三重积分的概念与计算
第三节三重积分的概念与计算
Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成 的闭区域 的体积.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分的概念与计算
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
三重积分的定义和计算方法
三重积分的定义和计算方法在多元微积分中，三重积分被用来计算三维空间中复杂曲面或体积的性质。
本文将介绍三重积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、定义三重积分是对一个三维空间区域内的函数进行积分。
类似于二重积分用来计算二维平面区域内的函数性质，三重积分将函数在三维空间内的性质展现出来。
它可以用于计算体积、质心、质量等相关问题。
二、直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过以下步骤进行：1. 建立坐标系：确定一个适当的坐标系，常见的是笛卡尔坐标系(x, y, z)。
2. 划定积分区域：确定要求解的函数所在的空间区域，通常使用不等式或图形的方程来描述。
3. 分割积分区域：将积分区域划分为许多小立方体或长方体。
4. 选择积分方式：根据问题的要求选择适当的积分方式，常见的有直角坐标系下的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标形式。
5. 计算积分：根据所选择的积分方式，将函数进行变量替换并进行积分计算。
三、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系，它们在计算具有对称性的问题时非常有用。
1. 柱坐标系下的三重积分计算：柱坐标系中，用(r, θ, z)表示点的坐标。
三重积分的计算在柱坐标系下往往更加便捷，特别适用于具有圆柱对称性的问题。
2. 球坐标系下的三重积分计算：球坐标系中，用(ρ, φ, θ)表示点的坐标。
球坐标系下的三重积分计算常常用于具有球对称性的问题。
四、应用举例三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 计算体积：通过三重积分可以计算具有复杂形状的立体体积。
2. 计算质心：对于有一定密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质心坐标。
3. 计算质量：类似地，通过三重积分可以计算具有复杂密度分布的物体的总质量。
4. 计算电荷分布：在电磁学中，可以利用三重积分来计算复杂电荷分布下的电势。
五、总结本文介绍了三重积分的定义和计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算。
三重积分
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
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投影法
适用范围: 由平面围成的情况
d xd y
D
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
同理 D : c y d ,
x1 ( y ) x x2 ( y ), 得
f ( x , y , z )dz d
f ( x, y, z )dv
x
2
z
Dz
则
而
zdxdydz
Dz
zdz dxdy
0 Dz
2
c
a
b
y
dxdy S
Dz
2 z z z 2 2 a (1 2 ) b (1 2 ) ab(1 2 ), c c c
z2 1 2 ab ( 1 ) zdz 原式 abc . 2 0 c 4
f ( x, y, z ) d v 用三次积分表示,其中由
六个平面 x 0 , x 2 , y 1, x 2 y 4 , z x , z 2 所
围成 , f ( x, y, z ) C () . 提示:
1x 1 y 2 : 2
2
2 1 x 2
I
例.计算三重积分
面及平面 解:
其中 为三个坐标 所围成的闭区域 .
1 2 2 2 I d x d y d z x y z , . 计算 , 其中 由锥面 例2. 2 2 x y 1
及平面z 1围成.
x 2 y2 z 1 解： : 2 2 x y 1
r2 4
dz
x
o
y
2
2 h 0
r r (h ) d r 2 1 r 4
dv r d r d d z
4. 计算
其中
1 2 由 z ( x y 2 ), z 1, z 4 围成 . 2
解: 利用对称性
z
4 1 o
1 ( x 2 y 2 ) d x d y d z 2 1 4 2 2 d z ( x y ) d x d y Dz 2 1 2 2z 3 1 4 d z d r d r 21 0 0 2 1
补充：三重积分对称性：
1、变量位置对称性： 设由 ( x , y , z ) 0表示，若 ( y , x , z ) 0仍 表示， 则 f ( x , y , z )dv f ( y , x , z )dv.
