二次函数的图象与性质课件定稿2017.3.1终稿
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二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数的图像和性质课件
❖ 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它 的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
❖ 抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=k；
（3）顶点坐标是（h，k）。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的
图象和抛物线y=-0.5x²,y=-
0.5(x+1)2有什么关系?它的
开口方向,对称轴和顶点坐
标分别是什么?
y=-½(x+1)²
顶点是 (-1,-1).
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作是抛物线
y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的.
y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
例3 画出函数y=-0.5（x+1）²-1的图像，指出 它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x² 经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）² -1？
思考：
二次函数y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2和 y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开 口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是
顶点，设抛物线的解析式为
Y=a（x-1）²+3 （0≤x≤3）
点（3、0）在抛物线上，所以有
0=a（3-1）²+3
∴ a=-¾
∴ y=-¾（x-1）²+3 （0≤x≤3） 点（1、3）
当x=0时，y=2.25，
❖ 抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=k；
（3）顶点坐标是（h，k）。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的
图象和抛物线y=-0.5x²,y=-
0.5(x+1)2有什么关系?它的
开口方向,对称轴和顶点坐
标分别是什么?
y=-½(x+1)²
顶点是 (-1,-1).
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作是抛物线
y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的.
y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
例3 画出函数y=-0.5（x+1）²-1的图像，指出 它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x² 经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）² -1？
思考：
二次函数y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2和 y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开 口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是
顶点，设抛物线的解析式为
Y=a（x-1）²+3 （0≤x≤3）
点（3、0）在抛物线上，所以有
0=a（3-1）²+3
∴ a=-¾
∴ y=-¾（x-1）²+3 （0≤x≤3） 点（1、3）
当x=0时，y=2.25，
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第1课时)
对 称 取 点
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
二次函数的图像与性质优秀课件
0
y=-x2_1 ......
6 -1
4
1
2
……
-1
-4
......
0
……
......
2
y=-x2+1
-10
-5
O
5
x 10
y=-x2
-2
-4y=-x2_1
5
函数y x2 1, y x2 1 的图象与函数 y=-x2 的图象相比，
有什么共同点和不同点？
相同点：一次项系数是0 a<0 开口：向下。 a相等，抛物线大小一样。
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则
(B )
A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4
C.y3>y2>y4>y1
y2 y1
y3 y4
D.y4>y2>y3>y1
x2 x4
x3 x1
16
17
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 下 ，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。 12
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减 10
二次函数的图像与性质课件
面积问题
矩形面积问题
通过二次函数表示矩形面 积与边长之间的关系，解 决最大面积问题。
三角形面积问题
利用二次函数表示三角形 面积与高或底之间的关系， 求解最大或最小面积。
梯形面积问题
通过二次函数表示梯形面 积与上底、下底和高之间 的关系，解决面积优化问 题。
利润问题
总利润与销售量关系
利用二次函数表示总利润与销售量之间的关系，找到最大利润点。
韦达定理的应用
韦达定理可用于求解一元二次方程的两个根的平方和、倒数和等问题，简化计算过程。同时，在解决 与二次函数相关的问题时，韦达定理也具有重要的应用价值。例如，在求解二次函数的顶点坐标、对 称轴等问题时，可以利用韦达定理进行求解。
PART 05
二次函数在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
定价策略
通过二次函数分析商品定价与销售量、成本之间的关系，制定最优 定价策略。
成本控制
利用二次函数表示成本与产量之间的关系，寻求最低成本方案。
抛物线型问题
抛物线顶点与对称轴
01
通过二次函数的图像分析，确定抛物线的顶点坐标和对称轴方
程。
抛物线开口方向与最值
02
根据二次函数的系数判断抛物线的开口方向，并找到函数的最
与x轴交点
二次函数与x轴的交点即为方程的根。当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根，图像 与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根），图像与x轴有一个交点；当 Δ<0时，方程无实根，图像与x轴无交点。
PART 03
二次函数性质探讨
REPORTING
WENKU DESIGN
伸缩变换
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3.图象特征
4.关键点 5.增减性
2、欣赏你的结论---由小见大，建构我的数学王国
形
（一个小小的图象）
表面的
数
（一串长长的结论）
深层的
（多看多想）
问题延伸---题目我来编
1.对称轴变为x=n，其他条件不变，我们来研究研究.
从数上解释----用数式的方式，你怎么做？
从a的表达式，你得到什么？何时开口向上？向下？
谢谢！
图象过点（-1,0）， （0,3），图象对称 轴x=1 （题目的三个关键 条件）
（2）读细节
抛物线与y轴的 交点C在x轴上方 图象过点（-1,0） 图象必过点（3,0） 顶点坐标（1,4）,2a+b=0 当x=0时，y=c. C决定图象与y轴交 点的位置
x=1时，图象对应 点最高
（2）读细节
图象有在x轴上方的
图象有在x轴下方的
ห้องสมุดไป่ตู้图象有对称性
（0,3）关于x=1的 对称点（2,3） 图象的增减性由开 口方向和对称轴共 同决定.
图象有增减性
（3）找联系
图象与x轴有两 个交点
两个交点是 （-1,0），（0,3）
问题回想——数学味道我来品
1、方法解读---如何识图（脚手架）
如何识图 1.这是一个什么函数的图 象 2.二次函数解析式 心中有个脚手架 二次函数（自变量的取值范围， 函数值的范围，对应关系） 三种解析式表达方法，选 哪一种？ 开口(方向，大小)？对称轴？ 顶点坐标？-----该记的要记清楚. 与坐标轴的交点.图象中出 现的所有点 图象的变化趋势----对称 轴起着关键作用
二次函数的图象与性质 复习课
广州市第九十七中学 林佳娜
二次函数基本知识回顾
1.解析式(一般式、顶点式、交点式)
2.抛物线位置由a、b、c决定
开放性问题---基本图形我来读
图1
（1）看整体
图象特征（形） 数式表达（数） 数形结合的结合点
二次函数的图象 是一条抛物线.
函数图象是抛物 线,且开口向下