2011-2012学年高中毕业班第一次模拟数学(理科)试题

合集下载

江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(理科)试题

南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟数学试题（理科）命题人：审题人：说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试用时120分钟，注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。

2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。

3．考试结束后，请将答题纸交回。

第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（）A. 12B. 8C. 6D. 49. 已知函数()2log ,1,,1,x x f x x x ξ≥⎧=⎨+<⎩在R 上单调递增的概率为12，且随机变量()~,1N u ξ．则()01P ξ<≤等于（）[附：若()2~,Nξμσ，则()0.6827P x μσμσ−≤≤+=， ()220.9545P x μσμσ−≤≤+=．] A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.341310. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（）A. 4B. 12C. 4D. 211. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( ) A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________. 14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是．15. 将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 . ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53； ③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2；④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.的17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23122n S n n =−． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的正弦值．19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13.调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读． (1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?K 2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()e 1ln x f x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.（1）当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.。

江西省吉安县2011-2012学年上学期五科联赛全真模拟数学试题(含答案)

江西省吉安县2011-2012学年上学期五科联赛全真模拟数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每个小题3分，共24分）每个小题只有一个正确选项. 1．我们身处在自然环境中，一年接受的宇宙射线及其它天然辐射照射量约为3100微西弗（1西弗等于1000毫西弗，1毫西弗等于1000微西弗），用科学记数法可表示为（）. A ．63.110⨯西弗 B ．33.110⨯西弗 C ．33.110-⨯西弗 D ．63.110-⨯西弗2．衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF AG 、分别架在墙体的点B 、点C 处，且AB AC =,侧面四边形BDEC 为矩形，若测得100FAG ∠=︒，则FBD ∠=( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°3．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA ’B ’C ’的位置.若OB=23，∠C=120°，则点B ’的坐标为（） A. ()3,3 B. ()3,3- C.()6,6 D.()6,6-4．对于实数a 、b ，给出以下三个判断： ①若b a =，则b a =． ②若b a <，则 b a <．③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 5．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（） A2m B.3m C.6m D.9m6．如图，从边长为（a ＋4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）.EABCD FG（第2题）O（第6题图）A ．22(25)cm a a + B ．2(315)cm a + C ．2(69)cm a + D ．2(615)cm a +7．设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m nmn-的值等于 A. 23 B . 3B. C .6D . 38．如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC =2，BD =1，AP =x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E 与震级n 的关系为E =10n ，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是． 10．方程220x x -=的解为 . 11．已知x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,42,52y x y x 则x －y 的值为.12．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C .若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为。

2012年广州市一模数学试题(理科)

数学（理科）试题A 第 1 页共 4 页试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．方差()()()2222121n s x x x xx xn ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12n x x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12 D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定数学（理科）试题A 第 2 页共 4 页5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠= ，2A B =，6B C =，在B C 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16B ．13C ．12D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题）9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为．11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．5 121 22图2图1 俯视图正(主)视图侧(左)视图数学（理科）试题A 第 3 页共 4 页（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦A B 的中点，3O P =cm ，弦C D 过点P ，且13C P C D=，则C D 的长为 cm ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3C D =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线A P 与平面PBC 所成角的正弦值．图4甲组乙组 89 7a 357 9 66 图5BPACD图3数学（理科）试题A 第 4 页共 4 页19．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214yx +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线A P 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设T A B ∆与P O B ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uurg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn xxxg x x n =+++++L （*n ∈N ）．（1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9．310．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 t a n t a n341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==--………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分 ()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ①因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos 5α=-，sin 5α=-．…………………………………………10分所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦.……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为08分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 121423012346161616161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分6817164==.…………………………………………………………………………………………12分……………………10分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC平面ABC，平面PAC 平面A B C A C=，PD⊂平面PAC，ACPD⊥，所以P D⊥平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，A B B C=，所以ACBE⊥．因为AB BC==4=AC，所以BE===3分因为P D⊥AC，所以△PC D为直角三角形．因为PD=，3C D=，所以PC===．………4分连接B D，在R t△BD E中，因为BE=，1D E=，所以BD===5分因为P D⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以P D⊥BD．在R t△PBD中，因为PD=，BD=，所以PB===．…………………………………………………6分在PBC∆中，因为BC=PB=PC=所以222BC PB PC+=．所以PBC∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC平面ABC，平面PAC I平面A B C A C=，PD⊂平面PAC，ACPD⊥，所以P D⊥平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为A B BC=，所以ACBE⊥．因为AB BC==4=AC，所以BE===3分连接B D，在R t△BD E中，因为90BED∠=o，BE=，1D E=，所以BD===4分在△BC D中，因为3C D=，BC=BD=，所以222BC BD CD+=，所以BC BD⊥．……………………………………………………………5分因为P D⊥平面ABC，B C⊂平面ABC，所以BC PD⊥．…………………………………………………………………………………………6分因为BD PD D=，所以B C⊥平面PBD．因为PB⊂平面PBD，所以B C P B⊥．所以PBC∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分BPA CDE（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连P H ，则A P H ∠为直线A P 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12A B C S A C B E ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =，所以13P A B C A B C V S P D -∆=⨯⨯133=⨯=10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC =，PB =所以△PBC的面积11322P B C S BC PB ∆=⨯⨯=⨯=．……………………………………11分因为三棱锥A P B C -与三棱锥P A B C -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即1333AH ⨯⨯=，所以3AH =．……………………………………………………………12分在R t △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 23A H A P H A P∠===．所以直线A P 与平面PBC314分解法2：过点D 作D M AP ∥，设DM PC M = ，则D M 与平面PBC 所成的角等于A P 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，B C P B ⊥，且PD PB P = ，所以B C ⊥平面PBD ．因为B C ⊂平面PBC ，所以平面P B C ⊥平面PBD ．过点D 作D N P B ⊥于点N ，连接M N ，则D N ⊥平面PBC ．所以D M N ∠为直线D M 与平面PBC 所成的角．……10分在R t△PAD 中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………11分因为D M AP ∥，所以D M C D A PC A=，即324D M =，所以32D M =．………………………………12分由（1）知BD=，PB =PD =，所以2P D B D D N PB⨯===13分BP ACDMN因为2sin 332D N D M N D E∠===，所以直线A P 与平面PBC314分解法3：延长C B 至点G ，使得B G B C =，连接A G 、P G ，……………………………………8分在△P C G中，PB BG BC ===所以90CPG ∠=o ，即C P P G ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4A C =，所以222PA PC AC +=，所以C P P A ⊥．因为PA PG P =I ，所以C P ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为A K ⊂平面PAG ，所以C P AK ⊥．因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面P C G ．所以APK ∠为直线A P 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，B C P B ⊥，所以PG PC ==在△C AG 中，点E 、B 分别为边C A 、C G 的中点，所以2AG BE ==12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即P A A G ⊥．……………………………………………………………13分因为sin 3A G A P K P G∠===．所以直线A P 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分解法4：以点E 为坐标原点，以E B ，E C 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -，)0,0B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.P B P C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,30.y y +-=-=⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线A P 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n所以直线A P 与平面PBC 314分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以E B ，E C 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)0,0B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =- ，()2,0BC =．因为(()2,00BP BC =-=，所以BP BC ⊥ ．所以B P B C ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP = ，PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.P B P C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,30.y y +-=-=⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线A P 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线A P 与平面PBC所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232nn n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，1=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214yx -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线A P 的斜率为k （0k >），则直线A P 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k-=+．所以22244k x k-=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为AP AT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线A P 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S A B y y ==，21111||||||22S O B y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x xx x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t tt-+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：（资料来源：中国高考吧） ①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>，因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为11111111112211121CCC2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分方法2（基本不等式法）：因为12n +≤，……………………………………………………………………………………11分12n +≤，……，12n +≤，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分。

