—定积分的概念与性质

(3)求和
y
y f (x) N
将所有矩形面积求和
An f (1)x1 f (2 )x2 L f (n )xn
n
f (i )xi i 1
M
oa
xi1i xi
bx
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则 An 即是曲边梯形面积的近似值.
(4)取极限
记
为所有小区间中长度的最大者,即
ห้องสมุดไป่ตู้
max
1in
{xi
},
当 0 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即
根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：
曲线 f ( x)( f ( x) 0)、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
b
A a f ( x)dx.
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质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置 a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
第五章 定积分及其应用
§5—1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例（P253）
1、曲边梯形的面积:
如图,由连续曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及x轴围成
的图形称为曲边梯形.
下面我们求曲边梯形的面积
y
(1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点
y f (x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
所做的功,即
n
W
= lim 0
i 1
F (i ) si
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二、定积分的定义（P256） 定义 设函数f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n 1
个分点: a x0 x1 x2 xn1 xn b
把区间[a,b]分成n个小区间: [x0 , x1],[x1, x2 ], ,[xi1, xi ], ,[xn1, xn ]
把区间[a,b]分成n个小区间
oa
bx
[ x0 , x1]，[ x1, x2 ]，...，[ xi1, xi ]，，[ xn1, xn ]
记每一个小区间 [xi1, xi ] 的长度为 xi xi xi1 (i 1，2，L n)
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过每个分点 xi (i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲边梯形 分割成n个小曲边梯形.
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小区间[xi1, xi ]上任取一点i (xi1 i xi ),
作和式(简称积分和式)
n
f (i )xi
i 1
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记 max{xi , x2 ,..., xn}，如果对区间[a, b]任一分法 和小区间[xi1, xi ]上点i任意取法，只要当 0时，上
述和式的极限都存在且相等，则称此极限为函 数f (x)
在区间[a, b]上的定积分(简称积分) ，记作
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi ,
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫
做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]
叫做积分区间.
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b
a
f
( x)dx是积分和式的极限，是一个数值，
定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，
而与积分变量的记法无关.即有
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du.
(2)函数 f (x)在[a , b] 上可积的充分条件是：
定理1（P258）设函数 f (x)在区间[a , b] 上连续， 则f(x)在[a , b]上可积。
(2) 取近似 Ai 表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间[xi1, xi ](i 1,2,L ,n)
内任取一点 i (xi1 i xi ) ,过点 i 作x轴的垂线与曲线
交于点 Pi (i , f (i )) ,以 xi 为底, f (i ) 为高做矩形,以此矩
形做为小曲边梯形面积的近似值,则 Ai xi f (i )
b
W a F(s)ds
如果函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分存在，则 称函数 f (x) 在区间[a,b]上可积.
可以证明:若函数f (x)在区间[a,b]上连续,或只有有 限个第一类间断点,则f (x)在区间[a,b]上可积.
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关于定积分的概念，还应注意两点:
(1)定积分
[s0 , s1],[s1, s2 ],L ,[si1, si ],L ,[sn1, sn]
小区间的长度
si si si1 (i 1, 2,L , n)
(2)取近似 在每一个小区间 [si1, si ] 上任取一点 i ,把 F(i ) 做为
质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间[si1, si ] 上对质点所做的功的近似值为
x轴所围成的曲边梯形的面积.
如果在[a,b]上 f ( x) ≤ 0，此时 o a
由曲线 y=f(x)，直线x=a，x=b及 y a x轴所围成的曲边梯形位于x轴的 o
下方，则定积分
b
a
f
( x)dx
在几何
上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.
bx b
x
y f (x)
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如果在[a,b]上 f(x)既可取正值又可取负值，则定
n
A lim 0 i1
f (i ) xi
2、变力沿直线所做的功
设某质点作直线运动，已知变力F (s)是位移s的
连续函数，质点的位移区间为a, b，求变力F做的功.
(1) 分割
在[a,b] 插入n个分点 a s0 s1 s2 L si L sn1 sn b
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将闭区间[a,b]分成n个小区间:
定理2（P258）设f (x)在区间[a , b] 上有界，且只有 有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积。
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定积分的几何意义：（P258）
如果在[a,b]上
f (x) 0
，则 b a
f ( x)dx 在几何上表
示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 y
y f (x)
Wi F(i )si (i 1, 2,L , n)
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(3)求和 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到
在区间 a,b 上所做功的近似值,即
(4)取极限
n
n
W Wi F ( i)Si
i 1
i 1
把所有小区间的最大长度记为 ,即 max(si ) ,
则当 0时,和式的极限即为变力在区间 a,b上对质点