例：：x 2 ＋y 2 ＋z 2 a 2 , 则 f ( x )dv f ( y )dv f ( z )dv
解
2
( x y z)
2 2 2
2
x y z 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于 y 的奇函数,
且 关于 zox 面对称,
( xy yz )dv 0 ,
同理
zx 是关于 x 的奇函数,
且 关于 yoz 面对称,
投影区域 Dxy ：x 2 y 2 1,
0 2,
2 1 0 0
0 r 1,
2 r 2 r
r2 z 2 r2 ,
2 2 2
I d dr 2
r ( 2r cos z )dz
( 90 2 89). 60
思考与练习
1. 将 I
o D xy
y
曲面与 xOy 坐标面交于 x 轴和 y 轴 . 所以
I
y
D xy
dxdy 0
1 1 x 0 0
xy
x y1
f ( x, y, z )dz
xy
dx
dy f ( x, y, z )dz
0
O
x
方法2. 截面法 (“先二后一”)
D
f ( x , y , z )dv
4. 微元法
5. 对称奇偶性*
6.中值定理.
V 为 的体积, 则存在
在有界闭域 上连续,
使得
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 三次积分法 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
记作
三次积分法
z1 ( x, y) z z2 ( x, y)
D
Z2 ( x, y)
Z1 ( x , y )
dy
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
dx
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
同理可得用平行于x（或y）轴的直线穿如 不多于两点上三重积分可先对x(或y )积分， 再对yoz(或xoz)面上区域作二重积分展开即可。
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面 关于xoy面对称
z ln( x 2 y 2 z 2 1) dxdydz 0. 2 2 2 x y z 1
例 计算 ( x y z )2 dxdydz其中 是由抛物面
z x 2 y 和球面 x 2 y 2 z 2 2所围成的空间闭 区域.
c1
c2
dz
f ( x , y , z )dxdy
z
Dz
特别适用于积分区域中一坐标 的范围易获得，截面范围易表 示的情况。
c2
特别对 f ( z )dv更有效（＝ ）。 f ( z ) S Dz dz
c1
例3. 计算三重积分
zd xd yd z , 其中 为三个坐标
其中 Dr ： , r1 ( ) r r2 ( ) .
则有
drd
D
z2 ( r , ) z1 ( r , )
f ( r cos , r sin , z )r dz
z2 ( r , ) z1 ( r , )
d
r2 ( ) r1 ( )
作
业
115页 3, 4, 6, 12, 13
第九章
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得
面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
： 解:如图， 0 z 1, Dz 为 xoy 面上 x轴，
z
1
z
y 轴和 x y 1 z 围成的等腰直角三角形.
所以
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
1
x
1
o
y
1
y
1
1 1 2 z (1 z ) dz 0 24 2
y
平面
z
r rc c
x
o
c
rc
y
z
z
r 常数
圆柱面 半平面 平面
M ( x, y , z )
常数
z 常数
o y ( x, y,0) x r
在柱面坐标下
cos sin 0
r sin r cos 0
0 0 r, 1
若 : z1 (r , ) z z2 (r , ) , (r , ) Dr
0 r 0 2 0
设区域 :
y1 ( x) y y2 ( x) ( x, y ) D : a xb
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
dx
a
b
y ( x ) d y z ( x, y )
1 1
y2 ( x )
z2 ( x,z
Dz
y
x
3.
利用球坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z ) R 3 , 令 OM r ,
ZOM , 则(r , , ) 就称为点M 的球坐标. z
直角坐标与球面坐标的关系
z
o
rM
y
x rsin cos y r sin sin z r cos
x 2 y2 z 2
x 2 y2 1
I
D xy
dxdy
极坐标
1 x2 y2
1 dz 2 2 x y 1
1 x 2 y2 dxdy 2 2 x y 1 Dxy
2
0
d
1
0
r r2 dr 2 1 r
1 r 2 ( 1)dr (ln2 2 ) 2 0 1 r 2
xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知
则I
2 2 x dv y dv ,
2 ( x y z ) dxdydz
( 2 x 2 z 2 )dxdydz,
I ( 2 x 2 z 2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
f ( x , y , z ) d xd y d z * F ( u, v , w ) J d udv d w
体积元素
2.
利用柱坐标计算三重积分
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: