16三重积分的概念与计算(二)
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16重积分——直角坐标系下三重积分的计算
xdx
0 1 0
D xy 1
d
1 x y
xdxdydz
z C (0,0,1)
0
1 x
xdz
1 x y 0
0 1 x
dy
dz
o x A (1,0,0) y
1
B(0,1,0) y
xdx
0
(1 x y )dy
1 1 1 2 , x(1 x ) dx 24 2 0 ( x y z )dv 3 xdv
z
解 (1) 及在zox面上的投影如下图
o
x
H
y
o
Dzx
R x
10
z
R
z o
H
x
y
H
o
Dzx
R x
f ( x , y , z )dv (
D zx
0
f ( x , y, z ) dy)d
dz
R
R
R2 z2
2 2
R z
dx
H 0
H
0
f ( x , y , z )dy
2
2 2 y z x 2 1所围成的空间闭区域。 2 2 a b c 2
解
z c z Dz
Dz
20
f ( x, y, z )dv
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
z
Dz
上式的适用范围： ①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）
o ② f (x,y,z)在Dz上对x、y的二重积 分简单， x 特别当f (x,y,z)只是 z 的函数：f (x,y,z)=(z),
三重积分
21
I f ( x , y , z )dxdydz
c2 z
z
Dz
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }
先做二重积分，后做定积分
I=
c2
c1
dz f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
x 2016年10月27日星期 四
2
1
8 . 2016年10月27日星期
四
20
（2）“先二后一” 计算方法
I f ( x , y , z )dxdydz
c2
z
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }
z
Dz
先做二重积分，后做定积分
c1
0 y
x 2016年10月27日星期 四
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
2
y
x 27日星期 2016年10月 6 四
11
1. 化 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分， ：平面 y = 0, z = 0， 3x+y = 6, 3x+2y = 12 和 x+y+z = 6 所围成的区域
6 z
x+y+z=6
y2=x
y=0 o
D
0
2
x
I dxdy
z=0
2
2016年10月27x 日星期 四
D
π x 2 0
第二节 三重积分
第二节
三重积分
一、三重积分的概念及性质
例. 非均匀分布立体的质量
设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方 式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.
3.利用柱面坐标求三重积分.
z M＝(x, y, z)
设点M = (x, y, z) R3,它在xy面上的投 影点为P=(x, y, o)
x o y
r P=(x, y, o)
显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z , 反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M. 因点 P可用其极坐标确定, 故M可由P的极坐标r , 以 及z唯一确定,称为柱面坐标.
z 2 dv x 2 dxdydz x 2 dv.
1
* 1
1
故
z 2 dv 4 x 2 dv.
1
一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x 代z后, 的表达式不变(即具有“轮换性”),
则
f ( x, y, z)dv f ( y, z, x)dv.
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz.
应用时先画出的草图, 看 z 是从哪一曲面变到哪一
曲面. 确定最里层积分上, 下限. 然后到Dxy上作二重 积分.
口诀:从里到外, 面—面, 线—线, 点—点.
注：1. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 y 轴,
它在xz面上的投影区域为Dxz, 则可选择先
z 1
类似,
x+ y+z=1
1 ydxdydz zdxdydz 24
三重积分
一、三重积分的概念及性质
例. 非均匀分布立体的质量
设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方 式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.
3.利用柱面坐标求三重积分.
z M＝(x, y, z)
设点M = (x, y, z) R3,它在xy面上的投 影点为P=(x, y, o)
x o y
r P=(x, y, o)
显然,任给一点M,可唯一确定点P和竖坐标z , 反之,在xy面上任给点P和数z,可唯一确定M. 因点 P可用其极坐标确定, 故M可由P的极坐标r , 以 及z唯一确定,称为柱面坐标.
z 2 dv x 2 dxdydz x 2 dv.
1
* 1
1
故
z 2 dv 4 x 2 dv.
1
一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x 代z后, 的表达式不变(即具有“轮换性”),
则
f ( x, y, z)dv f ( y, z, x)dv.
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz.
应用时先画出的草图, 看 z 是从哪一曲面变到哪一
曲面. 确定最里层积分上, 下限. 然后到Dxy上作二重 积分.
口诀:从里到外, 面—面, 线—线, 点—点.
