2 0 0 0 0.8 0 0.2 0.8 0 0 0 0.6 0.2 0 0.6 0 0.8 0.6 0.20.80.6节点位移列阵[]111222888 Tu v w u v w u v w =q (4-190)节点外载列阵34780 0 0 0 TT T T T⎡⎤=⎣⎦F F F F F(4-191)其中34785000 00110N ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⨯⎣⎦⎣⎦F F F F约束的支反力列阵12560000TTT T T ⎡⎤=⎣⎦R R R R R（4-192其中1256112255661256 x x x x y y y y z z z z R R R R R R R R R R R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦R R R R总的节点载荷列阵12345678 TT T T T T T T T⎡⎤=+==⎣⎦P F R R R R F F R R F F (4-193)（2）计算各单元的刚度矩阵(以国际标准单位)首先在MA TLAB 环境下，输入弹性模量E 、泊松比NU ，然后针对单元1和单元2，分别5次调用函数Tetrahedron3D4Node_Stiffness ，就可以得到单元的刚度矩阵k1(6×6) ～ k5(6×6)。
空间几何中的平行四面体与正四面体知识点
空间几何中的平行四面体与正四面体知识点在空间几何学中，平行四面体和正四面体是两种常见的多面体。
它们具有不同的特点和性质，下面将详细介绍这两种多面体的知识点。
一、平行四面体平行四面体是指四个面中的任意两个面平行的四面体。
它具有以下几个重要的性质：1. 对角线平行性质：平行四面体的任意两条对角线都是平行的。
这是因为平行四面体的两个相对面平行，因此连接相对顶点的对角线也是平行的。
2. 面积比例性质：平行四面体的相邻两个面之间的面积比等于相邻两个对角面的面积比。
具体而言，如果平行四面体的两个相邻面的面积分别为S1和S2，而另外两个对角面的面积分别为S3和S4，则有S1/S2 = S3/S4。
3. 体积计算公式：平行四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3) * S * h，其中V表示体积，S表示底面积，h表示底面到顶点的距离。
4. 平行四面体的类型：根据底面形状的不同，平行四面体可以分为正方形底面四面体、长方形底面四面体和菱形底面四面体等多种类型。
二、正四面体正四面体是指四个等边等角的三角形构成的四面体。
它具有以下几个重要的性质：1. 边长和面积：正四面体的边长相等，每个面都是等边三角形。
正四面体的面积可以通过以下公式计算：S = (sqrt(3) * a2) / 4，其中S表示面积，a表示边长。
2. 高度和体积：正四面体的高度可以通过以下公式计算：h = (sqrt(6) * a) / 3，其中h表示高度，a表示边长。
正四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (sqrt(2) * a3) / 12，其中V表示体积，a表示边长。
3. 正四面体的特殊点：正四面体有四个特殊的点，分别为顶点、底心、重心和垂心。
顶点是四个面的交点，底心是底面三角形三个高线的交点，重心是四个面重心连线的交点，垂心是底面三角形三条垂线的交点。
4. 对称性：正四面体具有四个三角对称面和六个对称轴。
四个三角对称面将正四面体分为等价的四个部分，而六个对称轴则是通过连接各个面的中点和顶点形成的。
空间几何中的平行四面体
空间几何中的平行四面体在空间几何学中，平行四面体是一个非常重要的概念。
它是由四个平行的且不在同一平面的三角形构成的多面体。
本文将介绍平行四面体的定义及性质，并给出一些相关的例子和应用。
一、平行四面体的定义平行四面体是由四个平行的且不在同一平面的三角形所组成的多面体。
它具有以下特点：1. 四个面都是三角形。
2. 相邻两个面之间的边都是平行的。
3. 任意两个不相邻的面之间的距离是相等的。
二、平行四面体的性质1. 平行四面体的对棱平行且相等。
对任意的棱AB和CD，若AB ∥ CD，则有AB=CD。
2. 平行四面体的对顶角平等。
对任意的顶点O和底面P，若∠AOC=∠BOD，则有∠DOP=∠COP。
3. 平行四面体的任意两个面之间的距离相等。
对于任意的两个面ACDF和BCEF，有AC=BD。
4. 平行四面体的四条棱构成的四面体是平行四面体，且与原平行四面体全等。
5. 平行四面体的底面积乘以高等于体积。
设底面为底的面积为S，其高为H，则平行四面体的体积V=SH/3。
三、平行四面体的例子1. 双峰山：双峰山位于中国的广东省韶关市。
它的山势独特，由四个平行的山脊组成，形成了一个平行四面体的形状。
2. 锡尔河四面体：位于俄罗斯的锡尔河口以北，是一个由四条平行的山脉组成的地貌景观。
3. 钻石：钻石的晶体结构可以看作是一个平行四面体的形状，钻石的每个面都是一个等边三角形。
四、平行四面体的应用1. 三维建模：在计算机图形学和三维建模领域，平行四面体常被用于表示物体的三维空间结构。
2. 计算几何：平行四面体是计算几何中的重要概念，可以用来求解空间中的各种几何问题。
3. 数学教学：在数学教学中，通过平行四面体的例子可以引导学生理解三维空间的概念，并进行相关的几何推理。
总结：平行四面体是空间几何学中的一个重要概念，它由四个平行的且不在同一平面的三角形组成。
它具有一系列独特的性质，如对棱平行且相等、对顶角平等等。
平行四面体在实际生活中也有很多应用，如三维建模、计算几何等。
5.1.15.1等参数单元及空间问题分析
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4
空间中的平行四面体的性质
空间中的平行四面体的性质平行四面体是一个特殊的多面体，它由四个平行的三角面构成。
在本文中，我们将探讨空间中平行四面体的性质和特点。