2013年高考数学40个考点总动员考点11 定积分的概念与微积分基本定理(教师版) 新课标

2013年新课标数学40个考点总动员考点11 定积分的概念与微积分基本定理（教师版）【高考再现】热点一定积分的基本计算1. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分121(sin)x x dx-+=⎰___________【方法总结】1.计算简单定积分的步骤：(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)；(4)利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值．2.求定积分的常用技巧：(1)求被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．热点二微积分基本定理的应用3.(2012年高考山东卷理科15)设a＞0.若曲线y x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。

【答案】9 4【解析】a a x dx x S a a====⎰232303232，解得49=a . 4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【考点剖析】二．命题方向定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。

【恒心】【好卷速递】河南省普通2012年高中毕业班高考适应测试(数学理)扫描版

2012年河南省新课程高考适应性考试理科数学试题参考答案及评分标准（13）对于任意的x∈R，都有113x x--+≤.（14）32π+（15）(415+（16）3三、解答题（17）解：（Ⅰ）1()41nn nnaa f aa+==+，1114n na a+=+，1114n na a+-=.数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，4为公差的等差数列．………………………………… 3分114(1)nna=+-，则数列{}n a的通项公式为143nan=-．…………………………6分（Ⅱ）12325292(43)2.nnS n=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅……………………①2341225292(43)2.nnS n+=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅……………………②②-①并化简得1(47)214nnS n+=-⋅+．……………………………………………10分易见nS为n的增函数，2012nS>，即1(47)21998nn+-⋅>．满足此式的最小正整数6n=．…………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）程序框图中的①应填2M=，②应填8n=.(注意：答案不唯一.)……………2分（Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止.所以225(1)8p p+-=，解得：34p=或14p=，因为12p>，所以3.4p=……6分（Ⅲ）依题意得，ξ的可能值为2，4，6，8.5(2)8P ξ==，5515(4)(1)8864P ξ==-⨯=，55545(6)(1)(1)888512P ξ==--⨯=，55527(8)(1)(1)(1)1888512P ξ==---⨯=.所以随机变量ξ的分布列为故51545278032468864512512256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………12分（19）证明：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连接EN ，又因为M 是PB 的中点，N 是BC 中点. ME ∴∥PA ，NE ∥AC .M E N E E = ，PA AC A = ， ∴平面MNE ∥平面PAC .又⊂MN 平面MNE ，∴MN ∥平面PAC ………………4分（Ⅱ）1PA AB == ，M 是PB 的中点，PB AM ⊥∴.又⊥PA 平面ABCD ， ⊂BC 平面ABCD ，BC PA ⊥∴.又AB BC ⊥ ， PA AB A = ， ⊥∴BC 平面PAB . 又⊂AM 平面PAB , BC AM ⊥∴. ⊥∴AM 平面PBC .又⊂PN 平面PBC ，∴AM PN ⊥.所以无论N 点在BC 边的何处，都有AM PN ⊥.……………………………8分（Ⅲ）分别以AP AB AD ,,所在的直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设,m BN =则)0,0,0(A ，)0,0,2(D ，(0,1,0)B ，)0,1,2(C ，)0,1,(m N ，)1,0,0(P ，)1,0,2(-=PD ，(,1,1)PN m =- ，(0,0,1).PA =-设平面NEA BCDPMPDN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,P D P N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 20,0.x z m x y z -=⎧⇔⎨+-=⎩ 令1=x 得m y -=2，2=z ，设PA 与平面PDN 所成的角为θ，sin cos ,PA θ=<>n=，22)2(522=-+∴m ，解得32-=m 或32+=m （舍去）.2m ∴=-……………………………………………………………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题意得1,32caa c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩1,3c a =⎧⇒⎨=⎩82=⇒b . 椭圆C 的方程为：221.98xy+=……………………………………………………4分（Ⅱ）记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为00(,)M x y ,)0,3(-A ,)0,3(B ，,3001+=∴x y k 020,3y k x =-212209y k k x ∴=-.P 在椭圆上，所以)91(818920202020x yy x -=⇒=+，1k 2k ⋅98-=，设),9(1y G ),9(2y H ，则1211y k k AM ==，622y k k MB ==.722121y y k k =∴，又1k 2k ⋅98-=.1212864729y y y y ∴=-⇒=-.……………………………………………………………8分因为G H 的中点为)2,9(21y y Q +，12GH y y =-,所以，以G H 为直径的圆的方程为：4)()2()9(2212212y y y y y x -=+-+-.令0=y ，得64)9(212=-=-y y x ，17,1==∴x x ，将两点)0,1(),0,17(代入检验恒成立.所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点(17,0),(1,0).…………………………12分（21）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞， 1()f x ax b x'=--，由(1)f '=0，得1b a =-.∴1(1)(1)()1ax x f x ax a xx-+-'=-+-=.…………………………………………2分①若a ≥0，由)('x f =0，得x =1. 当10<<x 时，()0f x '>，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，()0f x '<，此时)(x f 单调递减.所以x =1是)(x f 的极大值点. …………………………………………………………4分 ②若a ＜0，由()f x '=0，得x =1，或x =a1-.因为x =1是)(x f 的极大值点，所以a 1-＞1，解得－1＜a ＜0.综合①②：a 的取值范围是a ＞－1. ……………………………………………………6分（Ⅱ）因为函数()2()F x f x x =-λ有唯一零点，即20x ln x x λ--=有唯一实数解，设2g (x )x ln x x =λ--，则221()x x g 'x xλ--=．令0)('=x g ，2210x x λ--=．因为0λ>，所以△=18+λ>0，方程有两异号根设为x 1<0，x 2>0. 因为x >0，所以x 1应舍去. 当),0(2x x ∈时，0)('<x g ，)(x g 在（0，2x ）上单调递减; 当),(2+∞∈x x 时，0)('>x g ，)(x g 在（2x ，+∞）单调递增.当2x x =时，)('2x g =0，)(x g 取最小值)(2x g ．……………………………………9分因为0)(=x g 有唯一解，所以0)(2=x g ，则⎩⎨⎧==,0)(',0)(22x g x g 即22222220210x ln x x ,x x .⎧λ--=⎪⎨λ--=⎪⎩因为0λ>，所以01ln 222=-+x x （*）设函数1ln 2)(-+=x x x h ，因为当0>x 时，)(x h 是增函数，所以0)(=x h 至多有一解．因为0)1(=h ，所以方程（*）的解为21x =，代入方程组解得1λ=．…………………………………………………………………12分（22）解：BC AB ACB ==∠,30，30=∠∴CAB .又因AB ⊙O 的直径，所以 90=∠ADB ，60=∠ABD . 又因OD OB =，BD OD OB AB 222===∴，3==DC AD .所以2=AB .1===∴BD OD OB ，………………………………………………………………6分30=∠ACB ，23,60==∠∴DE CDE.OD OA = ， 30=∠∴ADO ， 90=∠∴ODE ，27143=+=∴OE ……10分（23）解:（Ⅰ）由θρsin 4=得，θρρsin 42=即曲线1C 的直角坐标方程为0422=-+y y x ，AOBEDC由()6πθρ=∈R 得，x y 33=………………………………………………………5分（Ⅱ）把x y 33=代入0422=-+y y x 得03343122=-+x x x ，0334342=-x x 解得01=x ，32=x ，所以01=y ，12=y ，213=+=MN ………………………………………………………………………10分（24）解：（Ⅰ）1a =时，()|31|3f x x x =-++.当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤；当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -<≤.综上可得，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤……………………………………5分（Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩≥函数()f x 有最小值的充要条件为30,30,a a +⎧⎨-⎩≥≤即33a -≤≤……………………10分。