注：1. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 y 轴,
它在xz面上的投影区域为Dxz, 则可选择先
z 1
类似,
x+ y+z=1
1 ydxdydz zdxdydz 24
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分
中值定理. 3) 中值定理. 上连续, 在有界闭域 上连续,V 为 的 体积, 体积, 则存在 (ξ,η,ζ ) ∈, 使得
∫∫∫ f (x, y, z)dv = f (ξ,η,ζ )V
二、利用直角坐标系计算三重积分
定理21. 定理21.15 设f ( x, y, z )在长方体 = [ a, b] × [c, d ] × [e, h]上 21 三重积分存在, 且对每个x ∈ [a, b], 二重积分 I ( x) = ∫∫D f ( x, y, z )dydz
2 2
x 2 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 1.
I = ∫1 dx ∫x 2 dy ∫0
1
1
x2 + y2
f ( x , y , z )dz .
练习1 练习 将 I = ∫∫∫ f (x, y, z) d v用三次积分表示,其中由
六个平面 x = 0, x = 2, y =1, x + 2y = 4, z = x, z = 2 所 围成 , f (x, y, z) ∈C().
微元线密度≈
记作
∫∫Ddxdy∫z (x, y)
1
z2 ( x, y)
f (x, y, z) dxdy
f (x, y, z)dz
方法3. 方法 三次积分法 设区域 :
z
z = z2 ( x , y )
z2 S 2
z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)
y1(x) ≤ y ≤ y2 (x) (x, y) ∈D: o a ≤ x ≤b a
0 ≤ z ≤ 1 x 2y
z
1
1 2
解: V :
1 0 ≤ y ≤ 2 (1 x)
0 ≤ x ≤1
∫∫∫ f (x, y, z)dv = f (ξ,η,ζ )V
二、利用直角坐标系计算三重积分
定理21. 定理21.15 设f ( x, y, z )在长方体 = [ a, b] × [c, d ] × [e, h]上 21 三重积分存在, 且对每个x ∈ [a, b], 二重积分 I ( x) = ∫∫D f ( x, y, z )dydz
2 2
x 2 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 1.
I = ∫1 dx ∫x 2 dy ∫0
1
1
x2 + y2
f ( x , y , z )dz .
练习1 练习 将 I = ∫∫∫ f (x, y, z) d v用三次积分表示,其中由
六个平面 x = 0, x = 2, y =1, x + 2y = 4, z = x, z = 2 所 围成 , f (x, y, z) ∈C().
微元线密度≈
记作
∫∫Ddxdy∫z (x, y)
1
z2 ( x, y)
f (x, y, z) dxdy
f (x, y, z)dz
方法3. 方法 三次积分法 设区域 :
z
z = z2 ( x , y )
z2 S 2
z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)
y1(x) ≤ y ≤ y2 (x) (x, y) ∈D: o a ≤ x ≤b a
0 ≤ z ≤ 1 x 2y
z
1
1 2
解: V :
1 0 ≤ y ≤ 2 (1 x)
0 ≤ x ≤1
三重积分
若 关于YOZ 坐标面对称: ∫∫∫ f ( x, y, z )dv, f ( x, y , z ) f ( x, y, z )dv = 1 , f ( − x, y , z ) = − f ( x, y , z ) 0
2 2 2
∫∫∫
z ln( x + y + z + 1) 例： ∫∫∫ dxdydz 2 2 2 x + y + z +1 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤1 ========== = 0
f ( x , y , z ) 为 z 的奇函数 Ω 关于 XOY 面对称
五、三重积分的对称性算法
判别 关于坐标面的对称性： 关于坐标面的对称性：
λ →0
i =1 n i =1 n
则称它为f ( x, y, z )在Ω上的三重积分， 记为： f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ i ,ηi , τ i )∆Vi ∫∫∫
Ω ∆ n
λ →0
i =1
注：在直角坐标系下：
dv = dxdydz
二、三重积分的性质
1. 重积分的和、差 、数乘、保号等与定积分相同； 重积分的和、 数乘、保号等与定积分相同； 2. 3.
∫∫∫ dv
Ω
Ω1 + Ω 2
= Ω 的体积 == V Ω
记为
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫∫ f ( x, y, z)dv + ∫∫∫ f ( x, y, z )dv
Ω1 Ω2
— —对积分区域的可加性
4. 估值定理： 估值定理：
设 u = f ( x , y , z )在有界闭域 Ω 上连续， 且 m = min f ( x , y , z ), M = Max f ( x , y , z ),
2 2 2
∫∫∫
z ln( x + y + z + 1) 例： ∫∫∫ dxdydz 2 2 2 x + y + z +1 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤1 ========== = 0
f ( x , y , z ) 为 z 的奇函数 Ω 关于 XOY 面对称
五、三重积分的对称性算法
判别 关于坐标面的对称性： 关于坐标面的对称性：
λ →0
i =1 n i =1 n
则称它为f ( x, y, z )在Ω上的三重积分， 记为： f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ i ,ηi , τ i )∆Vi ∫∫∫
Ω ∆ n
λ →0
i =1
注：在直角坐标系下：
dv = dxdydz
二、三重积分的性质
1. 重积分的和、差 、数乘、保号等与定积分相同； 重积分的和、 数乘、保号等与定积分相同； 2. 3.
