山东省2014届理科数学一轮复习试题选编30：排列、组合
2014年全国高考理科数学试题分类汇编七、排列组合和二项式定理(逐题详解)
2
A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种
【答案】C
【解析】根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15 种选法， 再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5 种选法， 则不同的选法共有 15×5=75 种；故选 C
(2x 7.【2014 年湖北卷（理 02）】若二项式
而红球篮球是无区别，黑球是有区别的， 根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）， 第二步取蓝球，有（1+b5）， 第三步取黑球，有（1+c）5， 所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，
4.【2014
D.210 =20．f（3，0）=20；
含 x2y1 的系数是
=60，f（2，1）=60；
含 x1y2 的系数是
=36，f（1，2）=36；
含 x0y3 的系数是
=4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C
11.【2014 年浙江卷（理 14）】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.
不同的摆法有_______种.
【答案】36 【解析】根据题意，分 3 步进行分析： ①、产品 A 与产品 B 相邻，将 AB 看成一个整体，考虑 AB 之间的顺序，有 A22=2 种情况， ②、将 AB 与剩余的 2 件产品全排列，有 A33=6 种情况， ③、产品 A 与产品 C 不相邻，C 有 3 个空位可选，即有 3 种情况， 故不同的摆法有 12×3=36 种
2014·山东卷(理科数学)
2014²山东卷(理科数学)1．[2014·山东卷] 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i1．D [解析]因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.2．，[2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 2．C [解析]根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.3．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 3．C [解析]根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. 4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B.方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C.方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D.方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析]“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C.sin x ＞sin yD.x 3＞y 35．D [解析]因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D. 6．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2B.4 2C.2D.46．D [解析]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫2x 2－14x 420＝4，故选D.7．[2014·山东卷] 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图1-1A.6B.8C.12D.187．C [解析]因为第一组与第二组一共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的人数比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组有20³35＝12.又因为第一组与第三组的人数比是0.24∶0.36＝2∶3，所以第三组一共有12÷23＝18.因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1C.(1，2) D.(2，＋∞) 8．B [解析]画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.9．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A.5B.4C.5D.29．B [解析]画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(2 5－2a )2＝5a 2－8 5a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－8 5a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4³5³20－（8 5）24³5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.10．，[2014·山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.x ±2y ＝0D.2x ±y ＝010．A [解析]椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ²a 2＋b 2a＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2³1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.11．[2014·山东卷] 执行如图1-2所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为____．图1-211．3 [解析]x ＝1满足不等式，执行循环后，x ＝2，n ＝1；x ＝2满足不等式，执行循环后，x ＝3，n ＝2；x ＝3满足不等式，执行循环后，x ＝4，n ＝3；x ＝4不满足不等式，结束循环，输出的n 的值为3.12．，[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →²AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.16 [解析]因为AB ·AC ＝|AB →|²|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|²|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|²|AC →|sin A ＝12³23³sin π6＝16.13．[2014·山东卷] 三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．13.14 [解析]如图所示，由于D ，E 分别是边PB 与PC 的中点，所以S △BDE ＝14S △PBC .又因为三棱锥A BDE 与三棱锥A -PBC 的高长度相等，所以V 1V 2＝14.14．，[2014·山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．14．2[解析]T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r²⎝⎛⎭⎫b x r＝C r6a 6－r ²b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.15．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．15．(210，＋∞) [解析]g (x )的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2＝4(y ≥0)．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x )，根据圆心(0，0)到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆的半径求得|b |9＋1＝2，解得b ＝210或b ＝－210(舍去)，要使h (x )>g (x )恒成立，则b ＞210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)．16．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .17．，[2014·山东卷] 如图1-3所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图1-3(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．17．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ，又M 是AB 的中点，所以CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1.因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，所以C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形， 因此，C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1， 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)方法一：连接AC ，MC .由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形， 所以BC ＝AD ＝MC .由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3， 因此CA ⊥CB .设C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .所以A (3，0，0)，B (0，1因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)． 又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→²n |CD 1→||n |＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二：由(1)知，平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，点过C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N.由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ， 因此∠D 1NC 为二面角C 1AB C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°， 可得CN ＝32， 所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 18．，[2014·山东卷] 乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1-4所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．图1-418．解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3) ＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12³15＋13³15＋16³35＋16³15 ＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. (2)由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16³15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13³15＋16³35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13³35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12³15＋16³15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12³35＋13³15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12³15＝110.所以数学期望Eξ＝0³130＋1³16＋2³15＋3³215＋4³1130＋6³110＝9130.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2³12³2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4³32³2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1 20．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 20．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点； 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点． 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22. 21．，，[2014·山东卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．21．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 设D (t ，0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①证明：由(1)知F (1，0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D >0)． 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0， 由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20. 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1，0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)． 所以直线AE 过定点F (1，0)．②由①知，直线AE 过焦点F (1，0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由y 0≠0，得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0. 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0， 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0， 则△ABE 的面积S ＝12³4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立． 所以△ABE 的面积的最小值为16.。
山东版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编：专题11 排列组合、二项式定理(Word版含解析).pdf
一．基础题组
1. 【山东省聊城市某重点高中高三上学期期初分班教学测试】三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种.
2.【山东省聊城市某重点高中高三上学期期初分班教学测试】项的系数是（ ）
A. 45
B. 90
C. 135
D. 270
3. 【山东威海13届高三1月考】 的展开式中，常数项为___________.
【答案】
【解析】
试题分析：展开式的通项公式为，由，解得，所以常数项为.
考点：二项展开式.