2023届福建省厦门市高三年级上册学期12月第一次质量检测模拟考数学试题【含答案】

厦门市2023届高中毕业班第一次质量检测模拟考数学试卷满分150分考试时间120分钟考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）{}2log 1A x x =≥{}260B x x x =--<()R A B A. B. C. D.{}21x x -<<{}22x x -<<{}23x x ≤<{}2x x <2.已知函数，则的值为（）()12log ,03,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩()4f f ⎡⎤⎣⎦A. B. C.D.919-9-193.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A.样本中的女生数量多于男生数量 B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科4.如图，是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将ABCD E F BC CD ，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点ABE △ECF △FDA △AE EF FA B C D ，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）P PAEFA. B. C. D.6π12π18π5.已知，若，则等于（）()2cos 221xxf x ax x =+++23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭A. B. C.0D.12-1-6.数列满足，，，则{}n a 1a =2a =()0n a >()22221122112n nn n n n a a aa n a a -+-+--=≥（）2017a = C. D.13233327.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的24y x =F A B A B 垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为1A 1B 11A B C ()2,3-C （）A. B.()()22122x y ++-=()()22115x y ++-=C. D.()()221117x y +++=()()221226x y +++=8.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的()()()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩()f x ax =a 取值范围是（）A. B. C. D.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，为复数，且，下列命题中正确的是（）1z 2z 12z z ≠A.若，则12z z =12z z =B.若，则的实部与的虚部互为相反数12i z z =1z 2z C.若为纯虚数，则为实数12z z +12z z -D.若，则，在复平面内对应的点不可能在同一象限12z z R ∈1z 2z10.四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（）A.四人中间概率与抽取顺序无关B.在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为23C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥D.事件甲中奖与事件乙中奖互相独立11.已知函数，则下列结论中正确的是（）()22sin cos f x x x x =-A.的对称中心的坐标是()f x (),026k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭B.的图象是由的图象向右移个单位得到的()f x 2sin 2y x =6πC.在上单调递减()f x ,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.函数内共有7个零点()()g x f x =+[]0,1012.在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足D ABC -E AB ，点为线段上的动点设直线与平面所成的角为，则下列结2AE EB =F AC DE DBF α论中正确的是（）A.存在某个位置，使得B.不存在某个位置，使得DE BF⊥4FDB π∠=C.存在某个位置，使得平面平面D.存在某个位置，使得DEF ⊥DAC 6πα=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布，则在此期()21000,100N 间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300的概率为______.附：若，则：，()2,X Nμσ ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，.()220.9544P X μσμσ-<≤+=()330.9974P X μσμσ-<≤+=14.若，则等于______.()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++ 127a a a +++ 15.已知抛物线的焦点为，，为抛物线上两点，若，为坐标24y x =F A B 3AF FB =O 原点，则的面积为______.AOB △16.已知数列与满足，若，{}n a {}n b ()1122*n n n n a b b a n +++=+∈N 19a =且对一切恒成立，则实数的取值范()3*n n b n =∈N ()33633n n a n λλ≥+-+*n ∈N λ围是______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在中，点在边上，ABC △D BC，，.4CAD π∠=72AC =cos ADB ∠=（Ⅰ）求的值；sin C ∠（Ⅱ）若的面积为7，求的长.ABD △AB 18.（本小题满分12分）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，ABCD ABPE 平面平面，且，，，ABCD ABPE AB =2AB BP ==1AD AE ==AE AB ⊥.AE BP∥（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；M PD EM ∥ABCD （Ⅱ）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？PD N BN PCD 25若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.N 19.（本小题满分12分）已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前{}n a n S {}n a 项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，n 37S =13a +23a 34a +{}n b n n T 满足，且.*n N ∀∈1112n n T T n n +-=+11b =（Ⅰ）求数列和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）令，记数列的前项和为，求.22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数{}n c 2n 2n Q 2n Q 20.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：X ①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；X ②求的数学期望和方差.X()2P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，()2222:10x y E a b a b+=>>1F ，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，过点的直线交椭圆于2F 121F 1l E A B 2F 1l E ，两点，且，当轴时，.C D AB CD ⊥CD x ⊥3CD =（Ⅰ）求的标准方程；E （Ⅱ）求四边形面积的最小值.ACBD 22.（本小题满分12分）已知函数，.()ln 1x f x e x =-()xx g x e =（Ⅰ）若在上有两个不等实根，求的范围；()g x a =()0,2a （Ⅱ）证明：.()()20f x eg x +>参考答案一、单选题题号12345678答案BCDCAABB二、多选题题号9101112答案BD ABCABDBC三、填空题13.0..25315.16.13,18⎛⎫+∞⎪⎝⎭四、解答题17.（1）因为…（2分）cos ADB ∠=sin ADB ∠=又因为，所以，4ACD π∠=4C ADB π∠=∠-所以：4sin sin sin cos cos sin 4445C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠-∠==⎪⎝⎭，…（6分）（2）在中，由正弦定理得，ADC △sin sin AD ACC ADC=∠∠故…（8分）()sin sin sin sin sin sinAC C AC C AC C ADADC ADB ADB π⋅∠⋅∠⋅∠=====∠-∠∠，解得，…（10分）11sin 722ABD S AD AB ADB BD =⋅⋅⋅∠=⋅=△5BD =在中，由余弦定理得：ADB △，所以，2222cos 8252537AB AD BD AD BD ADB ⎛=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯= ⎝….（12分）AB =18. （Ⅰ）证明：∵平面平面，平面平面，ABCD ⊥ABEP ABCD ABEP AB =，BP AB ⊥∴平面，又，∴直线，，两两垂直，BP ⊥ABCD AB BC ⊥BA BP BC 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标B BA BP BC x y z 系.则，，，，，∴，()0,2,0P ()0,0,0B ()2,0,1D ()2,1,0E ()0,0,1C 11,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，.11,0,2EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()0,2,0BP =∵平面，∴为平面的一个法向量，BP ⊥ABCD BPABCD ∵，∴.又平面，∴11002002EM BP ⋅=-⨯+⨯+⨯= EM BP ⊥ EM ⊄ABCD 平面.EM ∥ABCD （Ⅱ）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.N D BN PCD 25理由如下：∵，，()2,2,1PD =- ()2,0,0CD =设平面的法向量为，则.令，得.PCD (),,n x y z = 20220x x y z =⎧⎨-+=⎩1y =()0,1,2n = 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于.PD N BN PCD α25设，∴.()()2,2,01PN PD λλλλλ==-≤≤ ()2,22,BN BP PN λλλ=+=-∴.2cos ,5BN n ==∴，解得或（舍去）。

吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟测试数学试题(解析版)

