10-3三重积分的概念与性质
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数学分析中的三重积分
Yunnan University
§2. 三重积分的计算 z
三重积分化为三次积分的过程： 三重积分化为三次积分的过程：
(1) Ω向 xoy 面上投影，得到 D。 面上投影， (2) D向 x 轴投影，得到 轴投影， a ≤ x ≤ b, D: y1( x) ≤ y ≤ y2( x).
z2 z1
∫c
∫x1( y) ∫z1( x, y)
§2. 三重积分的计算
(1) Ω向 yoz 面上投影，得到Dyz。 面上投影， (2) Dyz向 y 轴投影，得到 轴投影，
z1( y) ≤ z ≤ z1( y), D: a ≤ y ≤ b.
x
x2
x1 Ω
(3) 过点( y, z) ∈ Dyz 作直线,
z
1
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴 的直线, 得到
x
1
o D
1 2
y
0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y.
于是， 于是，
Yunnan University
∫∫∫ x dxdydz = ∫0 dx∫0
1
Ω
1− x 1− x−2 y 2 dy xdz
∫0
§2. 三重积分的计算
过点( x, y) ∈ D 作平行与 z 轴的直线, 得到
Ω
b
y2 ( x)
z2 ( x, y)
f ( x, y, z)dz.
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭 区域 Ω 的边界曲面 S 相交不多于两点情形． 相交不多于两点情形．
(2) 若平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与 相交多于两点时， 闭区域Ω 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 ． Ω分若干个小区域来讨论
§2. 三重积分的计算 z
三重积分化为三次积分的过程： 三重积分化为三次积分的过程：
(1) Ω向 xoy 面上投影，得到 D。 面上投影， (2) D向 x 轴投影，得到 轴投影， a ≤ x ≤ b, D: y1( x) ≤ y ≤ y2( x).
z2 z1
∫c
∫x1( y) ∫z1( x, y)
§2. 三重积分的计算
(1) Ω向 yoz 面上投影，得到Dyz。 面上投影， (2) Dyz向 y 轴投影，得到 轴投影，
z1( y) ≤ z ≤ z1( y), D: a ≤ y ≤ b.
x
x2
x1 Ω
(3) 过点( y, z) ∈ Dyz 作直线,
z
1
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴 的直线, 得到
x
1
o D
1 2
y
0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y.
于是， 于是，
Yunnan University
∫∫∫ x dxdydz = ∫0 dx∫0
1
Ω
1− x 1− x−2 y 2 dy xdz
∫0
§2. 三重积分的计算
过点( x, y) ∈ D 作平行与 z 轴的直线, 得到
Ω
b
y2 ( x)
z2 ( x, y)
f ( x, y, z)dz.
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭 区域 Ω 的边界曲面 S 相交不多于两点情形． 相交不多于两点情形．
(2) 若平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与 相交多于两点时， 闭区域Ω 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 ． Ω分若干个小区域来讨论
高数同济六版D103三重积分
通过选取特定的节点和权系 数，使得数值积分具有更高 的代数精度和更好的稳定性。
数值方法在求解复杂三重积分中应用
1 2 3
适应性网格划分
