第五章 方差分析和正交试验

在实际进行单因素方差分析，将统计量和分析结果列入单因素 在实际进行单因素方差分析， 方差分析表中。 方差分析表中。
7
结束
表中平方和公式如下 : S =
2 A
∑ niYi ⋅ − nY , S =
2 2 i =1 2 E
r
Yij − ∑ ni Yi ⋅ 2 . ∑∑
2 i =1 j =1 i =1
r
n i (Y i ⋅ − Y
ni ij
),
2
2 SE =
∑ ∑ (Y
i =1 j =1
− Yi⋅ ) , )
2 2 有 S T2 = S A + S E ( 平方和分解公式
5
结束
证 :S =
2 T
∑ ∑ (Y
r i =1 j =1 2 ij
ni
ij
− Yi ⋅ + Yi ⋅ − Y
r
)
2
=
r
∑ ∑ (Y
r i = 1 j =1 ni ij
ni
− Yi ⋅ ) + ∑ ni (Yi ⋅ − Y
i =1
)
2
+ 2 ∑ ∑ (Yij − Yi ⋅ ) (Yi ⋅ − Y ),
r i =1 j =1
ni
∑ ∑ (Y
i =1 j =1
− Yi ⋅ ) (Yi ⋅ − Y ) =
∑ (Y
r i =1
i⋅
−Y
) ∑ (Y
第五章
方差分析和正交试验
•方差分析是数据分析的重要工具,试验设计也是数理统计的重 方差分析是数据分析的重要工具 试验设计也是数理统计的重 方差分析是数据分析的重要工具, 要应用. 要应用. •影响一事物的因素往往很多,每一因素的改变都可能影响其数 影响一事物的因素往往很多, 影响一事物的因素往往很多 量或质量等指标.有必要找出影响显著的那些因素. 量或质量等指标.有必要找出影响显著的那些因素.这样的方法 称为方差分析. 称为方差分析. 5.1 方差分析的原理 •试验的结果称为试验指标 可以控制的条件称为因素或因子 因 试验的结果称为试验指标 可以控制的条件称为因素或因子 试验的结果称为试验指标,可以控制的条件称为因素或因子.因 素所处的不同状态称为水平 素所处的不同状态称为水平 •各因素对试验指标的影响是不同的 同一因素的不同水平对试 各因素对试验指标的影响是不同的,同一因素的不同水平对试 各因素对试验指标的影响是不同的 验指标的影响也不同.按因素和水平将数据分成多组 按因素和水平将数据分成多组,假定同一 验指标的影响也不同 按因素和水平将数据分成多组 假定同一 组的数据是同一总体,方差分析是检验在一定假设条件下各组的 组的数据是同一总体 方差分析是检验在一定假设条件下各组的 均值是否相等,由此判断因素的各个水平对试验指标的影响是否 均值是否相等 由此判断因素的各个水平对试验指标的影响是否 显著,并从中找出起重要作用的因素或状态 水平). 并从中找出起重要作用的因素或状态(水平 显著 并从中找出起重要作用的因素或状态 水平 •只有一个因素或因子时称为单因素方差分析 反之称为 多因素 只有一个因素或因子时称为单因素方差分析 反之称为多因素 只有一个因素或因子时称为 单因素方差分析,反之称为 方差分析. 方差分析 1 结束
3
结束
1 r 记 eij = Yij − µ i , n = ∑ ni , µ = ∑ ni µ i , α i = µ i − µ . n i =1 i =1
r
µ i 表示组内理论均值 , eij 表示随机误差 , eij ~ N ( 0, σ 2 ), α i 称为效应值 .∑ niα i = 0.
•例5.1.1 一个因素 三种水平 要辨别随机误差和广告这两个因素哪 例 一个因素,三种水平 要辨别随机误差 广告这两个因素哪 三种水平,要辨别随机误差和 一个是造成销售量有差异的原因.可归结为判断三个总体是否具有 一个是造成销售量有差异的原因 可归结为判断三个总体是否具有 相同分布的问题.方差分析时总是假定三个总体具有相同方差 方差分析时总是假定三个总体具有相同方差,于 相同分布的问题 方差分析时总是假定三个总体具有相同方差 于 是归结为三个具有相同方差的正态总体均值是否相同的问题. 具有相同方差的正态总体均值是否相同的问题 是归结为三个具有相同方差的正态总体均值是否相同的问题
/2
(n − r )
2 SE ni (n − r )

9
结束
就例5.1.1而言 而言, 就例 而言
αˆ 1 = y 1 ⋅ − y = 1 7 3 . 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 1 6 . 8 3 , αˆ 2 = y 2 ⋅ − y = 1 8 7 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 2 . 5 8 , αˆ 3 = y 3 ⋅ − y = 2 0 9 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = 1 9 . 4 2 .