4. 【山东省济南市13届高三3月考】二项式的展开式中常数项是 A．28 B．-7 C．7 D．-28 在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步， 程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种 B．种 C．种 D．种
【解析】
3. 【山东潍坊13届高三3月考】 某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（）
(A)360 (B)520 (C)600 (D)720
三．拔高题组
1. 【山东德州13届高三1月考】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数（ ）
A．－20 B．—10 C．10 D．20
X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为（ ）
X4a9Pm0.20.5A. 5 B. 6 C. 7 D. 8。
2014年高考试题：理科数学(山东卷)_中小学教育网
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为学科网共轭复数，则=+2）（bi a（A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A I (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少学科网有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两学科网个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，学科网答案须填在题中横线上。
2014届高考数学(理)一轮复习【配套文档】：第十篇 第2讲 排列与组合 含答案
第2讲排列与组合A级基础演练(时间:30分钟满分：55分)一、选择题（每小题5分，共20分）1．（2012·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．A．12种B．18种C．24种D．36种解析先排第一列,因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列,其中第二列第一行的字母共有A错误!种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A错误!·A 错误!·1＝12(种）不同的排列方法．答案A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有( ）．A。
24种B。
60种C。
90种D。
120种解析可先排C、D、E三人,共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A3，5＝60(种)．答案B3．如果n是正偶数，则C0n＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＝( )．A．2n B．2n－1C．2n－2D．（n－1)2n－1解析(特例法）当n＝2时,代入得C0，2＋C错误!＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C错误!＋C错误!＋C错误!＝8，排除答案D.故选B。
答案B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )．A.42B.30C.20D.12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻,则有A错误!A错误!＝12种排法;若两个节目不相邻,则有A错误!＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A错误!＝42)．答案二、填空题(每小题5分，共10分)5．（2013·汕头调研）如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路,分别记为支线a、b、c，支线a,b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案636．（2013·郑州模拟）从－3，－2，－1，0,1,2，3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b,c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．解析a，b，c中不含0时,有A错误!个；a,b，c中含有0时，有2A 2个．故共有A错误!＋2A错误!＝294个不同的二次函数．7答案294三、解答题（共25分）7．（12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．（1)A，B必须当选；（2)A，B必不当选；（3）A,B不全当选；(4）至少有2名女生当选；(5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可,故有C错误!＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C错误!＝252种选法．(3）全部选法有C512种，A,B全当选有C3，10种，故A，B不全当选有C错误!－C错误!＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C错误!－C错误!·C错误!－C错误!＝596种选法．（5)分三步进行;第1步，选1男1女分别担任两个职务有C错误!·C错误!种选法．第2步，选2男1女补足5人有C错误!·C错误!种选法．第3步，为这3人安排工作有A错误!方法．由分步乘法计数原理，共有C错误!C错误!·C错误!C错误!·A错误!＝12 600种选法．8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A,B，C,D四个区域,如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?解法一第1步，涂A区域有C1，5种方法；第2步，涂B区域有C错误!种方法;第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法;若C区域涂A、B 剩余3种颜色之一，即有C错误!种涂法，则D区域有C错误!种涂法．故共有C错误!·C错误!·（4＋C错误!·C错误!）＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C2，5A错误!种涂法；第2类，用五色中三种色,共有C错误!C错误!C错误!A错误!种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A错误!种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A2，2＋C错误!C错误!C错误!A错误!＋C错误!A错误!＝260种不同的涂色方法．B级能力突破（时间：30分钟满分:45分）一、选择题（每小题5分，共10分)1．在1，2，3，4，5,6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5,a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )．A．576种B．720种C．864种D．1 152种解析由题意,先排1,3，5，7,有A错误!种排法；再排6，由于6不能和3相邻,故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A错误!种排法，所以共有A错误!×3×A错误!＝864种排法．答案C2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）．A．232 B．252 C．472 D．484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有C错误!×C错误!×C错误!＝64种，若2张同色，则有C错误!×C错误!×C错误!×C错误!＝144种;若红色卡片有1张，剩余2张不同色,则有C错误!×C错误!×C错误!×C错误!＝192种，乘余2张同色，则有C14×C13×C错误!＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.答案C二、填空题(每小题5分,共10分）3．（2013·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1）5张牌全部分开出，有A5，5种方法；(2)2张2一起出,3张A一起出,有A错误!种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A错误!种方法；（4)2张2一起出，3张A分两次出，有C错误!A错误!种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有A35种方法;（6）2张2分开出，3张A分两次出，有C错误!A错误!种方法．因此,共有不同的出牌方法A错误!＋A错误!＋A错误!＋C错误!A错误!＋A错误!＋C错误!A错误!＝860（种)．答案8604．小王在练习电脑编程,其中有一道程序题的要求如下：它由A,B，C,D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空,所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空,所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．答案20三、解答题(共25分)5．（12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中:（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法?（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解（1)只需从其他18人中选3人即可，共有C错误!＝816(种); (2）只需从其他18人中选5人即可，共有C错误!＝8 568（种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加,共有C错误!C错误!＋C错误!＝6 936(种）；（4）方法一(直接法）：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外;四内一外，所以共有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝14 656（种)．方法二（间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C错误!－（C错误!＋C错误!）＝14 656（种)．6．（13分)在m（m≥2)个不同数的排列p1p2…p m中，若1≤i＜j≤m 时p i＞p j（即前面某数大于后面某数)，则称p i与p j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1）n(n－1）…321的逆序数为a n.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4 321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出a n的表达式;(2）令b n＝a na n＋1＋错误!,证明：2n＜b1＋b2＋…＋b n＜2n＋3，n＝1，2,…。
2014年山东高考理科数学试题含答案(Word版)
若 CD1 垂直于 面 ABCD 且 CD1 = 弦值.