吉林市普通中学2024—2025学年度高中毕业年级第一次模拟测试数学试题说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码．2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚．3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.已知复数i 1z =+，则z =（）A.0B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】先求z 的共轭复数，再利用复数模的计算公式求解即可.【详解】由i 1z=+，则1i z =-，则z ==故选：C.2.“cos 0α<”是“角α为第二象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件，结合三角函数在各象限的符号得解.【详解】因为cos 0α<，所以α可能为第二、第三象限角，也可能终边在x 负半轴上，推不出α为第二象限角，但是角α为第二象限角，能推出cos 0α<，所以“cos 0α<”是“角α为第二象限角”的必要不充分条件.故选：B3.已知{}2,1,0,1,2A =--，{}2N B x x A =∈∈，则A B = （）A.{}1 B.{}0,1 C.{}1,1- D.{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】解出集合B ，根据集合交集运算可求解.【详解】根据题意可知集合B 元素，N x ∈且2x A ∈，则0x =或1x =，所以集合{}0,1B =，则{}{}{}2,1,0,1,20,10,1A B ⋂=--⋂=.故选：B4.已知向量()1,1a t =+- ，()2,1b =r ，则（）A.若//a b r r ，则12t =-B.若//a b r r，则1t =C.若a b ⊥，则32t =- D.若a b ⊥，则12t =-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量共线与垂直的坐标公式计算即可.【详解】对于AB ，若//a b r r，则12t +=-，解得3t =-，故AB 错误；对于CD ，若a b ⊥ ，则()2110a b t ⋅=+-= ，解得12t =-，故C 错误，D 正确.故选：D.5.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，23a b =，则cos B =（）A.34B.53C.23D.74【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理即二倍角公式可求cos B 的值.【详解】因为23a b =，由正弦定理2sin 3sin A B =，又2A B =，所以2sin 23sin B B =⇒4sin cos 3sin B B B =,因为B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，所以4cos 3B =⇒3cos 4B =.故选：A6.已知等差数列{}3log n a 的公差为1，则8552a a a a -=-（）A.1B.3C.9D.27【答案】D 【解析】【分析】由题意得13n na a +=，从而对所求式子进行变形即可求解.【详解】由题意113133log log log 13n n n n n na aa a a a +++-==⇒=，所以()352855252327a a a a a a a a --==--.故选：D.7.设样本数据1x ，2x ，…，2024x 的平均数为x ，标准差为s ，若样本数据141x +，241x +，…，202441x +的平均数比标准差少3，则214s x+⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（）A.1B.C.4D.【答案】C 【解析】【分析】由平均数、标准差的性质结合已知条件得1x s =-，从而2211s x s s ++=-≥-，由此能求出214s x+⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值．【详解】样本数据1x ，2x ，…，2024x 的平均数为x ，标准差为s ，样本数据141x +，241x +，…，202441x +的平均数为41x +，标准差为4s ，依题意有3441s x +-=，得1x s =-，由0s ≥，2211s x s s ++=-≥-，所以2111444s x+-⎛⎫≤⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即0s =时，214s x+⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为4.故选：C.8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，若函数()f x θ+的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A.215B.415C.25D.815【答案】B 【解析】【分析】根据图象得到()5ππ2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而有()5π5ππ2sin 446f x x θθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据题设得到44,Z 155k k θ=+∈，即可求解.【详解】由图知，()02sin 1f ϕ==，得到1sin 2ϕ=，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，又由“五点法”作图知，第三个点为2(,0)3，得到2ππ36ω+=，解得5π4ω=，所以()5ππ2sin 46f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()5π5ππ2sin 446f x x θθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又()f x θ+的图象关于y 轴对称，则5ππππ,Z 462k k θ+=+∈，得到44,Z 155k k θ=+∈，令0k =，得到415θ=，令1k =-，得到815θ=-，所以θ的最小值为415，故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列不等式成立的是（）A.若22ac bc >，则a b >B.若a b >，则22ac bc >C.若22ac bc ≥，则a b ≥D.若a b ≥，则22ac bc ≥【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A ，由特殊值2c =0时可判断BC ，分类讨论结合不等式性质判断D.【详解】对于A ，若22ac bc >，由不等式性质，两边同乘以210c>，可得a b >，故A 正确；对于B ，若a b >，当2c =0时，22ac bc =，故B 错误；对于C ，当20,1,a b c ===0时，22ac bc ≥成立，但a b ≥不成立，故C 错误；对于D ，若a b ≥，当20c >时，由不等式性质知22ac bc ≥，当2c =0时，22ac bc =，不等式也成立，综上，若a b ≥，则22ac bc ≥，故D 正确.故选：AD10.如图，在ABC V 中，点D 为BC 的中点，点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，点G 为AD 与BE 的交点，则（）A.7BC = B.AE 是AB 在AC上的投影向量C.2136DE BA BC =- D.35BG BE= 【答案】BC 【解析】【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的几何意义与运算律可判断各选项.【详解】A 选项：由BC AC AB=-，则BC == A 选项错误；B 选项：由向量数量积的几何意义可知AB 在AC上的投影的数量为1cos 212AB BAC ∠=⨯= ，又点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，即113AE AC ==，即cos AB BAC AE ∠= ，所以AE 是AB 在AC上的投影向量，B 选项正确；C 选项：()121221232336DE DC CE BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=-，C 选项正确；D 选项：设BG BE λ=，又点G 在AD 上，可设()112x BG xBA x BD xBA BC -=+-=+ ，又()221333BE BC CE BC BA BC BA BC =+=+-=+，则233BG BE BA BC λλ=λ=+，则231132x x λλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得1234x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即34BG BE =，D 选项错误；故选：BC.11.已知函数()sin e xxf x x=-，则（）A.()f x 是周期函数B.()11f x -<<C.()f x 在()0,π上恰有1个极值点D.关于x 的方程()13f x =有两个实数解【答案】BCD 【解析】【分析】结合周期函数的特点可判断A 项；运用函数放缩，再结合函数e x y x =-的性质可判断B 项；二次求导，再运用零点存在定理可判断C 项；分段研究可判断D 项.【详解】对于A 项：由于sin y x =具有周期性，而e x y x =-不具有周期性，所以函数()sin e xxf x x=-不是周期函数，故A 错误；对于B 项：因为函数e x y x =-定义域为R ，且e 1xy '=-，所以当(0,)x ∈+∞时，0'>y ，e x y x =-单调递增；当(,0)x ∈-∞时，0'<y ，e x y x =-单调递减.所以0e e 01x y x =-≥-=，且x →-∞或x →+∞时，e x y x =-→+∞，所以sin 11e e x x x xx≤≤--，又因为第一处等号成立的条件是ππ2x k =+，(Z k ∈），第二处等号成立的条件是0x =，所以两处等号不能同时成立，所以sin 1x x <-，所以sin 11e xxx-<<-，即()11f x -<<，故B 正确；对于C 项：因为()2cos (e )sin (e 1)(e )x x x x x x f x x ----'=，设()cos (e )sin (e 1)xxg x x x x =---，π()0,x ∈，则()sin (e )e sin 0xxg x x x x =---<'，所以()g x 单调递减，又因为0=1>0，()ππ(e π)0g =--<，所以()cos (e )sin (e 1)xxg x x x x =---在(0,π)上有且仅有一个变号零点，即′有唯一的零点，所以()f x 在0,π上恰有1个极值点，故C 正确；对于D 项：因为=−π4)>0，2π(e 1)02g π⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，且()g x 在(0,π)上单调递减，所以存在0ππ(,42x ∈，使0=0，所以当0(0,)x x ∈时，>0；当0(,π)x x ∈时，<0.所以当0(0,)x x ∈时，′>0，()f x 单调递增；当0(,π)x x ∈时，′<0，()f x 单调递减.因为0π0π4x <<<，所以0=0<o π4)<o 0)>oπ)=0，又因为π4πe e 1314-<-<-<，π4π2(e )34-<，所以π42123πe 4>-，即π1()43f >，所以=与13y =在(0,π)上有两个交点，所以方程()13f x =有两个实数解.当(3,+)x ∈∞时，sin 1()e e x xxf x xx=≤--，又因为e −>e 3−3>2.73−3>3，所以sin 11()e e 3x xxf x xx =≤<--，所以方程()13f x =在(3,+)∞上无实数解.当(π,0)x ∈-时，()0f x <，方程()13f x =在()π,0-上无实数解.；当(,3)x ∈-∞-时，sin 1()e e x xx f x xx=≤--，又因为e −>e −3+3>3，所以sin 11()e e 3x xxf x xx =≤<--，所以方程()13f x =在(,3)-∞-上无实数解.综上可知关于x 的方程()13f x =有两个实数解，故D 正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中14题的第一空填对得2分，第二个空填对得3分．12.中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6G 外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6G 项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为______．【答案】0.94##4750【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件求()P AB ，即可得结果.【详解】设甲、乙团队攻克该项技术难题分别为事件,A B ，则()()0.8,0.7P A P B ==，可得()()()()()()()1110.810.70.06P AB P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤==--=--=⎣⎦⎣⎦，所以该科研院攻克这项技术难题的概率为()10.94P AB -=.故答案为：0.94.13.已知集合{}*2,NA x x n n ==∈，{}*3,N nB x x n ==∈，将A B 中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{}n a ，则数列{}n a 的前20项和为______．【答案】345【解析】【分析】明确A B 中的元素，了解数列{}n a 前20项的构成，可求数列{}n a 的前20项的和.【详解】由题意，数列{}n a 的前20项为：2，3，4，6，8，9，10，12，14，16，18，20，22，24，26，27，28，30，32，34.所以数列{}n a 的前20项的和为：()201723439272S +=+++345=.故答案为：34514.已知函数()23e 2x x f x x -=--，()23ln 2x g x x x -=--的零点分别为1x ，2x ，且12x >，22x >，则1212x x -=-______；若21a x x <-恒成立，则整数a 的最大值为______．（参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln 7 1.95≈，ln17 2.8≈．）【答案】①.2②.6【解析】【分析】利用函数图象的对称性，得点()11,ex x 与点()22,ln x x 关于直线y x =对称，则有12112e 2x x x +==-，21212ln 2x x x +==-，所以12122x x -=-；2122122x x x x -=---，由已知参考数据利用零点存在性定理可得28.59x <<，可求21x x -的范围得整数a 的最大值.【详解】函数232x y x -=-与两函数e x y =，ln y x =图象的交点的横坐标即为()f x 和()g x 的零点，反比例函数1y x=的图象关于直线y x =对称，函数231222x y x x -==+--的图象，可以由1y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，则对称直线为()22y x x =-+=，函数231222x y x x -==+--的图象关于直线y x =对称，又函数e x y =与ln y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，当12x >，22x >时，有点()11,e x x 与点()22,ln x x 关于直线y x =对称，则有12112e 2x x x +==-，21212ln 2x x x +==-，所以12122x x -=-；2122122x x x x -=---，由()23ln 2x g x x x -=--，()()()28.53141728288.5ln 8.5ln ln17ln 2 2.80.708.52 6.521313g ⨯-=-=-=--≈-->-，()29315159ln 92ln 3 2.209277g ⨯-=-=-≈-<-利用零点存在性定理可得28.59x <<，故21116.576.57x x -<-<-，又()16.56,76.5-∈，()176,77-∈，若21a x x <-恒成立，则整数a 的最大值为6.故答案为：2；6.【点睛】关键点点睛：本题关键点是：函数232x y x -=-的图象关于直线y x =对称，函数e x y =与ln y x =的图象关于直线y x =对称，可知点()11,e x x 与点()22,ln x x 关于直线y x =对称，得到12112e 2x x x +==-，21212ln 2x x x +==-.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游IP 矩阵．吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据初赛成绩，仅有30%的学生能进入决赛．现从参加初赛的学生中随机抽取100名，记录并将成绩分成以下6组：40,50，50,60，60,70，[)70,80，80,90，90,100，得到如下图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分；（2）从样本成绩在[)60,90内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人访谈，求至多有一人成绩在60,70内的概率．【答案】（1）0.020a =，72.5；（2）45.【解析】【分析】（1）根据频率直方图频率和为1即可求出a 的值，根据频率分布直方图结合百分位数的方法即可求进入决赛学生的初赛成绩最低分；（2）首先利用分层抽样得到抽取成绩在60,70的人数，再利用古典概型结合对立事件概率的求法进行求解即可.【小问1详解】由题()0.0100.0250.0300.0100.005101a +++++⨯=，解得0.020a =，根据初赛成绩，仅有30%的学生能进入决赛，又成绩在[]80,100的频率为()0.010.005100.150.3+⨯=<，成绩在[]70,100的频率为()0.020.010.005100.350.3++⨯=>，因此可估计进入决赛学生的初赛成绩最低分n 应该在[)70,80之间，则()800.0200.150.30n -⨯+=，解得72.5n =.【小问2详解】由成绩在60,70的频率为0.30，在[)70,80的频率为0.20，在80,90的频率为0.10，则从样本成绩在[)60,90内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人中，在60,70的人数为：0.3630.30.20.1⨯=++（人），在[)70,90的人数为0.20.1630.30.20.1+⨯=++人，则从这6人中任意抽取2人访谈，至多有一人成绩在60,70内的概率为2326C 41C 5P =-=.16.已知幂函数()f x x α=（R α∈）的图象过点()9,3．（1）求关于x 的不等式()()21f x f x -<的解集；（2）若存在x 使得()f x，)f ，()ln f x 成等比数列，求正实数t 的取值范围．【答案】（1）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由幂函数过定点解出()12f x x =，再由单调性解不等式即可；（2）由等比数列的性质列出等式，再分离参数，利用导数求出单调性，从而得到结果；【小问1详解】因为幂函数()f x x α=（α∈R ）的图象过点()9,3，所以39α=，解得12α=，所以()12f x x =，定义域为0x ≥，且为增函数，因为()()21f x f x -<，所以210210x x x x -<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得112x ≤<，所以不等式的解集为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】由题意可得)()()2ln f f x f x =⋅，2=，1,0x t >>即ln x t x =，所以21ln x t x ¢-=，令0e t x '=⇒=，所以当(]1,e x ∈时，0t '>，t 为增函数；()e,x ∈+∞时，0t '<，t 为减函数，所以max 1et =，所以正实数t 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.17.已知等差数列的前n 项和为n S ，满足2410a a +=，636S =.（1）求数列的通项公式；（2）求数列(){}11n n S +-的前2n 项和2n H ；（3）求数列12n n n a S S +⎧⎫+⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）222n n nH =--（3）()2221n n n T n +=+【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式及前n 项和公式可得解；（2）利用并项求和的方法可得解；（3）由()()22222212211111n n n a n S S n n n n +++==-⋅++，利用裂项相消法可得解.【小问1详解】由已知数列为等差数列，则24161241061536a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d ⎧⎨⎩==，所以()1121n a a n d n =+-=-；【小问2详解】由（1）得21n a n =-，则()122n n a a nS n +==，则12342122n nn S S S S H S S -=-+-++- ()()2222221234212n n =-+-++-- ()()()()()()12123434212212n n n n ⎡⎤=-++-+++---+⎣⎦ ()1234212n n =-+++++-+ ()1222n n+⋅=-22n n =--；【小问3详解】由（1）,（2）得()()222212211111n n n a n S S n n n n +++==-⋅++，所以()22222211111112231n T n n =-+-++-+ ()2111n =-+()2221n nn +=+.18.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan 3tan A C =．（1）若π4C =，tan b B =，求ABC V 的面积S ；（2）求证：22222a c b -=；（3）当1tan tan A B-取最小值时，求tan C ．【答案】（1）32（2）证明见解析（3）13【解析】【分析】（1）先由π4C =得到tan A 的值，再结合()tan tan B A C =-+得到tan B ，根据正弦定理得到a ，最后由三角形面积公式in 12s S ab C =可得结果；（2）由同角三角函数的关系和正余弦定理，化简即可证明；（3）利用()tan tan B A C =-+和tan 3tan A C =，将tan B 表示为24tan tan 3A A -，代入1tan tan A B -，化简可得均值不等式，计算求解即可.【小问1详解】由题意，πtan 3tan 3tan 34A C ===，则sin 10A =，()tan tan 31tan tan 21tan tan 131A CB AC A C ++=-+=-=-=--⨯，则25sin 5B =，所以tan 2b B ==，3102sin 3210sin 2255b A a B⨯===，所以ABC V 的面积113223sin 222222S ab C ==⨯⨯=.【小问2详解】由tan 3tan A C =，可得sin 3sin cos cos A C A C =，即sin cos 3sin cos 3A A a C C c ==，由余弦定理得：()()222222222222232b c a a b c a a bc a b c cc a b c ab +-+-==+-+-，化简得：222220b c a +-=，即22222a c b -=.【小问3详解】由tan 3tan A C =，可得()21tan tan tan tan 4tan 3tan tan 11tan tan tan 31tan tan 3A A A C AB AC A C A A A ++=-+=-=-=---⋅，又tan 0A >，所以21tan 3333tan tan tan 2tan 4tan 44tan 2A A A AB A A --=-=+≥，当且仅当1tan tan A A =，即tan 1A =时取等号，此时111tan tan 1333C A ==⨯=.19.已知函数()()32111e x f x ax b x =+++-+，a ，b ∈R ．（1）当0a =时，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为32y x m =+，求实数m 的值；（2）（ⅰ）证明：曲线=是中心对称图形；（ⅱ）若()1f x >当且仅当0x >，求a 的取值范围．【答案】（1）3（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）[)0,+∞【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义列式求解即可；（2）①根据对称性的定义分析证明；②根据题意可知1b =，分析可知原题意等价于()1f x >对任意0x >恒成立，分0a <和0a ≥两种情况，结合导数分析恒成立问题即可.【小问1详解】若0a =，则()()2111e x f x b x =++-+，()()22e 1e x x f x b '=-++，对于直线32y x m =+，当0x =时，y m =，由题意可得：()()0113022f b m f b ⎧=+=⎪⎨=-'=⎪⎩，解得23b m =⎧⎨=⎩，所以实数m 的值为3.【小问2详解】①因为函数()y f x =的定义域为R ，且()()()()()332211111e 1e x xf x f x ax b x a x b x -+-=+++-+-+-+-++()()3322e 111121e 1ex x x ax b x ax b x b =+++-+-+-+-=++，即()()2f x f x b +-=，可知()f x 关于点()0,b 对称，所以曲线()y f x =是中心对称图形；②若()1f x >当且仅当0x >，可知0x =是()1f x =的根，即()01f b ==，则()321e x f x ax x =+++，()()222e 311e x x f x ax '=-+++，可知()f x 关于点()0,1对称，原题意等价于()1f x >对任意0x >恒成立，若0a <，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞，不合题意；若0a ≥，因为()22e 2121e e e 12xx x x ++=≤+，当且仅当1e e x x=，即0x =时，等号成立，但0x >，即等号不成立，可得()22e 121e xx <+，则()22e 121e x x ->-+，且20ax ≥，可得()()222e 1131010221e x x f x ax '=-++>-++=>+，即()0f x '>，可知()f x 在()0,∞+内单调递增，则()()00f x f >=，符合题意；综上所述：a 的取值范围[)0,+∞.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。