∫∫∫ dv
Ω
Ω1 + Ω 2
= Ω 的体积 == V Ω
记为
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫∫ f ( x, y, z)dv + ∫∫∫ f ( x, y, z )dv
Ω1 Ω2
— —对积分区域的可加性
4. 估值定理： 估值定理：
设 u = f ( x , y , z )在有界闭域 Ω 上连续， 且 m = min f ( x , y , z ), M = Max f ( x , y , z ),
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
三重积分
2
2
4
2 2 64 1 d (16 4)d 1 2 [8 2 1 6 ]2 0 0 2 6 3 2 0
提示 的上边界曲面为 z4 下边界曲面为 zx2y2 用极坐标 在xOy面上的投影区域为 x2y24 用极坐标可表示为 2 所以 2z4 可表示为 0 2 0z 2
返回
例 3 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz 其中是
由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 解 闭区域可表示为
2z4 02 02
于是
zdxdydz zdddz
d d 2 zdz
0 0
b y2 ( x )
1
a x b,
z2 ( x , y )
1
dy f ( x , y , z )dz. f ( x , y , z )dv dx a y ( x) z ( x, y)
注意
这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
返回
例4. 计算三重积分 成半圆柱体.
其中为由
柱面 x 2 y 2 2 x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围
0 2 cos 解: 在柱面坐标系下 : 0 2 0 za
原式 z d d d z
f (i ,i , i )vi
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的 极限总存在 则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重
积分 记作 f (x, y, z)dv
i 1
n
返回
三重积分的定义
三重积分的概念与计算
三重积分的概念与计算在数学分析学科中，积分是一个重要的概念，它用于计算曲线、曲面或空间体所围成的面积、体积以及其他相关量。
而三重积分则是积分的一种特殊形式，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
本文将介绍三重积分的概念，并探讨其计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间上的函数进行积分运算。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，f(x,y,z)是被积函数，而dxdydz则表示积分元素。
三重积分的结果是一个标量。
三重积分可以理解为对一个三维区域进行分割，并将每个小区域的体积乘以被积函数的值后相加。
当区域较为规则时，可以采用基本几何体（如长方体、球体等）的体积公式进行计算。
但对于复杂的区域，通常需要采用变量代换或切割方法进行计算。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以按照先x后y再z的顺序进行。
具体计算方法如下：首先，确定积分区域。
三重积分的区域可以是一个立体体积，可以被一个或多个不等式所限定。
通过对区域的划分，可以将其分解为若干个可计算的部分。
制条件是根据区域的形状和约束条件确定的。
最后，进行计算。
根据上述确定的区域和限制，将被积函数f(x,y,z)代入积分式中，进行积分运算。
2. 极坐标系下的三重积分计算在某些情况下，采用极坐标系可以简化三重积分的计算。
极坐标系下，积分元素可以表示为rdrdθdz。
基于极坐标系的计算方法如下：首先，确定极坐标下的积分区域。
通常需要借助于图形的对称性来确定合适的极坐标范围。
其次，确定积分限。
根据极坐标下的区域范围，确定积分的上下限。
最后，进行计算。
将被积函数f(r,θ,z)代入积分式中，并按照r,θ,z的顺序进行积分运算。
三、举例说明下面通过一个具体例子来说明三重积分的应用。
例：计算函数f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2在半径为2的球体内的体积。
解：在直角坐标系下，球体的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 4。
重积分的概念与计算
) zdz
c
0 zdz dxdy
Dz
dxdy SDz
Dz
a2 (1
z2 c2
)
b2 (1
z2 c2
)
1 abc2.
4
2. 利用柱坐标计算三重积分
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
坐标面分别为
圆柱面 半平面 平面
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
f (x, y, z)dxdydz F (, , z)
z
ln( x x2
2
y
y
2
2
z z2
2
1
1)
d
z
I (x2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
64 I
(x
y z)2 dv.
2r4 dr 0
5 1
(x y z ) dv 2 2 2
04 sin d
2 d 0
2
2
3. 设 由锥面 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标
1
2
(h
2 4
)
d
2
d
0
[(1
4h) ln(1
4h)
4h]
2
0
h
1
2
d
4
1
d
xd x2
yd
z y
2
,
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为 球面
半平面 锥面
0 r
0 2 0
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
f (x, y, z)dxdydz F (r, ,)
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P的极坐标为 r , , 则这样的三个数 r , , z 就叫点M的
柱面坐标.