3 ，求 面 C1 D1M 和 面 ABCD 所成的角 锐角 的余
6
18
本小题满分 12 分 球台面被网分成 、乙两部分，如图， 有两个 相交的区域 A, B ，乙被划分为两个 相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到落点在
的来球 向乙回球.规定 回球一次，落点在 C 在A 的来球，小明回球的落点在 C 的概率为
sin x > sin y
x2 > y2
6 直线 y = 4 x 图形的面 为 A
曲线 y = x 3 在第一象限内围成的封闭
2 2
B
4 2
C
2 D 4 志愿者进行临床
7 为研究某药品的疗效，选取若 试验，所有志愿者的舒张压数据 单位
kPa
的分组区
间为 [12,13) ， [13,14) ， [14,15) ， [15,16) ， [16,17] ， 将其按从左到右的 序分别编号为第一组，第二组，......， 第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知 第一组 第二组共有 20 人，第 则第 组中有疗效的人数为 A 1 B 8 C 12 D 18 8 已知函数 f ( x ) =| x − 2 | +1 ， g ( x) = kx ，若 f ( x ) = g ( x) 有两个 值范围是 相等的实根，则实数 k 的取 组中没有疗效的有 6 人，
山东理科数学 一、选择题 本大题共 10 小题， 小题 5 分.在 小题给出的四个选 中，只有一 是符合题目要求 的. 1 已知 a, b ∈ R ， i 是虚数单位，若 a − i A
2 + bi 互为共轭复数，则 (a + bi ) 2 = 3 + 4i
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编18：数列 Word版含答案-推荐下载
an
Sn
2( 1 n
根据题意,由于数列 an 的通项为
n
a1+a2 ++an
3 1 1 2 n 1 n 2 ,故选 D
1
) 2
,那么可知数列的前
2[(1 1
1) 3
(1 2
n
1) 4
13.．（山东省潍坊市 2014 届高三上学期期中考试数学（理）试题）等差数列{ an }的前 20 项和为
an
+( 1 n
C．90
C． 8
C．（1）94 3
4
C．
5
1 anan1
2 n(n
n
1
2)
可以变形为
)] 可知结论为 2
an
C．20
C．1
C．93
3
C．
10
D．90
D．25
D．-2
D．189
1
D．8（ ）Fra bibliotek（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
【答案】C 7. ．（山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）在各项均为正数的
8.
等比数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2++log3a10=
A．12
【答案】D
B．2+log35
C．8
．（山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知等差数列an的公差
d 0 ,若 a1 a2 a3 a2013 2013at ( t N* ),则 t
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编20：数列的综合问题(学生版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编20：数列的综合问题一、选择题 1 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数f(x),g(x)满足()()x f x a g x =,且f '(x)g(x)(1)(1)5()(),(1)(1)2f f f x g x g g -'>+=-,若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于126,则n 等于 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．72 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数f(x)=⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ）A ．2)1(-=n n a n B ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=nn a二、填空题 3 ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）根据下面一组等式123456712354561578+9+10=3411121314156516171819202111122232425262728175S S S S S S S ==+==++==+=++++==+++++==++++++=可得 13521n S S S S -++++=______________________.4 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）对大于l 的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23⎩⎨⎧53,⎪⎩⎪⎨⎧119733,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1917151343,,仿此,若m 3的“分裂数”中有一个是59,则m 的值为______________.5 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解式:22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7 23=3+5 33=7+9+11 24=7+9此规律,54的分解式中的第三个数为 _____6 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）对正整数n,设曲线(1)n yx x =-在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则{}1na n +的前n 项和是_____________. 7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）如图,一个类似杨辉三角的数阵,请写出第()2n n ≥行的第2个数为______.8 ．（2011年高考（山东理））设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()()2xf x f x x ==+,21()(())34xf x f f x x ==+, 32()(())78xf x f f x x ==+, 43()(())1516xf x f f x x ==+,根据以上事实,由归纳推理可得:当*n N ∈且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -==_______________.三、解答题 9 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）(本小题满分】2分)某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%(I)设第n 年该生产线的维护费用为n a ,求n a 的表达式;(Ⅱ)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 10．（2011年高考（山东理））等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:(1)ln nn n n b a a =+-,求数列{}n b 的前n 项和n S .11．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数f (x )=a x的图象过点(1,12),且点(n -1,a n n2)(n ∈N *)在函数f (x )=a x的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =a n +1-12a n ,若数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:S n <5.12．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知数列{n a }的前n 项和n S 满足1122n *n n S a ()(n N )-++=∈,设2n n n c a =.(I)求证:数列{n c }是等差数列,并求数列{n a }的通项公式;(II)按以下规律构造数列{n b },具体方法如下:1122334567b c ,b c c ,b c c c c ==+=+++,第n 项b n 由相应的{n c }中2n-1项的和组成,求数列{n b }的通项n b .13．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和,且1151,15b a S ===( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知916a =,求50a 的值; (Ⅱ)设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+,当[]1,1m ∈-时,对任意n N *∈,不等式2823n t mt T -->恒成立,求t 的取值范围.14．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()ln f x x =的图象是曲线C ,点*(,())(N )n n n A a f a n ∈是曲线C 上的一系列点,曲线C 在点(,())n n n A a f a 处的切线与y 轴交于点(0,)n n B b . 