2020届全国名校三月大联考名师密卷数学(理)试题(解析版)

2020届全国名校大联考名师密卷数学（理）试题一、单选题 1．复数12iz i+=-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】对12iz i+=-进行化简运算即可. 【详解】1122i i z i +-+==-，在复平面内对应点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以位于第二象限， 故选：B 【点睛】本题考查的是复数的运算及几何意义，较简单.2．已知集合{}2230A x x x =+-≥，(){}2log 20B x x =-≤，则AB =（ ）A ．{}13x x ≤≤ B ．{}23x x <≤C ．{}23x x ≤<D ．{}23x x ≤≤【答案】B【解析】解出集合A 、B 中的不等式即可 【详解】{}{22303A x x x x x =+-≥=≤-或}1x ≥， (){}{}2log 2023B x x x x =-≤=<≤，所以{}23A B x x =<≤，故选：B 【点睛】本题考查的是一元二次不等式、对数不等式及集合的交集运算，较简单. 3．已知3A B π+=，3cos cos 4A B =，则tan tan A B +=（ ）A ．13B ．14 C ．3D ．14【答案】C【解析】由()sin sin cos sin cos tan tan cos cos cos cos A B A B B A A B A B A B+++==即可算出答案 【详解】()sin sin cos sin cos tan tan cos cos cos cos A B A B B A A B A B A B +++===， 故选：C. 【点睛】本题考查的是同角的基本关系及两角和的正弦公式的逆用，较简单.4．某公司由于改进了经营模式，经济效益与日俱增.统计了2018年10月到2019年4月的纯收益y （单位：万元）的数据，如下表：得到y 关于t 的线性回归方程为 4.7551.36y t =+.请预测该公司2019年6月的纯收益为（ ） A ．94.11万元 B ．98.86万元 C ．103.61万元 D ．108.36万元【答案】C【解析】根据表格可得6月对应的代码为11t =，代入线性回归方程即可得到答案．【详解】将2019年6月代号11t =带入题中的线性回归方程，得 4.751151.36103.61y =⨯+=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．5．已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过右焦点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若12AB F F =，则双曲线离心率的值为（ ）A ．22B 1C 1D ．12【答案】D【解析】令x c =得出22bAB a=，由12AB F F =建立方程即可求出离心率.【详解】将x c =，代入22221x y a b-=，得2by a =±，所以22b AB a =，由12AB F F =，得222b c a=，所以22ac c a =-，两边同时除以2a 得：210e e --=，解得12e ±=，所以e =， 故选：D 【点睛】本题考查的是构建齐次方程求离心率，较简单. 6．已知某市高三一次模拟考试数学成绩()2~90,X N σ，且()701100.8P X <<=，则从该市任取3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.1C ．0.243D ．0.027【答案】C【解析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】 由()2~90,X N σ，且()701100.8P X <<=，可知成绩不低于110分的概率是0.1，则3名高三学生，恰有1名学生成绩不低于110分的概率是()()2130.10.90.243P C ==. 故选：C 【点睛】本题考查的是正态分布及二项分布的知识，较简单. 7．把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平移6π个单位长度，则所得图象（ ） A ．关于3x π=对称B ．对称中心为5,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．关于6x π=-对称D ．对称中心为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】求出函数cos 2y x =平移后的函数解析式，再分别求出其对称轴的方程和对称中心的坐标，验证即可得到答案． 【详解】所得函数为()cos 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 对称轴方程为：()26k x k Z ππ=+∈，对称中心为5,0212k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈， 通过对k 取值判断，当1k =-时，其中一个对称中心为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象的平移变换，对称轴方程及对称中心坐标的判断方法，属于基础题．8．函数()2241xef x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由()02f =-和()()42344017e f -=>即可选出答案【详解】()02f =-，排除B ，C ，又()()42344017e f -=>，排除D故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．886+B ．86622++C ．86226++D ．882+【答案】C【解析】由该几何体的三视图还原成直观图，然后算出其表面积即可 【详解】满足三视图的几何体为四棱锥P ABCD -，如图所示：则42ABCD S =，4PCB S =，4PCD S =，22PAB S =，12223262PAD S =⨯=所以表面积为86226P ABCD S -=+ 故选：C 【点睛】不太特殊的几何体，由三视图还原成直观图常常借助于长方体.10．721x x ⎛+ ⎝展开式中的4x 项的系数为（ ）A ．56B ．56-C ．14D ．14-【答案】A【解析】由多项式相乘的原理，分2种情况讨论 【详解】第一种情况：在7个括号中，选2个括号中的2x ，再从余下的5个括号中都选1，即得4x ，此时系数为：2575C C ；第二种情况：在7个括号中，选3个括号中的2x ，再从余下的4个括号中都选x-， 即得4x ，此时系数为：()434741C C -.