根据被积函数的特性，自适应地划分积分区域， 使得在函数变化剧烈的区域采用更细的网格，提 高计算精度。
蒙特卡罗方法
通过随机抽样估计三重积分值，适用于高维、复 杂积分区域的计算，但计算结果的精度与抽样次 数和随机数生成质量有关。
通过投影法或截面法，可以将三重积分转化为二重积分进行计算。
二重积分与三重积分在解决实际问题时常常相互转换，如计算物体体积、质量等。
与曲线曲面积分关系及转换方法
三重积分与曲线积分、曲面积分 之间有着密切的联系，它们都是 研究多元函数积分学的重要内容。
在一定条件下，三重积分可以转 化为曲线积分或曲面积分进行计
划分微元
将积分区域Ω划分为n个小立方体，每个小立方体的边长分 别为dx, dy, dz，小立方体的体积为dV=dx×dy×dz。
三重积分表达式
对于被积函数f(x,y,z)，其在积分区域Ω上的三重积分可以表 示为∭f(x,y,z)dV，其中积分号∭表示三重积分，dV表示体积 微元。
计算步骤
先对z进行积分，再对y进行积分，最后对x进行积分。即 ∭f(x,y,z)dV=∫[a,b]dx∫[c,d]dy∫[e,f]f(x,y,z)dz，其中[a,b]、 [c,d]、[e,f]分别为x、y、z的积分上下限。
高维数值积分方法
将高维积分转化为一系列一维积分的组合，利用 一维数值积分方法进行计算，降低计算复杂度。
误差分析和收敛性判断
误差来源分析
分析数值积分过程中产生的各种误差来源，包括截断误差、 舍入误差、模型误差等，为后续的误差控制和收敛性判断 提供依据。
三重积分先一后二例题
三重积分先一后二例题
摘要：
一、三重积分的概念和性质
1.三重积分的定义
2.三重积分的性质
二、三重积分的计算方法
1.先一后二法则
2.例题解析
a.计算三重积分∫∫∫(x^2y^3) dxdydz
b.计算三重积分∫∫∫(x^2z^2) dxdydz
三、三重积分在实际问题中的应用
1.物理中的应用
2.工程中的应用
正文：
三重积分是数学中的一种积分方法，用于计算空间中某一个函数在某一范围内的总和。
它的定义是将一个三维空间划分为无数个微小的矩形、立方体或者其它形状的小区域，然后对这些小区域中的函数值进行求和。
三重积分具有一定的性质，例如，它的积分次序可以改变，即先对x 积分、再对y 积分、最后对z 积分，或者先对y 积分、再对z 积分、最后对x 积分，结果是相同的。
这就是所谓的“先一后二”法则。
在计算三重积分时，我们可以利用“先一后二”法则，将三重积分转化为
多次单积分。
例如，对于函数f(x,y,z)=x^2y^3，我们可以先对x 积分，得到一个新的函数g(y,z)=y^3∫x^2dx，然后再对y 和z 积分。
这样就可以将复杂的三重积分转化为简单的多次单积分。
在实际问题中，三重积分常常应用于物理和工程等领域。
例如，在物理学中，可以用三重积分来计算物体的质量、体积和密度等；在工程中，可以用三重积分来计算流体的压力、速度和温度等。
第三节 三重积分的概念及性质
1 2
性质 4
d v V
（Ｖ为区域 的体积）．
性质 5
如果在 上，f ( x, y, z) g ( x, y, z) ，则有不等式
f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v
特殊地有
f ( x, y, z) d v
质量可表示为
( x, y, z) d v．
三重积分的存在性： 当函数 f (x，y，z) 在闭区域 上连续时，函数 f(x，y，z) 在
上的三重积分是存在的，以后也总假定 f(x，y，z) 在闭区域 上是连续的．
二、三重积分的性质
性质 1
kf ( x, y, z) d v k f ( x, y, z) d v
f ( x, y, z) d v f ( y, x, z) d v
例1 设 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 1 为 位于第一卦象内部分，
I1 ( xy 2 z )dv, I 2 xdv, 则（ ）．
(k 为常数)．
性质 2
[ f ( x, y, z) g ( x, y, z)]d v f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v.