若数列{}n b 是公差为2的等差数列,且1()3f a =. (Ⅰ)分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设O 为坐标原点,n S 表示n n OA B ∆的面积,求数列{}n n a S 的前n 项和n T .15．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知数列{a n }的首项为a 1=5,前n 项和为S n ,且*125()n n S S n n N +=++∈.(1)证明数列{1}n a +是等比数列;(2)令212(),'()n n f x a x a x a x f x =++是函数()f x 的导函数,令'(1)n b f =,求数列{}n b 的通项公式;(3)若30n b <成立,试求n 的最大值.16．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足332412++=n n S n ,数列*)}({log 3N n b n ∈为等差数列,且31=b ,273=b . (1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式; (2)若125-=n n a c ,n n n c b c b c b c b T ++++= 332211,求n T 的值.17．（2013山东高考数学（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}nc 的前n 项和n R .18．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3nn d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+;又知数列{}n b 中,21=b ,且对任意正整数n m ,,n mmn b b =. (Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)将数列{}n b 中的第．1a 项,第．2a 项,第．3a 项,,第．n a 项,删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ,求数列{}n c 的前2013项和.19．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）已知数列{}n a 中,()*111,,.3nn n a a a n N a +==∈+ (1)求数列{}n a 的通项公式;n a (2)若数列{}n b 满足()31,2nn nnn b a =-数列{}n b 的前n 项和为,nT 若不等式()1nn T λ-<对一切*n N ∈恒成立,求λ的取值范围.20．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 1=2,a 5=512,T n 是数列{log 2a n }的前n 项和.(I)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)求T n ; (Ⅲ)求满足2311110111112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值.21．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）等比数列．．．．{}n c 满足(){}1*1104,n n n n c c n N a -++=⋅∈数列的前n 项和为n S ,且2log .n n a c =(I)求,n n a S ;(II)数列{}{}1,41n n n n n b b T b S =-满足为数列的前n 项和,是否存在正整数m,()1k m k <<,使得1,,m k T T T 成等比数列?若存在,求出所有,m k 的值;若不存在,请说明理由.22．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下,可卖出b 千克.若做广告宣传,广告费为n (*N n ∈)千元时比广告费为(1n -)千元时多卖出2nb千克. (Ⅰ)当广告费分别为1千元和2千元时,用b 表示销售量s ;(Ⅱ)试写出销售量s 与n 的函数关系式;(Ⅲ)当50,200a b ==时,要使厂家获利最大,销售量s 和广告费n 分别应为多少? 23．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ,且满足:a 2·a 4=65,a 1+a 5=18.(1)若1<i<21,a 1,a i ,a 21是某等比数列的连续三项,求i 的值;(2)设nn S n nb )12(+=,是否存在一个最小的常数m 使得b 1+b 2++b n <m 对于任意的正整数n 均成立,若存在,求出常数m;若不存在,请说明理由.24．（2009高考(山东理)）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······1n nb b b n b b b +++>+ 25．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知数列{}n a 满足113,3n n n aa a p +==+⋅(*,n p∈N 为常数),123,6,a a a +成等差数列. (Ⅰ)求p 的值及数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 满足2n n n b a =,证明:49n b ≤.26．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）已知当5x =时,二次函数2()f x ax bx c =++取得最小值,等差数列{}n a 的前n 项和()n S f n =,27a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)数列{}n b 的前n 项和为,n T 且2n n n a b =,证明92nT -≤. 27．（2011年高考（山东理）） 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c (3c >)千元.设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r .l r r rr28．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知数列{}n a 中,11,{}n a a =的前n 项和n S 满足12n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若存在*n N ∈,使得(1)nn n a λ+≤,求实数λ的最大值.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编20：数列的综合问题参考答案一、选择题 1. C2. 【答案】B若0<x≤1,则﹣1<x ﹣1<0,得f(x)=f(x ﹣1)+1=2x ﹣1,若1<x≤2,则0<x ﹣1≤1,得f(x)=f(x ﹣1)+1=2x ﹣2+1若2<x≤3,则1<x ﹣1≤2,得f(x)=f(x ﹣1)+1=2x ﹣3+2若3<x≤4,则2<x ﹣1<3,得f(x)=f(x ﹣1)+1=2x ﹣4+3以此类推,若n<x≤n+1(其中n ∈N),则f(x)=f(x ﹣1)+1=2x ﹣n ﹣1+n,下面分析函数f(x)=2x的图象与直线y=x+1的交点 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2),由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点.然后①将函数f(x)=2x 和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f(x)=2x﹣1和y=x 的图象, 取x≤0的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当x≤0时,方程f(x)﹣x=0有且仅有一个根x=0.②取①中函数f(x)=2x﹣1和y=x 图象﹣1<x≤0的部分,再同时向上和向右各平移一个单位,即得f(x)=2x ﹣1和y=x 在0<x≤1上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(1,1). 即当0<x≤1时,方程f(x)﹣x=0有且仅有一个根x=1.③取②中函数f(x)=2x ﹣1和y=x 在0<x≤1上的图象,继续按照上述步骤进行,即得到f(x)=2x ﹣2+1和y=x 在1<x≤2上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(2,2). 即当1<x≤2时,方程f(x)﹣x=0有且仅有一个根x=2.④以此类推,函数y=f(x)与y=x 在(2,3],(3,4],(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程f(x)﹣x=0在(2,3],(3,4],(n,n+1]上的根依次为3,4,n+1. 综上所述方程f(x)﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0.,1,2,3,4,其通项公式为1-=n a n ,选B.二、填空题 3. 【答案】4n【 解析】11S =;1311516S S +=+=;1351156581S S S ++=++=,由归纳推理可知413521n S S S S n -++++=.4. 【答案】8即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,m 增加1,累加的奇数个数便多1,我们不难计算59是第30个奇数,若它是m 的分解,则1至m-1的分解中,累加的奇数一定不能超过30个,故可列出不等式,进行求解,由12(1)30m +++-<且12(1)30m m +++-+≥,解得8m =. 