规定
0 r , 0 2 ,
z
M ( x, y, z )
z .
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos
o
r
y r sin
y
P ( r , )
zz
x
SHIJIAZHUANG TIEDAO UNIVERSITY
r
M ( x, y, z )
z
A x
x
O
y
y
P
0 r , 0 , 0 2 .
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高等数学（A）I
球面坐标与直角坐标之间的关系
OA x, AP y,
PM z.
z
x | OP | cos r sin cos y | OP | sin r sin sin z r cos x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
n m l 2 2 2 (ii) 被积函数具有形式 x y z f ( x y z ).
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高等数学（A）I
四. 广义球坐标变换
直角坐标与广义球坐标的关系
z rc cos
x ra sin cos y rb sin sin
f ( x 2 y 2 ),
f ( x 2 z 2 ),
f ( y 2 z 2 ).
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高等数学（A）I
三、利用球面坐标计算三重积分
1. 球面坐标系
z
设M(x, y, z)为空间内一点, 记向量OM 之长为r , OM与z轴 正方向间的夹角为 , 再将OM 向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的夹角为 , 称 ( r , , ) 为点M的 球面坐标. 规定
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高等数学（A）I
总结 同时具备两种情形，比较适合用柱面坐标计算： (i) 在坐标面上的投影区域用极坐标表示比较简单.如
x2 y 2 R2 , 圆柱体：
z 2 a2 ( x2 y 2 ) , 圆锥体：
旋转抛物面： z a 2 ( x 2 y 2 ). (ii) 被积函数具有以下特征:
§5.4 三重积分的计算---换元法
目的： 掌握利用柱面坐标或球面坐标计算三重积
分的方法 .
重点： (1)利用柱面坐标计算三重积分 ； (2)利用球面坐标计算三重积分 . 难点：利用球面坐标计算三重积分 .
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高等数学（A）I
一、三重积分的换元法
2
r sin ,
球面坐标系中, 体积元素为
dV r 2 sin drd d
f ( x, y, z)dV
f (r sin cos , r sin sin , r cos ) r 2 sin drd d .
下列情形适合用球坐标计算 (i) 积分区域是球体、锥体或它们的一部分；
x r cos
cos J r , , z sin 0
r sin r cos 0
0 0 r, 1
y r sin
zz
柱面坐标系中, 体积元素为
dV r dr d dz,
f ( x, y, z)dV
f (r cos , r sin , z)r dr d dz.
高等数学（A）I
在柱面坐标系中，三个坐标面分别为
r为常数 θ为常数 z为常数 圆柱面； 半平面； 平面．
z
z
M ( x, y, z )
o
r
P ( r , )
y
x
柱面坐标的实质就是将 xOy 面上的点用极坐标表示.
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高等数学（A）I
2. 在柱面坐标系下三重积分的计算
定理 设 f ( x, y, z ) 在 R 3中的有界闭区域 上连续，变换 T : x x(u , v, w), y y (u , v, w), z z (u , v, w)将 uvw 空间中的 闭区域 变为 xyz 空间中的 ，且满足 (1) x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w) 在 上具有一阶连续偏导数； ( x, y , z ) (2) 在 上雅可比式 J 0; (u , v, w) (3) 变换 T : 是一对一的，则有
r cos sin r cos sin r sin cos x r sin cos , y r sin sin , J r , , sin sin z r cos . cos
1 2
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高等数学（A）I
五、内容小结
1. 利用柱面坐标计算三重积分 ； 体积元素为
dV r dr d dz,
dV r sin drd d
2
2.利用球面坐标计算三重积分.
体积元素为
作业：练习册P47―50
f ( x, y, z )dxdydz f [ x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)] J dudvdw.
SHIJIAZHUANG TIEDAO UNIVERSITY
高等数学（A）I
二、利用柱面坐标计算三重积分
1. 柱面坐标系
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy面上的投影
r 为常数 为常数
A
M ( x, y, z )
xo
r
z
y
y
x
P( x, y)
z
球面坐标系中的三坐标面分别为
原点为心的球面； 原点为顶点、z轴为轴的 圆锥面； 过z轴的半平面．
O
y
x
为常数
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2. 在球面坐标系下三重积分的计算
J r , , abc r 2 sin
0 r 0 2 0
x2 y 2 z 2 例 椭球 2 2 1 的体积 . 2 a b c
V abc d
0 2
0
4 sin d r dr abc. 0 3