性质 3 如果闭区域 划分为两个闭区域1与 2 ，则
f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v
1
(A) I1 0
(C) I1 2 I 2
(B) I 2 0
(D) I1 4 I 2
解
I1 xy 2 dv zdv,
性质 4
d v V
（Ｖ为区域 的体积）．
性质 5
如果在 上，f ( x, y, z) g ( x, y, z) ，则有不等式
f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v
特殊地有
f ( x, y, z) d v
质量可表示为
( x, y, z) d v．
三重积分的存在性： 当函数 f (x，y，z) 在闭区域 上连续时，函数 f(x，y，z) 在
上的三重积分是存在的，以后也总假定 f(x，y，z) 在闭区域 上是连续的．
二、三重积分的性质
性质 1
kf ( x, y, z) d v k f ( x, y, z) d v
f ( x, y, z) d v f ( y, x, z) d v
例1 设 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 1 为 位于第一卦象内部分，
I1 ( xy 2 z )dv, I 2 xdv, 则（ ）．
(k 为常数)．
性质 2
[ f ( x, y, z) g ( x, y, z)]d v f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v.
性质 3 如果闭区域 划分为两个闭区域1与 2 ，则
f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v
1
(A) I1 0
(C) I1 2 I 2
(B) I 2 0
(D) I1 4 I 2
解
I1 xy 2 dv zdv,
10-5 三重积分的概念与性质 (1)
x
y
Dxy : x 2 y2 4.
zdv
2
2 1 2 64 4 d (16 )d . 0 2 0 3
0
d d 2 zdz
0
2
4
12
(2)当 f ( x , y, z ) 在闭区域上连续时， 定义中和 式的极限必存在，即三重积分必存在.
(3)三重积分与二重积分有类似的性质。 (4)三重积分的物理意义：如果被积函数表示空 间物体的体密度，则三重积分表示物体的质量。
4
三重积分的直角坐标形式
z
已知三重积分存在的前提下 在直角坐标系下用平行于三 个坐标面的三组平面来划分区域 Ω，则典型小区域是长方体，
第十章 重积分
第三节 三重积分的概念
1
一、三重积分的概念
定义 设 f ( x , y, z ) 是空间有界闭区域 上的有界 ， 函数，将 任意分成 n 个小闭区域 v1 ， v2 , 上任取一点 (i ,i , i ) ， 作乘积 f (i ,i , i ) v i ， 并作和
在每个 vi vn ， v i 也表示第 i 个小闭区域的体积，
( i 1,2,, n) ，
f ( , , )v ，
i 1 i i i i
2
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在闭区域 上的三重积分， 记为
o
x
v
x
z
y
y
则体积元素为 dv xyz dxdydz
故三重积分可写为
f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dxdydz.
三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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结束
例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
(完整版)10.3三重积分(新)
0
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另 解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，， 来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离， 为有向 线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另 解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，， 来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离， 为有向 线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.
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性质 10.3.4（保号性）如果在 上， f ( x, y, z) 0 ，则
f ( x, y, z)dV 0 ．
8-5
推论 10.3.1（保序性）如果在 上， f ( x, y, z) g ( x, y, z) ，则
f ( x, y, z)dV g ( x, y, z)dV ．
⑵ 如果 关于 yOz 平面对称， 1 为 在 yOz 平面前侧的部分区域，则
0, 如果f ( x, y, z )在D上关于x为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于x为偶函数. 1