5. 【答案】125【解析】由题意可知,43252729=++,45121123125127129=++++,所以54的分解式中的第三个数为125.6. 【答案】122n +-【解析】曲线1(1)n n n y x x x x +=-=-,曲线导数为1'(1)n ny nx n x -=-+,所以切线效率为112(1)2(2)2n n n k n n n --=-+=-+,切点为(2,2)n -,所以切线方程为12(2)2(2)n n y n x -+=-+-,令0x =得,2(2)2n n y n +=+,即(1)2ny n =+,所以(1)2n n a n =+,所以21n n a n =+,是以2为首项,2q =为公比的等比数列,所以12(12)2212n n n S +-==--. 7. 【答案】223n n -+ 每行的第二个数构成一个数列{}n a ,由题意知23453,6,11,18a a a a ====,所以3243543,5,7,a a a a a a -=-=-=12(1)123n n a a n n --=--=-,等式两边同时相加得22[233](2)22n n n a a n n -+⨯--==-,所以()222223,2n a n n a n n n =-+=-+≥.8. 解析:2122()(())(21)2x f x f f x x ==-+,3233()(())(21)2xf x f f x x ==-+, 4344()(())(21)2x f x f f x x ==-+,以此类推可得1()(())(21)2n n n n xf x f f x x -==-+. 答案应填:(21)2n nxx -+ 三、解答题 9.10.解析:(Ⅰ)由题意可知1232,6,18a a a ===,公比32123a a q a a ===, 通项公式为123n n a -=⋅;(Ⅱ)()1111ln 23(1)ln 2323(1)[ln 2(1)ln3]nn n n n n n n n b a a n ---=+-=⋅+-⋅=⋅+-+-当2(*)n k k =∈N 时,122n k S b b b =+++212(133)[1(23)((22)(21))]ln 3k k k -=+++++-+++--+-2132ln 331ln 3132k n n k -=+=-+-当21(*)n k k =-∈N 时1221n k S b b b -=+++222(133)[(12)((23)(22))]ln 3ln 2k k k -=++++-++----21132(1)ln 3ln 213k k --=----(1)31ln 3ln 22n n -=---故31ln 3,2(1)31ln 3ln 22nn n n n S n n ⎧-+⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数；，为奇数.另解:令11(1)ln 23nnn n T -=-⋅∑,即11(1)ln 2(1)(1)ln 3nnnn n T n =-+--∑∑223[1(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln 3n n n T n =-+-++-+-⋅+-⋅++-⋅-231341[(1)(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln 3n n n T n ++-=-+-++-+-⋅+-⋅++-⋅-则12312[1(1)]ln 2[(1)(1)(1)(1)(1)]ln 3n n n n T n ++=---+-+-++----211111(1)(1)[1(1)]ln 2[(1)(1)]ln 3222n n n n T n +++---=---+---12111[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n T n ++=---+----故1122(133)n n n n S b b b T -=+++=++++1211131[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n n ++=-+---+----.11. (1)∵函数f (x )=a x的图象过点(1,12),∴a =12,f (x )=(12)x .又点(n -1,a n n 2)(n ∈N *)在函数f (x )=a x 的图象上,从而a nn 2=12n －1,即a n =n 22n －1.(2)证明:由b n =n ＋122n-n 22n =2n ＋12n 得, (3)S n =32+522++2n ＋12n ,则12S n =322+523++2n －12n +2n ＋12n ＋1, 两式相减得:12S n =32+2(122+123++12n )-2n ＋12n ＋1,11212211])21(1[4122321+-+---+=n n n n s∴S n =5-2n ＋52n ,0252>+nn∴S n <5 12.13.解:(Ⅰ){}n b 为等差数列,设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+==1(1)1.n b n n ∴=+-⨯=设从第3行起,每行的公比都是q ,且0q >,2294,416,2,a b q q q === 1+2+3++9=45,故50a 是数阵中第10行第5个数, 而445010102160.a b q ==⨯=(Ⅱ)12n S =++(1),2n n n++= 1211n n n T S S ++∴=++21n S +22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++11)221n n +-+1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++令2()(1)(1)(21)xf x x x x ,22224()(1)(21)x f x x x , 当1x 时()0,()1,f x f x 在上为减函数, n T 为递减数列,n T 的最大值为113T 不等式变为2230t mt 恒成立,设2()23,[1,1],g m tmt m则22(1)0230,(1)0230g t t g t t 即,解得33t t 或14.解:(Ⅰ)()1f x x'=,∴曲线C 在点()(),n n n A a f a 处的切线方程:()1ln n n ny a x a a -=- 令0ln 1n x y a =⇒=-,该切线与y 轴交于点()0,n n B b ,ln 1n n b a ∴=-15.16. 【解析】(1)由题意得1247332411=++=a , 当2≥n 时,1--=n n n S S a ---++=22)1(4133241n n n 12523)1(32+=--n n ,又1247121112521=/=+,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+==.2,1252,1,1247n n n a n 设等差数列}{log 3n b 的公差为d .由31=b ,273=b ,可得27log 3log )3(log 2333+=+d ,解得1=d . 所以+=3log log 33n b n n =⨯-1)1(,所以nn b 3=.(2)由(1)得,当1=n 时,2712511=-=a c ,当2≥n 时,=n c 2n ,所以当1=n 时,221273111=⨯==c b T ;当2≥n 时,n n n c b c b c b c b T ++++= 3322112323322327332n n ⨯++⨯+⨯+⨯=)33323(2122132n n ⨯++⨯+⨯+= .记n Q nn ⨯++⨯+⨯=3332332 , ①n n Q n n n ⨯+-⨯++⨯+⨯=+1433)1(333233 ,②①-②得n Q n nn ⨯-+++⨯=-+132333232 --⨯+=-2)13(27182n n n ⨯+13,故234273911nQ n n n ⨯+---=++, 则)2342739(2122111n T n n n ⨯+---⨯+=++)2(8753)12(1≥+⨯-=+n n n . 因为221875312=+⨯,所以=n T 8753)12(1+⨯-+n n . 17.解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d =因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===-*()n N ∈ 所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯,则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n nn R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414n nn -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-18.解:2)1(3n n d -+= ,∴1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+3232nn ⨯==又由题知:令1m = ,则22212b b ==,33312b b ==12n n n b b ==若2n n b =,则2m nm n b =,2n mn m b =,所以m n n m b b =恒成立 若2n n b ≠,当1m =,m n n mb b =不成立,所以2n n b =(Ⅱ)由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是12b =,24b =公比均是,8201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ 1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=-- 19.20.