所以4x 项的系数为()425347574156C C C C +-=，故选：A. 【点睛】解答本题的关键是要掌握多项式相乘的原理.11．已知二面角l αβ--为45，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，150ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．14C ．34D ．12【答案】A【解析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB 与CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案. 【详解】如图所示，在平面α内过点C 作//CF AB ，过点F 作FE β⊥，垂足为点E ，连接CE ， 则CE l ⊥，所以45ECF ∠=.过点E 作1D E CE ⊥，交CD 于点1D ，连接1FD .不妨设CE a =，则EF a =，2CF a =.因为150ACD ∠=，所以160D CE ∠=，所以在1Rt D CE ∆中，13ED a ，12CD a =，∴12FD a =，∴2221cos 4D CF ∠==， 故选：A. 【点睛】求异面直线所成的角是将直线平移转化为相交直线所成的角，要注意异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦12．已知圆()()225:212C x y ++-=与椭圆222:44x y b Γ+=相交于,A B 两点，若AB 是圆C 的直径，则椭圆Γ的方程为（ ）A ．221123x y +=B ．22143x y +=C ．22182x y +=D ．2214x y +=【答案】A【解析】由题意可得点,A B 关于圆心()2,1M -对称，先用点差法将直线AB 的斜率求出来，即可得AB的方程，然后再由AB . 【详解】依题意，点,A B 关于圆心()2,1M -对称，且AB =设()11,A x y ，()22,B x y ，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合124x x +=-，122y y +=得()()1212480x x y y --+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率121212AB y y k x x -==-，因此AB 直线方程为()1212y x =++， 代入椭圆方程得：224820x x b ++-=，所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12AB x =-==由AB ==23b =.所以椭圆的方程为221123x y +=，故选：A . 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法二、填空题13．若向量()1,2a =，()1,1b =-，则2a b +与a 的夹角的余弦值等于______. 【答案】310【解析】先求出2a b +的坐标，然后即可求出答案 【详解】因为()1,2a =，()1,1b =-所以()23,3a b +=，设2a b +与a 的夹角为θ， 故310cos 325θ==⋅. 故答案为：310 【点睛】本题考查的是向量在坐标形式下的计算，较简单.14．不等式组201030x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，则表示区域的面积为______.【答案】94【解析】画出不等式组表示的区域即可 【详解】画出不等式组表示的区域，如图，求得()2,3A ，13,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,3C -，所以1393224ABC S ∆=⨯⨯=.故答案为：94【点睛】本题考查的是二元一次不等式组所表示的区域，较简单. 15．在ABC ∆中，2BD DC =，23ADB π∠=，2AD =，6AB =则AC =______.【答案】【解析】先在ABD ∆中用正弦定理求出角B ，然后用余弦定理求出BD ，然后在ABC ∆中，用余弦定理求出AC 即可. 【详解】在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB=∠，得sin B =，且03B π<<，所以4B π=.在ABD ∆中，由余弦定理得22222cos 3AB BD AD BD AD π=+-⨯⨯⨯，即2220BD BD +-=，解得：1BD =.则)331BC BD ==.在ABC ∆中，2222cos 4AC BA BC BA BC π=+-⨯⨯⨯，所以224AC =-，∴)1AC ==故答案为： 【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形，属于中档题.16．已知0a >，若关于x 的不等式ln x e a ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】先将不等式变形为ln x e ax a ≥，令()x e f x a=，()ln g x ax =，由()y f x =与yg x 互为反函数得只需要()f x x ≥即可，即xe a x≥，然后用导数求出左边的最小值即可. 【详解】显然0x >，由ln xe a ax ≥，得ln x e ax a ≥，则令()xe f x a=，()ln g x ax =，因为()y f x =与yg x 互为反函数，所以只需要()f x x ≥即可，即xe a x ≥，令()xe h x x =，则()()21x e x h x x-'=， 所以可得()h x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增所以()()1h x h e ≥=， 即(]0,a e ∈. 故答案为：(]0,e 【点睛】互为反函数的两个函数的图象关于y x =对称.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*413n n S n N -=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n b =n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）14n n a -=（2）116341994n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭【解析】（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，1114141433n n n n n n a S S ---⎛⎫⎛⎫--=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）14n n n b na -=，用错位相减法求出即可 【详解】（1）由413n n S -=，得当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，1114141433n n n n n n a S S ---⎛⎫⎛⎫--=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.