2011-2012学年上学期高二第一次月考理科成绩统计2011.10.11(打印)

350↑
28 16 22 19 23 24 104 20.8 34 14 15 15 26 24 94 18.8 39 28 23 26 77 25.67
401↑ 29 21 24 20 26 27 118 23.6 36 18 17 18 30 27 110 22 40 29 25 27 81
27.00
450↑
32 30 29 23 29 32 143 28.6 38 21 22 24 35 31 133 26.6 40 32 35 31 98 32.67
500↑
36 31 31 24 33 35 154 30.8 39 22 25 28 36 31 142 28.4 42 36 38 33 107 35.67
邢会转王子龙李锦
普通合计普通平均
1
2
9 10 11 12 13 14
吕雪霞梁宗学阮丽丽
普通合计普通平均
3
17 18 19 20
朱伟民常凤娥
普通合计普通平均
145↑ 20 4 9 6 7 8 34 6.8 22 5 2 4 10 8 29 5.8 26 16 5 10 31
10.33
200↑
751↑ 44 48 46 37 49 49 229 45.8 46 42 44 53 55 47 241 48.2 44 57 55 49 161
53.67
900↑
46 62 63 48 60 61 294 58.8 46 55 53 64 63 62 297 59.4 45 66 64 59 189 63.00
物理
部别班级 1 2 3 4 5 6 9 10 11 12 13 14
17 18 19 20