所以数列{}n a 是以12a =为首项,公比为4的等比数列21. (本小题满分12分)解: (Ⅰ)40,103221=+=+c c c c ,所以公比4=q10411=+c c 得21=c 121242--=⋅=n n n c所以212log 221n n a n -==- 21()[1(21)]22n n n a a n n S n ++-=== (Ⅱ)由(Ⅰ)知211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭ 于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦假设存在正整数(),1m k m k <<,使得1,,m k T T T 成等比数列,则2121321m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭, 可得2232410m m k m-++=>, 所以22410m m -++> 从而有,661122m -<<+由,1m N m *∈>,得2m = 此时12k =.当且仅当2m =,12k =时,1,,m k T T T 成等比数列22.23.24.解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r=+,当1n =时,11a S b r==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=则1212n n b n b n ++=,所以121211135721 (246)2n n b b b n b b b n++++=⋅⋅ 下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (1246)2n n b b b n n b b b n++++=⋅⋅>+成立. ① 当1n =时,左边=32,右边=2,因为322>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721 (1246)2k k b b b k k b b b k++++=⋅⋅>+成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246)222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++所以当1n k =+时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.25.解:(Ⅰ)由113,3,nn n a a a p +==+⋅得22333,9312.a p a a p p =+=+=+ ∵123,6,a a a +成等差数列, ∴1322(6),a a a +=+即33122(336),p p ++=++得 2.p =依题意知,123,n n n a a +=+⨯ 当2n ≥时,12123,a a -=⨯23223,a a -=⨯1123.n n n a a ---=⨯相加得12112(333),n n a a --=+++…∴113(13)233,13n n n a a -⨯--=⨯=--∴3(2).n n a n =≥ 又13a =适合上式,故3.n n a =(Ⅱ)证明:∵3,nn a =∴2.3n n n b =∵222*111(1)221().333n n n n n n n n n b b n ++++-++-=-=∈N 若22210,n n -++＜则n即当2n ≥时,有1.n n b b +＜又因为1214,,39b b ==故4.9n b ≤(Ⅱ)法二:要证24,39n n n b =≤只要证2439n n ⨯≥.下面用数学归纳法证明:①当1n =时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当2n =时,左边=36,右边=36,不等式成立.②假设当*(2)n k k k =∈N 且≥时,2439k k ⨯≥成立. 则当1n k =+时,左边=4×3k +1=3×4×3k≥3×9k 2,要证3×9k 2≥9(k +1)2,只要正3k 2≥(k +1)2,即证2k 2-2k -1≥0.而当k 即*k ∈N 且2k ≥时,上述不等式成立. 由①②可知,对任意*n ∈N ,所证不等式成立. 26. (Ⅰ)当1n =时,11,a S a b c ==++当2n ≥时,12,n n n a S S an b a -=-=+-又1a 适合上式,得2,a b a a b c +-=++ ∴0c =. 由已知2437,5,2ba ab a a b a=+-=+=--= 解方程组37,52+=-⎧⎪⎨-=⎪⎩a b b a得1,10,a b =⎧⎨=-⎩∴211n a n =-.(Ⅱ)2112n nn b -=, ∴297211222n nn T ---=++⋅⋅⋅+ ① 21192132112222+---=+⋅⋅⋅++n n n n n T ② ①-②得211922211 (22222)n n n n T +-=-+++-1111(1)92112212212n n n -+--=-+--1171211222n n n -+-=---,∴2772n nn T -=--. 则192T =-,2979222T =---＜,397592222T =----＜,当4n ≥时,270,2n n -＞ ∴2797722nn n T -=----＜＜, 综上,得92n T -≤.27.解析:(Ⅰ)由题意可知23480()33r l r l r πππ+=≥2,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤.容器的建造费用为2228042346()433y rl r c r r r c r ππππ=⨯+⨯=-+,即2216084y r r c rπππ=-+,定义域为{02}r r <≤.(Ⅱ)2160168y r rc rπππ'=--+,令0y '=,得r =令2,r ==即 4.5c =, (1)当3 4.5c <≤时2,当02r <≤,0y '<,函数y 为减函数,当2r =时y 有最小值; (2)当 4.5c >时2,当0r <<0y '<;当r >0y '>,此时当r =y 有最小值. 28.。
【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《数列的综合应用》Word版含解析
数列的综合应用一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·聊城模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8＝( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)162.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km ，此后每秒钟通过的路程增加2 km ，若从这一秒钟起通过240 km 的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )(A)10秒钟 (B)13秒钟 (C)15秒钟 (D)20秒钟3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P(n ，a n )和Q(n ＋2，a n ＋2)(n∈N ＋)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )(A)(2,4)(B)(－13，－43) (C)(－12，－1) (D)(－1，－1)4.(2012·德州模拟)已知命题p ：数列log 3n ，log 3(n ＋1)，log 3(n ＋3)(n∈N ＋)成等差数列；命题q ：数列(13)n ，33n ，3n (n∈N ＋)成等比数列.命题p 是命题q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1>b 1，a 1、b 1∈N ＋(n∈N ＋)，则数列{ }的前10项的和等于( )(A)65 (B)75 (C)85 (D)956. (2012·合肥模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＜0的n 的最小值为( )(A)11 (B)19 (C)20 (D)21二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·临沂模拟)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝，则{b n }的通项公式为 .8.设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n∈N ＋)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”.若数列{}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n } (填“是”或“不是”)“和等比数列”.9.(易错题)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·潍坊模拟)已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列.(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.11.已知等差数列{a n }满足：a n ＋1＞a n (n∈N ＋)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1, 1,3后顺次成为等比数列{b n }的前三项.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式a n ，b n .(2)设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n (n∈N ＋)，若T n ＋2n ＋32n －1n＜c(c∈Z)恒成立，求c 的最小值. 