经检验当1n =时，也成立，所以14n n a -=.（2）由（1）知14n n a -=，故212log log 2n n n b a n +===.所以14n n n b n a -=. 01231111111234...44444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()1231111111123...1444444n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①－②，得123111********* (1444444414)nn n n n T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 所以116341994n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=，2AD AB PB ===，PC PA ⊥，PC PA =.(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求三棱锥A PBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】(1)要证BD ⊥平面PAC ，只要证BD 垂直于平面PAC 内的两相交直线即可，根据已知条件可证AC BD ⊥，BD OP ⊥；(2)利用等体积法要求三棱锥A PBC -的体积，即求三棱锥P ABC -的体积，分别根据已知求出高PO 与底面ABC S ∆即可得到答案． 【详解】(1)证明：设AC BD O =，连接OP ，因为AB AD =，且60BAD ∠=，所以四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，且23AC =2DB =，1BO =， 又PC PA ⊥，PC PA =，所以PCA ∆是等腰直角三角形， 所以OP AC ⊥，6PC PA ==3OP =在POB ∆中，3OP =2BP =，1OB =，有222OB OP PB +=， 所以OP OB ⊥，即BD OP ⊥，又AC OP O =，,AC OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ．(2)由(1)知OP AC ⊥，BD OP ⊥，又ACBD O =，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，故OP 为三棱锥P ABC -的高， 所以11122sin12031332P ABC ABC V S OP -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=， 因为三棱锥三棱锥A PBC P ABC V V --=， 所以三棱锥A PBC -的体积1． 【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，属于基础题． 19．端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗.某超市在端午节这一天，每售出1kg 粽子获利润5元，未售出的粽子每1kg 亏损3元.根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分布表，如下表所示.该超市为今年的端午节预购进了140kg 粽子.以X （单位：kg ，100150X ≤≤）表示今年的市场需求量，Y （单位：元）表示今年的利润.（1）将Y 表示为X 的函数；（2）在频率分布表的市场需求量分组中，以各组的区间中间值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量[)110,120X ∈，则取115X =，且115X =的概率等于需求量落入[)110,120的频率0.2），求Y 的数学期望.【答案】（1）8420,100140,700,140150.X X Y X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）586 【解析】（1）分[)100,140X ∈和[]140,150X ∈两种情况表示出来即可（2）由（1）中的函数关系，求出105,115,125,135,145X =对应的Y 值，然后列出分布列，求出其期望即可 【详解】（1）当[)100,140X ∈时，()531408420Y X X X =--=-； 当[]140,150X ∈时，5140700Y =⨯=.所以8420,100140,700,140150.X X Y X -≤<⎧=⎨≤≤⎩ （2）依题意可得Y 的分布列为所以()4200.15000.25800.36600.257000.15586E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查的是随机变量的分布列和期望，较简单.20．已知抛物线2:4C y x =，过()2,0P 的直线与抛物线C 相交于,M N 两点. （1）若点Q 是点P 关于坐标原点O 的对称点，求MQN ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2）存在，直线l 的方程为1x =；定值为2【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为2x my =+，联立直线的方程与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得124y y m +=，128y y ⋅=-，然后12142MQN S y y ∆=⨯⨯-=m 将MQN S ∆表示出来即可.（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，则以PM 为直径的圆的方程为()()()1120x x x y y y --+-=，将直线方程x a =代入，得()()21120y y y a a x -+--=，然后将AB 表示出来即可.【详解】（1）依题意，点Q 的坐标为()2,0Q -，可设()11,M x y ，()22,N x y ， 直线MN 的方程为2x my =+，与24y x =联立得2480y my --=. 