一、定义和基本性质平行四面体是一个具有四个平行的三角面的多面体。
它的基本性质如下：1. 四条边两两平行，相交于四个顶点。
2. 四个面都是三角形，且两两平行。
3. 任意两个相对的面是全等三角形。
4. 任意两个相邻的面之间的夹角相等。
二、四面体的种类根据顶点的不同位置和性质，平行四面体可以分为以下几种种类：1. 正四面体：四个面都是全等正三角形的平行四面体。
2. 斜四面体：四个面不全等，即至少存在两个不全等的面的平行四面体。
3. 直角四面体：存在一个直角的平行四面体。
4. 锐角四面体：所有面上的夹角均为锐角的平行四面体。
5. 钝角四面体：至少存在一个钝角的平行四面体。
三、平行四面体的性质除了基本性质外，平行四面体还具有一些其他的性质和特点。
1. 高度和底面积关系：平行四面体的高等于它的底面的面积乘以底面到对立面的距离。
2. 体积计算公式：平行四面体的体积等于底面积乘以高度的一半。
3. 对角线关系：平行四面体的对角线分别为刚好连接两个对立顶点的线段，两个对角线的交点位于中心。
4. 对称性质：平行四面体对称于它的中心点。
四、平行四面体的应用平行四面体的性质在实际应用中有重要的意义。
1. 体积计算：平行四面体的体积计算公式可以应用于建筑、工程等领域的体积计算。
2. 结构稳定性：平行四面体在一些结构中被用于提高稳定性和均衡性，例如桥梁和塔楼的设计。
3. 几何推理：平行四面体的性质可以用于几何推理和证明，对于数学学科具有重要意义。
结论：空间中的平行四面体是一个具有四个平行的三角面的多面体，它具有诸多特点和性质，包括边的平行性、面的平行性、对称性以及体积计算等。
平行四面体的性质在实际应用中具有重要的意义，对于建筑、工程和数学等学科都有一定的应用价值。
通过研究和理解平行四面体的性质，我们可以拓展对立体几何的认识，并应用于实际问题的解决中。
有限元 第4讲 轴对称问题与空间问题有限元法
u z v 0 w y x
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3.物理方程
r D z rz 1 1 E (1 ) D (1 )(1 2 ) 1 0
1 rc (ri r j rm ) z c 1 ( zi z j z m ) 3 3
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元 用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。
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应变矩阵变成：
B Bi
Bj
Bm
其中：
单元刚度矩阵的近似表达式为：
其中：
1 A 1 rj 2 1 rm
1
ri
zi zj zm
ai rj zm zmrj a j rm zi zi rm
bi z j zm bj zm zi bm zi z j
ci rm rj c j ri rm cm rj ri
am ri z j z j ri
x y y w 0 z z u v xy y x y yz v w 0 zx z y w u x z z y 0 x z 0
1.离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，因此轴对称问 题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环 形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。 2.应力和应变 对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为Z轴，径向 为r 轴，环向为θ轴。 z
第四章轴对称问题
主要内容： 4-1轴对称问题有限单元法 4-2空间问题常应变四面体单元
轴对称结构体可以看成由任意
一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而 形成。此旋转轴即为对称轴，纵向 剖面称为子午面，如图4-1表示一 圆柱体的子午面abcd被分割为若干 个三角形单元，再经过绕对称轴旋 转，圆柱体被离散成若干个三棱圆 环单元，各单元之间用圆环形的铰 链相连接。对于轴对称问题，采用 圆柱坐标较为方便。以弹性体的对 称轴为z轴，其约束及外载荷也都 对称于z轴，因此弹性体内各点的 各项应力分量、应变分量和位移分 量都与环向坐标θ无关，
zi , z j , zm, ri , rj , rm 及结点位移ui , uj , um, wi , w j , wm代入式（4-4）中,可以 解出六个待定系数 1, 2, 。,再6 将这些待定系数回代到式 （4-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任 一点的位移表达式
u Ni ui N j u j Nmum w Ni wi N j w j Nmwm
bi A1 fi
Si
2 A3 A
A1
bi
A1bi A2ci
fi fi
A1ci
ci
i, j, m
A1ci A2bi
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其中
u A1 1 u
，
1 2u
A2 21 u
，
1 uE A3 41 u1 2u
从（4-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他 三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样 采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单 元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。
e1
e1
这就是求解结点位移的方程组，写成标准形式