14
结束
•L8(27)中有两个特点 中有两个特点: 中有两个特点 1)每一列中 不同数字出现的次数相等 在 L8(27)中,1和2各出现 每一列中,不同数字出现的次数相等 各出现4 每一列中 不同数字出现的次数相等,在 中 和 各出现 次. 2)任意两列中 不同列的数字构成有序数对 不同有序数对出现 任意两列中,不同列的数字构成有序数对 任意两列中 不同列的数字构成有序数对,不同有序数对出现 次数相等. L8(27)中任意两列中 次数相等 中任意两列中,(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现 次. 各出现4次 中任意两列中 各出现 •所 有 的 正 交 表 都 有 如 上 特 点 , 常 用 的 2 水 平 正 交 表 有 L4(23), 所 L8(27), L16(215), 3水平正交表有 9(34), L27(213)等. 水平正交表有L 水平正交表有 等 •如要考虑因子间的交互作用 如有三个因子 如要考虑因子间的交互作用,如有三个因子 放在第1列 如要考虑因子间的交互作用 如有三个因子A,B,C,A放在第 列 放在第 ,B放第 列 ,A,B的交互作用 ×B必须放在第 列 .(见交互作用表 放第2列 的交互作用A× 必须放在第 必须放在第3列 见交互作用表 放第 的交互作用 ),C放第 列, C×A放第 列, B×C放第 列. 放第4列 × 放第 放第5列 × 放第 放第6列 放第 •实际问题中交互作用常可以部份地忽略不计 如不考虑交互作 实际问题中交互作用常可以部份地忽略不计.如不考虑交互作 实际问题中交互作用常可以部份地忽略不计 用,因子 因子A,B,C就放 就放1,2,3列,第4列作为空列 必须有一空列作为今 列 第 列作为空列.(必须有一空列作为今 因子 就放 列作为空列 后统计时用). 后统计时用
H 0 : µ 1 = µ 2 = L = µ r , ( 或 α 1 = α 2 = L = α r ); H1 : 至 少 存 在 一 对 µi ≠ µ j ,
i =1 r
4
结束
二. 方差分析
1 Yi⋅ = ni 1 Y = n
∑Y
j =1 r ni i =1
ni
ij
, ( i = 1, 2 , L , r ),
单因素方差分析的数学模型为 : Y ij = µ + α i + e ij ( i = 1, 2 , L , r ; j = 1, 2 , L , n i ) 2 e ij ~ N ( 0 , σ ), e ij 互 相 独 立 ; n ∑ n α = 0. i =1 i i
i
= µi − µ的 无 偏 估 计 .
2
T =
Y i⋅ − µ i
σ /
ni
( n − r )σ 2 SE
~ t(n − r )
∴ µ i的 1 − α 置 信 区 间 为 : Y i ⋅ − t1 − α
/2
(n − r )
2 SE , Y i ⋅ + t1 − α ni (n − r )
A 3引 起 的 销 售 量 最 大 .
2 经计算, y3 = 209.75, n − r = 9, S E = 1098.5, n3 = 4, t0.975 (9) = 2.262,
µ3的0.95置信区间为(197.265, 222.245).
例5.2.1 治疗某种疾病的药物疗效比较
10
结束
H 0 : µ 1 = µ 2 = L = µ 5 , H 1 : ∃ i ≠ j , µ i ≠ µ j , i , j = 1, 2 , 3 , 4 , 5 . 计 算 结 果 见 表 5 .2 .5和 5 .2 .6
∑
1 Y ij = ∑1 n j=
∑ nY
i =1 i
r
i⋅
,
Y i ⋅为第 i 组样本的均值
, Y 为总的样本均值
E Y i⋅ = µ i , E Y = µ , 总离差平方和 组间差平方和 组内差平方和 S T2 = S
2 A
∑ ∑ (Y
r ni i =1 r j =1
ij
−Y
),
2 2
=
∑
r
i =1
记S =S
2 A
2 A
( r − 1) , S = S
2 E
2 E
2 SA ( n − r ) , F = 2 ~ F ( r − 1, n − r ). SE
6
结束
K 0 = { F > F1−α ( r − 1, n − r )} 当 F > F1− α ( r − 1, n − r ), 拒 绝 H 0 : µ 1 = µ 2 = L = µ r , 认 为 因 素 A对 试 验 指 标 作 用 显 著 .
j =1
ni
ij
− Yi ⋅ ) = 0 .
2 2 S T2 = S A + S E .