由韦达定理得：124y y m +=，128y y ⋅=-，于是12142MQN S y y ∆=⨯⨯-==≥，所以当0m =时，MQN ∆面积最小值，最小值为（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，则以PM 为直径的圆的方程为()()()1120x x x y y y --+-=， 将直线方程x a =代入，得()()21120y y y a a x -+--=，则()()()()2111424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦.设直线l 与以PM 为直径的圆的交点为()3,A a y ，()4,B a y ， 则341y y y +=，()()3412y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==当10a -=，即1a =时，2AB =为定值.故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =. 【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值及弦长的定值问题，属于中档题.21．已知函数()2ln 2xf x xex ax =--.（1）若函数()y f x =在1x =处的切线的斜率为1，求a 的值； （2）若()21f x x ≥+，求a 的取值范围.【答案】（1）2312e a =-（2）(],0-∞【解析】（1）求出fx 即可（2）由()21f x x ≥+，可得21ln 22xx e a x +-≥+，令()21ln x xg x e x+=-，利用导数求出()g x 的最小值即可 【详解】（1）由()()21212xf x x ea x'=+--，得 ()213121f e a '=--=，解得2312ea =-.（2）由()21f x x ≥+，可得21ln 22xxe a x+-≥+， 令()21ln xx g x e x +=-，则()2222ln x x e xg x x+'=， 令()222ln xx x ex ϕ=+，则()()21410x x xe x xϕ'=++>， 所以()y x ϕ=在0,上单调递增，又()21222221110e e e e e e eϕ-=⋅-<⋅-<-<，且()2120e ϕ=>.所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=，即022002ln 0xx e x +=，所以在()00,x 上()g x 单调递减，在()0,x +∞上()g x 单调递增.故()()0200min 01ln x x g x g x e x +==-，令0220x x et =，两边同时取对数得：()002ln 2ln *x x t +=，由022002ln 0x x ex +=，得0ln 20x t +=，所以00ln 2ln 2x x t t +=+，所以有0x t =，即00ln 2x x =-，所以02200xx e t x ==，即0201x ex =. 所以()()()02000min 000121ln 12x x x g x g x ex x x -+==-=-=. 故222a +≤，得0a ≤.所以a 的取值范围是(],0-∞. 【点睛】本题考查了由切线的斜率求参数、恒成立问题及利用导数求函数的最值，属于较难题.其中恒成立问题一般是用分离变量法.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+. （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若1213PA PB ⋅=，求α的值.【答案】(1)2214y x +=；(2)6πα=或56πα= 【解析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=即可得到答案；(2)将P 的极坐标化为直角坐标可知直线l 经过点P ，把直线l 的参数方程代入2214y x +=，由直线l 的参数方程中t 的几何意义可得PA PB ⋅的值，再结合1213PA PB ⋅=，即可求出α的值． 【详解】(1)由曲线C 的极坐标方程为22413cos ρθ=+，得223cos 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及cos x ρθ=代入得2244x y +=，即2214y x +=.(2)点P 的直角坐标为()0,1，所以直线l 经过点P ，所以将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入2214y x +=，得()2213cos 2sin 30t t αα++⋅-=.则231213cos 13PA PB α⋅==+，解得cos 2α=±， 因为0απ≤<，所以6πα=或56πα=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线l 的参数方程中参数t 的几何意义，本题中求PA PB ⋅的关键是联立直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义结合根与系数关系求解． 23．函数()()2f x x x a a R =++-∈． (1)当2a =时，不等式()6f x ≤的解集M ；(2)若()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+成立，求a 的取值范围. 【答案】(1){}33M x x =-≤≤；(2)[]1,2-【解析】(1) 当2a =时，不等式()6f x ≤即为226x x ++-≤，利用绝对值的几何意义即可得到答案；(2)由()0,1x ∈可知20x +>，从而将不等式()4f x x <+化简为2x a -<，再由22a x a -<<+对任意()0,1x ∈恒成立，即可求出答案．【详解】（1）当2a =时，226x x ++-≤，由绝对值的几何意义可得：{}33M x x =-≤≤， 所以不等式()6f x ≤的解集{}33M x x =-≤≤，(2)若()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+成立，等价于2x a -<， 即22a x a -<<+对()0,1x ∈恒成立，所以2120a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得12a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,2-． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题，属于中档题．。