四川省绵阳2023-2024学年高三上学期10月月考(一诊模拟)理科数学试题含解析

绵阳南山高2021级高三（上）一诊模拟考试理科数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()UA B = ð（）A.{}12x x << B.{}12x x ≤< C.{}01x x << D.{}01x x <≤【答案】D 【解析】【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<,由{|1}B x x =>得{|1}U C B x x =≤,所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.2.若复数5i43iz =-，则z =（）A.34i 55+ B.34i 55-+ C.34i 55-- D.34i 55-【答案】C 【解析】【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由()5i 43i 5i 34i43i 2555z +===-+-，得34i 55z =--．故选：C3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.4.已知命题p ：x ∃∈R ，使得2210ax x ++<成立为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),1-∞ C.[)0,1 D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当0a ≤时，命题为真命题，当0a >时，需0∆>，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题p 为真命题等价于不等式2210ax x ++<有解．当0a =时，不等式变形为210x +<，则12x <-，符合题意；当0a >时，Δ440a =->，解得01a <<；当a<0时，总存在x ∃∈R ，使得2210ax x ++<；综上可得实数a 的取值范围为(),1-∞．故选：B5.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB AC D.1344+AB AC 【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该萻电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.1.12 B.1.13C.1.14D.1.15【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得1530507.5C λλ=⨯=⨯，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知1530507.5C λλ=⨯=⨯，所以50304157.5λ⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg 2lg23λ=，所以2lg220.3011.151lg310.477λ⨯=≈≈--．故选：D ．8.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.15B.C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin 4αα∴=-=，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.9.函数π()412sin 2x xf x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为()|22|cos x x f x x -=-⋅，()22cos()()xx f x x f x --=-⋅-=，所以()f x 为偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，所以排除A ，C 选项；又1(2)4cos 204f =-<，所以排除B 选项，故选：D ．10.设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A.513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B.519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．11.已知函数()1ex x f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（）A.40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001e ex x x x y x x +--=-，可得()021ex x m +=，设()()21exx g x +=，求()g x '，利用导数求()g x 的单调性和极值，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1e x x f x +=可得()()2e e 1e ex x xx x x f x -⋅+-=='，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为()00e x x kf x -'==，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为：()000001e ex x x x y x x +--=-，因为切线过点()1,P m -，所以()0000011e ex x x x m x +--=--，即()021ex x m +=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，设()()21e xx g x +=，则()()()2222211e e xxx x x x g x +-++'-+==由()0g x '>可得11x -<<，由()0g x '<可得：1x <-或1x >，所以()()21exx g x +=在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，当x 趋近于正无穷，()g x 趋近于0，当x 趋近于负无穷，()g x 趋近于正无穷，()g x 的图象如下图，且()41eg =，要使y m =与()()21e xx g x +=的图象有三个交点，则40em <<.则m 的取值范围是:40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.12.已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧=⎨-+≤⎩，函数()()()g x f f x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A.()3,1- B.()0,1 C.[)1,1- D.()1,3【答案】C【分析】由题意可先做出函数()f x 的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()233f x x ¢=-．由()0f x ¢>，得1x <-，由()0f x '<，得10-<≤x ，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示．设()t f x =，则()m f t =，由图可知当3m >时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意．当3m =时，()m f t =的解是11t =-，23t =．1f x t =（）有2个不同的实根，2f x t =（）有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当13m ≤<时，()m f t =有3个不同的实根3t ，4t ，5t ，且()321t ∈--,，(]41,0t ∈-，[)52,3t ∈．3f x t =（）有2个不同的实根，4f x t =（）有2个不同的实根，5f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有7个不同的实根，不符合题意．当11m -≤<时，()m f t =有2个不同的实根6t ，7t ，且()631t ∈--,，[)71,2t ∈．6f x t =（）有2个不同的实根，7f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有5个不同的实根，符合题意．当3<1m -<-时，()m f t =有2个不同的实根8t ，9t ，且()831t ∈--,，()901t ∈,，8f x t =（）有2个不同的实根，9f x t =（），有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当3m ≤-时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m 的取值范围是[)1,1-．【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m 的讨论应有3m =，13m ≤<，11m -≤<，3<1m -<-，3m ≤-这几种情况,也是解题关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.14.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高200BC =m ，则山高MN =______m ．【答案】300【解析】【分析】先求,AC AMC ∠，由正弦定理得sin sin MCA AMCAM AC∠∠=，最后由sin MN AM MAN =⋅∠可求.【详解】由题意，sin BCAC CAB==∠m ，18045AM C M AC M CA ∠=︒-∠-∠=︒，由正弦定理得2sin sin 22MCA AMC AM AM AC AM ∠∠=⇒=⇒=m ，所以sin 3002MNAM MAN =⋅∠==m.故答案为：30015.已知等比数列{}n a 的前3项和为25168,42a a -=，则6a =___________.【答案】3【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得12q =，196a =，即可求得6a 的值.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，由题意1q ≠，因为前3项和为168，故()3112311681a q a a a q-++==-，又()43251111a a a q a q a q q-=-=-，所以12q =，196a =，则561196332a a q ==⨯=.故答案为：3.16.已知函数()y f x =是R 的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，有下列命题①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ②直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点④函数()y f x =在[7,5]--上为减函数则结论正确的有____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法求得()20f =，进而分析得到1x =时函数()f x 的一条对称轴，，函数()f x 时周期为4的周期函数，且函数()f x 在[1,1]-上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =是R 的奇函数，则()00f =，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当2x =，有()()0220f f ==，即()20f =，则有(2)()f x f x -=，即1x =时函数()f x 的一条对称轴，又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 时周期为4的周期函数，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，可函数()f x 在[1,1]-上单调递增，对于①中，由()()2f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以(1)(2)(3)(2019)504[(1)(2)(3)(4)]f f f f f f f f ++++=+++ ()(1)(2)(3)20f f f f +++==，所以①正确；对于②中，由1x =时函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 时周期为4的周期函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以②正确；对于③中，函数()y f x =在[7,7]-上有7个零点，分别为6,4,2,0,2,4,6---，所以C 错误；对于④中，函数()y f x =在[1,1]-上为增函数且周期为4，可得()y f x =在[5,3]--上为增函数，又由5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7,5]--上为减函数，所以④正确.故答案为：①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.【答案】（1）()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）332⎡-⎢⎣【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A ，由最小正周期求出ω，并确定ϕ.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解】解：根据函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象可得3A =1252632ππππω=-=⋅，所以2ω=.再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，所以3πϕ=，()323f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后，可得323sin 2333y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()343g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦又函数()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减∴3(0)2g =-，524g π⎛⎫= ⎪⎝⎭03g π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴3()4,32g x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣∴函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域32⎡-⎢⎣.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥．339S b ==，414b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c a b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n b -=，21n a n =-（2）13n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据对数运算得13n nb b +=，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列{}n a 为等差数列，建立方程求出公差，从而可得{}n a 的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【小问1详解】∵313log 1log n n b b +-=，∴313log log (3)n n b b +=，则13n nb b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+知{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =，∴111327339a d a d +=⎧⎨+=⎩，得11a =，2d =．∴21n a n =-.【小问2详解】因为21n a n =-，13n n b -=，所以()11213nn n n c a b n ++=⋅=+，所以()()1231335373213213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅则()()23413335373213213n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅上面两式作差得()223123232323213n n n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅()()111913922132313n n n n n -++⎛⎫- ⎪=+-+⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，∴13n n T n +=⋅19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac BD b=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c R ABC C R==∠，因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b c BD a R R ⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23b a b b a C +-=⋅．②由①②得2222223(3b a bc a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，333c c a b c +=+<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△，即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b c a b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，即23b c c b =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b =，化简得2sin sin 3C A =．在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+===．故7cos 12ABC ∠=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a a DE EC BE ===．在BED 中，2222(()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c b a c b a c ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =uuu r uuu r ．以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+ ．所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ，即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++，又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠，所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=，2222(2)(1)9x y x y ++-+=．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||||6,32a BC c BA b =====，由余弦定理得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.20.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1x h x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.21.已知函数()()ln 1e x f x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x=（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e xx f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -≤≤,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+≥,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=,令(),1,e x x h x x =>-则1(),1,e x x h x x -'=>-所以()x x h x e =在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()1()1e h x h ≤=，又e e 10a -->，e 1e 10e e a a f a -⎛⎫-≥-+⋅= ⎪⎝⎭，所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减，当()1,0x ∈-，()()1e h x h >-=-，又e 1e 10a -<-<，()e e 1e e 0a f a a -<-=而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4—4：坐标系与参考方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为24y x x =-+，曲线N 的方程为9xy =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M ，N 的极坐标方程；（2）若射线00π:(0,02l θθρθ=≥<<与曲线M 交于点A （异于极点），与曲线N 交于点B ，且||||12OA OB ⋅=，求0θ．【答案】（1）π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2sin 218ρθ=（2）π4【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M 和N 的极坐标方程；（2）将0θθ=代入曲线M 和N的方程，求得||OB ρ==0||4cos OA ρθ==，结合题意求得0tan 1θ=，即可求解.【小问1详解】解：由y =224(0)y x x y =-+≥，即224(04,0)x y x x y +=≤≤≥，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得2π4cos (0)2ρρθθ=≤≤，所以曲线M 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭．由9xy =，可得2cos sin 9ρθθ=，即2sin 218ρθ=，即曲线N 的极坐标方程为2sin 218ρθ=.【小问2详解】解：将0θθ=代入2sin 218ρθ=，可得||OB ρ==将0θθ=代入4cos ρθ=，可得0||4cos OA ρθ==，则||||OA OB ⋅=，因为||||12OA OB ⋅=，所以0tan 1θ=，又因为0π02θ<<，所以0π4θ=．选修4—5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =++-．（1）求不等式()8f x <的解集；（2）设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．【答案】（1）7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得2m =，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】由题意可得：()31,11213,1131,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=++-=--<<⎨⎪-+≤-⎩，当1x ≥时，则()318f x x =-<，解得23x ≤<；当11x -<<时，则()38f x x =-<，解得11x -<<；当1x ≤-时，则()318f x x =-+<，解得713x -<≤-；综上所述：不等式()8f x <的解集为7,33⎛⎫-⎪⎝⎭.【小问2详解】∵()()1112g x f x x x x =++---≥=，当且仅当[]1,1x ∈-时等号成立，∴函数()g x 的最小值为2m =，则2a b c ++=，又∵22a b a b +≥=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立；22b c b c +≥=，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立；22c a c a +≥=，当且仅当2c a a =，即a c =时等号成立；上式相加可得：222222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立，∴2222a b c a b c b c a ++≥++=.。

福建省泉州市2011届普通高中毕业班高三数学质量检测试题理

2011年福建省泉州市高中毕业班质量检查理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数；柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高；球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.１. 设{|10}{|360}S x x T x x =+>=-<，，则S T 等于（ D ） A.∅ B.{|1}x x <- C.{|2}x x > D.{|12}x x -<< 2．等比数列{}n a 中，已知23a =，71036a a ⋅=，则15a 等于（ A ）A ．12 B.12- C.6 D.6-3.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(10)0f =，则不等式()0f x x<的解集为（ D ）A ．(100)(10)-+∞，，U B ．(10)(010)-∞-，，U C ．(10)(10)-∞-+∞，，U D ．(100)(010)-，，U 4.某同学设计右面的程序框图用以计算数列{}2n n g 的前100项和，则在判断框中应填写 ( C )A ．99i ≤B ．99i ≥C ．100i ≤D ．101i ≤5.设实数x 和y 满足约束条件20203x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的取值范围为（ A ） A ．[]1,1-B ．[]2,1-C ．[]1,0-D ．[]0,16.设函数sin 2,0()2,0x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则方程x x f =)(的解的个数是（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 命题“平行于同一_______的两______平行.”请在上述空格中分别填入“直线”或者“平面”，使之组成四个不同的命题，则其中的真命题的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3 D.4 8.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移6π个单位得函数()g x 的图象，再将()g x 的图象所有点的横坐标伸长为原来的２倍得到函数()h x 的图象，则（ B ）． A. ()sin 2g x x =,()sin 4h x x = B. ()sin 2g x x =,()sin h x x =C. 2()sin(2)3g x x π=+,2()sin(4)3h x x π=+ D. 2()sin(2)3g x x π=+,2()sin()3h x x π=+ 9. 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为()2012S t v t at =+，设物体第n 秒内的位移为n a ，则数列{}n a 是（ A ）A.公差为a 的等差数列B. 公差为a -的等差数列C. 公比为a 的等比数列D. 公比为1a的等比数列 10. 12．如图所示，圆锥SO 的轴截面SAB ∆是边长为4的正三角形，M 为母线SB的中点，过直线AM 作平面β⊥面SAB ，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C ，则椭圆C 的短半轴为（ A ）A B C D ．2 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．复数21a iz i+⋅=+是纯虚数，则实数a ＝答案：2a =-12．若()2011220102011012201020111x a a x a x a x a x -=+++++ ，则12320102011a a a a a +++++ =______。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