【探究创新】(16分)设数列{a n }(n ＝1,2，…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a 1＝4，d ＝2，求证：该数列是“封闭数列”.(2)若a n ＝2n －7(n∈N ＋)，试判断数列{a n }是否是“封闭数列”，为什么？(3)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d ＝1，a 1＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使137150＜1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＜119.若存在，求{a n }的通项公式；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选D.∵数列{a n }是等差数列，∴a 3＋a 11＝2a 7，由2a 3－a 27＋2a 11＝0，得4a 7－a 27＝0，又a n ≠0，∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝42＝16.2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x 秒钟，通过240 km 的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x ＋x(x －1)2×2＝240， 即x 2＋x －240＝0.解得x ＝15或x ＝－16(舍去).3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量与选项对比即可.【解析】选B.由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有(－13，－43)与(1,4)平行，故选B.4.【解析】选C.一方面由数列log 3n ，log 3(n ＋1)，log 3(n ＋3)(n ∈N ＋)成等差数列，可得n ＝1，则数列(13)n ，33n ，3n 显然成等比数列；另一方面，由数列(13)n ，33n ，3n (n ∈N ＋)成等比数列，可得n ＝1，则数列log 3n ，log 3(n ＋1)，log 3(n ＋3)显然成等差数列.故选C.5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1，∴＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，∴数列{}也是等差数列，且前10项和为10×(4＋13)2＝85. 【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.(1)由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式a n ＋1＝2a n ＋3·2n ＋1的特点是除以2n ＋1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{a n 2n }. (2)由前n 项和S n 构造等差数列.(3)由并项、拆项构造等差数列.6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“a 11a 10＜－1”及“S n 有最大值”如何使用，从而列出关于a 1，d 的不等式组，求出a 1d的取值范围，进而求出使得S n ＜0的n 的最小值. 【解析】选C.由题意知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，a 10＋a 11＜0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＞0a 1＋10d ＜02a 1＋19d ＜0d ＜0得－192＜a 1d＜－9. ∵S n ＝na 1＋n(n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ， 由S n ＝0得n ＝0或n ＝1－2a 1d. ∵19＜1－2a 1d＜20， ∴S n ＜0的解集为{n ∈N ＋|n ＞1－2a 1d}， 故使得S n ＜0的n 的最小值为20.7.【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝3a 1＋4d ＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＋1＝＝2b n －1，∴b n ＋1－1＝2(b n －1)，∴b n ＋1－1b n －1＝2，又∵b 1＝3，∴b 1－1＝2， ∴b n －1＝2·2n －1＝2n， ∴b n ＝2n ＋1. 答案：b n ＝2n ＋18.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列{}是首项为2，公比为4的等比数列，所以＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2n T n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”. 答案：是9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1， 则a 1＝2，a n －a n －1＝(12S n ＋1)－(12S n －1＋1)＝12(S n －S n －1)＝12a n ， 即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2 046. 答案：2 04610.【解析】 (1)由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12. (2)若q ＝1，则S n ＝2n ＋n(n －1)2·1＝n 2＋3n 2. 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝(n －1)(n ＋2)2＞0. 故S n ＞b n .若q ＝－12，则S n ＝2n ＋n(n －1)2 (－12)＝－n 2＋9n 4当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝－(n －1)(n －10)4， 故对于n ∈N ＋，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n .11.【解析】(1)设d 、q 分别为数列{a n }、数列{b n }的公差与公比.由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1,1,3后得2,2＋d,4＋2d 是等比数列{b n }的前三项，∴(2＋d)2＝2(4＋2d)⇒d ＝±2.∵a n ＋1＞a n ，∴d ＞0.∴d ＝2，∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋).由此可得b 1＝2，b 2＝4，q ＝2，∴b n ＝2n (n ∈N ＋).(2)T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ① 当n ＝1时，T 1＝12；当n ≥2时，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1② ①－②，得12T n ＝12＋2×(122＋123＋…＋12n )－2n －12n ＋1.∴T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . ∴T n ＋2n ＋32n －1n ＝3－1n＜3. ∵(3－1n)∈[2,3)， ∴满足条件T n ＋2n ＋32n －1n＜c(c ∈Z)恒成立的c 的最小整数值为3. 【探究创新】【解析】(1)a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2，对任意的m ，n ∈N ＋，有a m ＋a n ＝(2m ＋2)＋(2n ＋2)＝2(m ＋n ＋1)＋2，∵m ＋n ＋1∈N ＋于是，令p ＝m ＋n ＋1，则有a p ＝2p ＋2∈{a n }.(2)∵a 1＝－5，a 2＝－3，∴a 1＋a 2＝－8，令a n ＝a 1＋a 2＝－8，即2n －7＝－8解得n ＝－12N ＋，所以数列{a n }不是封闭数列.(3)由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ＋，必存在p ∈N ＋使a 1＋(n －1)＋a 1＋(m －1)＝a 1＋(p －1)成立，于是有a 1＝p －m －n ＋1为整数，又∵a 1＞0，∴a 1是正整数.若a 1＝1，则S n ＝n(n ＋1)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝2(1－12 012)＞119，不符合题意， 若a 1＝2，则S n ＝n(n ＋3)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝23(1＋12＋13－12 012－12 013－12 014) ＝119－23×(12 012＋12 013＋12 014)＜119，而119－23×(12 012＋12 013＋12 014)＞119－23×32 012＝119－11 006＞137150，所以符合题意， 若a 1＝3，则S n ＝n(n ＋5)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝25(1＋12＋13＋14＋15－12 012－12 013－12 014－12 015－12 016) ＝137150－25(12 012＋12 013＋12 014＋12 015＋12 016)＜137150， 综上所述，a 1＝2时存在数列{a n }是“封闭数列”，此时a n ＝n ＋1(n ∈N ＋).。