f ( , , )V ．
i 1 n i i i i
n
记 max{di }， 如果极限 lim f (i ,i , i ) Vi 存在， 且此极限值与 的分法，
1i n
0
i 1
以及每个小空间区域 Vi 中上点 (i ,i , i ) 的取法都无关，就称此极限值为
⑴ 如果 关于 xOy 平面对称， 1 为 在 xOy 平面上侧的部分区域，则
0, 如果f ( x, y, z )在D上关于z为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于z为偶函数. 1
1 2 1 2
性质 10.3.2（依区域可加性）如果 1 2 ，且 1 与 2 无公共内点，则
f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dV ．
1 2
性质 10.3.3（几何度量性） dV 的体积．
定理 10.3.2（三重积分的轮换对称性）设 为空间有界闭区域，
⑴ 如果 关于平面 y x 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( y, x, z )dV ．
⑵ 如果 关于平面 x z 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( z, y, x)dV ．
性质 10.3.6（三重积分中值定理）设 f ( x, y, z) 在空间有界闭区域 上连续，
V 是 的体积，则在 上至少存在一点 ( ,, ) ，使得
f ( x, y, z)dV f ( , , )V ．
8-6
定理 10.3.1（三重积分的奇偶对称性）设 为空间有界闭区域，
10.3 三重积分的概念与性质
10.3.1 10.3.2 10.3.3 三重积分概念的实际背景 三重积分的概念 三重积分的性质
8-1
10.3.1 三重积分概念的实际背景
物理背景——空间立体状物体的质量
设有一空间立体状物体，占有空间区域 ，已知物体的体密度 ( x, y, z) 是 上的连续函数，求该物体的质量 M．
0, 如果f ( x, y, z )在D上关于y为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于y为偶函数. 1
8-7
⑶ 如果 关于 zOx 平面对称， 1 为 在 zOx 平面右侧的部分区域，则
类似于平面薄片质量的求法，把空间区域 任意分成 n 个小空间区域
V1, V2 ,, Vn ．
每个小空间区域 Vi 的体积也记为 Vi ，且 Vi 的直径记为 di ．在Vi 上任取 一点 (i ,i , i ) ， 则 Vi 上的物体质量近似地等于 (i ,i , i )Vi (i 1,2,, n) ， 因此物体的质量 M 近似等于 (i ,i , i ) Vi ，记 max{di } ，所以该物体
⑶ 如果 关于平面 z y 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( x, z, y)dV ．
例如，设 为椭球体 x2 y 2 4 z 2 1．由于在 x2 y 2 4 z 2 1中，将变量
x 与 y 互换后， 的表示没有发生变化；而将变量 x 与 z 互换后，变为
4 x2 y 2 z 2 1，发生了变化，因此由三重积分轮换对称性可得
2 2 2 2 x d V y d V x d V z ，而 与 dV 未必相等．
8-8
f ( x, y, z) 在 上的三重积分，记作 f ( x, y, z )dV .
8-3
（续定义）
f ( , , )V ， f ( x, y, z)dV lim
0 i 1 i i i i
n
其中 f ( x, y, z) 称为被积函数； f ( x, y, z)dV 称为被积表达式；dV 称为体积 元素； x, y, z 称为积分变量； 称为积分区域； 称为三重积分号；
f ( , , )V 称为积分和．
i 1 i i i i
n
注 1：空间物体的质量为
M ( x, y, z )dV ．
注 2：当 f ( x, y, z) 在空间有界闭区域 上连续时， f ( x, y, z )dV 存在．
注 3：与二重积分类似，体积元素 dV dxdydz ．dxdydz 称为直角坐标系中 的体积元素．从而
f ( x, y, z)dV = f ( x, y, z)dxdydz ．
8-4
10.3.3 三重积分的性质
以下性质中， 为空间有界闭区域，且所涉及的三重积分均存在．
性质 10.3.1（线性性）设 k1, k2 为常数，则
[k f ( x, y, z) k g ( x, y, z)]dV k f ( x, y, z)dV k g ( x, y, z)dV .
i 1 n
1i n
的质量为
M lim (i ,i , i )Vi ．
0
i 1
n8-210.3. Nhomakorabea 三重积分的概念
定义 10.3.1 设 f ( x, y, z) 是空间有界闭区域 上的有界函数，将 任意分割 为 n 个小空间区域 V1, V2 ,, Vn ．每个小空间区域 Vi 的体积也记为 Vi ， 且 Vi 的直径记为 di ，在 Vi 上任取一点 (i ,i , i ) (i 1,2,, n) ，作和
推论 10.3.2（积分绝对值不等式）
f ( x, y, z)dV | f ( x, y, z) | dV ．
性质 10.3.5（估值定理）设 f ( x, y, z) 在 上有最大值 M 和最小值m ，V 是 的体积，则
mV f ( x, y, z )dV MV ．