肇庆市中小学教学质量评估数学（理科）2012届高中毕业班第一次模拟试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数(5)(3)z x x i =-+-在复平面内对应的点位于第三象限，则实数x 的取值范围是A. (,5)-∞B. (3,)+∞C. (3,5)D. (5,)+∞ 2．已知集合{0,1,2}M =，集合N 满足N M ⊆，则集合N 的个数是 A.6 B. 7 C. 8 D. 93．已知函数()lg f x x =的定义域为M ，函数2,231,1x x y x x ⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N ，则M N =A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,)+∞D. (0,1)(2,)+∞ 4．“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的条件 A ．充分非必要 B.充要 C ．必要非充分 D.非充分必要 5．已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x ∈R,则()f x 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6．已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为( ) A ．1 BC.5 D．7．已知,x y 满足3,2,326,39x y x x y y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则2z x y =-的最大值是( ).A.152 B. 92 C. 94D. 2 8．设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量M ∈a ,都有M λ∈a ,则称M为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是 A.2{(,)|}x y y x ≥B.0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭C.22{(,)|20}x y x y y +-≥D.22{(,)|32120}x y x y +-<二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 必做题（9～13题） 9．2||2||150x x -->的解集是 .10．在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项．．．是 .（用数字作答） 11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有人.12.离心率23e =的椭圆的两焦点为12,F F , 过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆的周长为13．如果实数,x y 满足等式22(2)1x y -+=,那么31y x +-的取值范围是14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为 15．（几何证明选讲选做题）如图2，点P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的一切线,D 是切点，割线经过圆心O ，若030=∠EFD ，32=PD ，则=PE三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （I ）求{}n a 的通项n a ；（II ）设52n n a c -=，2n cn b =,求2122232log log log log n T b b b b =++++ 的值。

17.（本小题满分13分）2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。

交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示：(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？ (Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

18. （本题满分13分）已知△ABC的面积为，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3,4,a b == 090o C <<.（Ⅰ）求sin()A B +的值；（Ⅱ）求cos 24C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（Ⅲ）求向量,CB AC 的数量积CB AC ∙ .19.（本小题满分14分）如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC垂直，2,BC AC AB ===11AA AC =(Ⅰ) 求侧棱1B B 在平面11A ACC 上的正投影的长度． (Ⅱ) 设AC 的中点为D ，证明1A D ⊥底面ABC ； (Ⅲ) 求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的余弦值；20. （本小题满分14分）已知圆C 与两圆22(4)1x y ++=，22(2)1x y +-=外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点(,)M x y 的距离的最小值为m ，点(0,1)F 与点(,)M x y 的距离为n . (Ⅰ)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（Ⅱ）求满足条件m n =的点M 的轨迹Q 的方程；（Ⅲ）试探究轨迹Q 上是否存在点11(,)B x y ，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于12。

若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）设函数()()2ln 1f x x a x =++.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()()F x f x =+12,x x 且12x x <，求证21()4F x >．肇庆市中小学教学质量评估数学（理科）答题卡一、选择二、填空：9、10、11、12、13、14、15、三、解答题：16.（本小题满分12分）17.（本小题满分13分）18. （本题满分13分）19.（本小题满分14分）20. （本小题满分14分）21．（本小题满分14分）肇庆市中小学教学质量评估数学（理科）答案一、选择：二、填空：（9）、(,5)(5,)-∞-+∞ （10）、45. （ 11）、11 （12）6 （13）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（14）1 （15） 216解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，（2分）解得13a =，2d =-．（4分）所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．（6分）（Ⅱ）∵25n a n =-+，∴55(25)22n n a n c n ---+=== ∴22n cn n b == （8分） ∴2122232log log log log n T b b b b =++++232222log 2log 2log 2log 2n =++++(1)1232n n n +=++++=（12分） 17解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：520252030100++++=人，四川籍的有：151055540++++=人，（4分）设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得510040x=，解得2x = 即四川籍的应抽取2名. （7分） (Ⅲ) ξ的所有可能取值为0，1，2；（8分）252710(0)21C P C ξ===，11252710(1)21C C P C ξ===，22271(2)21C P C ξ===，（10分） ξ的分布列为：（11分）均值101214()12217E ξ=⨯+⨯=.（13分）18解：（Ⅰ）由1sin 22ab C =，即134sin 2C ⨯⨯=得sin 3C =（2分） ∵180oA B C +=-，∴sin()sin(180)sin oA B C C +=-==（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin C =∵090oC <<，∴cos C ===（5分）∴ 225cos 22cos 121.9C C =-=⨯-=⎝⎭（6分） ∴sin 22sin cos 239C C C ==⨯=（7分）∴cos 2cos 2cos sin 2sin 444C C C πππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 59== （9分）（Ⅲ）∵3CB a == ，4AC b ==（10分）设向量CB 与CA 所成的角为θ，则180oC θ=-（11分） ∴cos cos(180)cos oCB AC CB AC ab C ab C θ∙=⋅=-=-343=-⨯⨯=- （13分） 19解：（方法一）(Ⅰ) ∵111ABC A B C -是斜三棱柱, ∴1//BB 平面11A ACC ，故侧棱B 1B 在平面11A ACC 上的正投影的长度等于侧棱1B B 的长度．(2分)又11BB AA ==故侧棱1B B 在平面11A ACC(3分) (Ⅱ)证明：∵AC =，11AA AC ==22211AC AA AC =+ ∴三角形1AAC 是等腰直角三角形，（5分）又D 是斜边AC 的中点，∴1A D AC ⊥（6分）∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥底面ABC （7分） (Ⅲ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，∵A 1D ⊥面ABC ，得A 1D ⊥AB ．∴AB ⊥平面1A ED ，（8分）从而有1A E AB ⊥，∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．（9分）∵2,BC AC AB ===222AC BC AB =+ ∴三角形ABC 是直角三角形，AB BC ⊥∴ED ∥BC ，又D 是AC的中点，2,BC AC ==∴11,DE AD AD ==，12A E ==∴111cos 2DE A ED A E ==，即侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的余弦值为12. (14分) （方法二） (Ⅰ)同方法一(Ⅱ)同方法一(Ⅲ)∵2,BC AC AB ===∴222AC AB BC =+∴三角形ABC 是直角三角形，过B 作AC 的垂线BE ，垂足为E ，则AB BC BE AC ⋅===EC ===∴33DE CD EC =-==(8分) 以D 为原点，1A D 所在的直线为z 轴，DC 所在的直线为y 轴，平行于BE 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,A A B ⎫⎪⎪⎝⎭令x =1,1y z =-=，所以1,1)p =-是平面11A ABB 的一个法向量. (11分)由（I ）得A 1D ⊥面ABC ，所以设平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)q =(12分)设向量p 和q所成角为θ，则1cos 2p q p qθ===(13分)即侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的余弦值为12. (14分) 20解析：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为1(0,4)C -、2(0,2)C ，由题意得12CC CC =，可知圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线，12C C 的中点为(0,1)-，直线12C C 的斜率等于零，故圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线方程为1y =-，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为1y =-。