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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编30：排列、组合一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理 （ ）A ．）某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天,“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是 （ ）A ．48B ．24C ．36D ．64【答案】C【解析】将“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动可做一个整体有424248A A =种排法.当“民俗调查”排在周一时有323212A A =种,所以满足条件的不同安排方法有481236-=种,选 C ．2 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有 （ ）A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】若前一个开关只接通一个,则后一个有7332313=++C C C ,此时有1472=⨯种,若前一个开关接通两一个,则后一个有7332313=++C C C ,所以总共有21714=+,选 C ．3 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）从0,1,2,3,4,5,六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位奇数,有多少种取法 （ ）A ．72B ．84C ．144D ．180【答案】B 若不选0,则有21332336C C A =,若选0,则有121122322248C C C C A =,所以共有483684+=种,所以选 B ．4 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）某单位安排2013年春节期间7天假期的值班情况,7个员工每人各值一天. 已知某员工甲必须排在前两天,员工乙不能排在第一天,员工丙必须排在最后一天,则不同的值班顺序有 （ ）A ．120种B ．216种C ．720种D ．540种【答案】B5 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））某学习小组共有5位同学,毕业之前互赠一份纪念品,任意两位同学之间最多交换一次,已知这5位同学之间共进行了8次交换,其中一人收到2份纪念品,另外4位同学收到的纪念品的数量最少是m 个,最多是n 个,则m n += （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】 C ．6 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排成一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那么不同排法种数为 （ ）A ．360B ．520C ．600D ．720【答案】C 若甲乙只有一个参加,则有124254480C C A =.若甲、乙同时参加,则有222523120C A A =,所以共有600种排法,选 C ．7 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 （ ）A ．24种B ．18种C ．48种D ．36种【答案】A【解析】若大一的孪生姐妹乘坐甲车,则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级,有21132212C C C =种,若大一的孪生姐妹不乘坐甲车,则2名同学来自一个年级,另外2名分别来自两个年级.有11132212C C C =,所以共有24种乘车方式,选A ．8 ．（2013山东高考数学（理））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B 【解析】有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=.没有重复数字的三位数有1299648C A =,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252-,选 B ．9 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有 （ ）A ．12B ．18C ．24D ．48【答案】C 【解析】分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A ,有22A 种方法;A 与戊机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有23A 种方法;考虑A 与戊机的排法有22A 种方法.由乘法原理可知共有22A 23A 22A 24=种不同的着舰方法.故应选 C ．10．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有 （ ）A ．280种B ．240种C ．180种D ．96种【答案】B11．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）2013年中俄联合军演在中国青岛海域举行,在某一项演练中,中方参加演习的有5艘军舰,4架飞机;俄方有3艘军舰,6架飞机. 若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或一艘军舰都作为一个单位,所有的军舰两两不同,所有的飞机两两不同),且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 （ ）A ．51种B ．224种C ．240种D ．336种【答案】C12．（2012年山东理）(11)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 （ ）A ．232B ．252C ．472D ．484【答案】解析:472885607216614151641122434316=-=--⨯⨯=--C C C C ,答案应选 C ． 另解:472122642202111241261011123212143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=+-C C C C C . 13．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）市内某公共汽车站6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 （ ）A ．48B ．54C ．72D ．84【答案】C 根据题意,先把3名乘客进行全排列,有336A =种排法,排好后,有4个空位,再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空位中,有2412A =种排法,则共有61272⨯=种候车方式,选 C ．14．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）把5张座位编号为1,2,3,4,5的电影票发给3个人,每人至少1张,最多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 （ ）A ．360B ．60C ．54D ．18【答案】D【 解析】5张电影票分3份,两张连续,则有1-23-45;12-3-45;12-34-5三种分发,然后发给三个人,有336A =种,所以不同的分法有6318⨯=.15．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课,要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课,则这天课表的不同排法种数为 （ ）A ．600B ．288C ．480D ．504【答案】D16．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 （ ）A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个【答案】B17．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）2013年第12届全国运动会将在沈阳举行,某校4名大学生申请当A,B,C 三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A 比赛项目,则不同的安排方案共有 （ ）A ．20种B ．24种C ．30种D ．36种【答案】B 若甲单独一组,则有12223212C C A =种.若甲不单独一组,则11232212C C A =,所以不同的安排方案共有24种,选B ．18．（2010年高考（山东理））某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （ ）A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种【答案】B解析:分两类:第一类:甲排在第一位,共有4424A =种排法;第二类:甲排在第二位,共有133318A A =种排法,所以共有编排方案241842+=种,故选 B ．命题意图:本题考查排列组合的基础知识,考查分类与分步计数原理.二、填空题19．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为______________.【答案】3220．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）两个正整数的公因数只有1的两个数,叫做互质数,例如:2与7互质,3与4互质,在2,3,4,5,6,7的任一排列中使相邻两数都互质的不同排列方式共有_______种(用数字作答P).【答案】72要使任一排列中使相邻两数都互质,则6放在5,7之间,或把6放在边上与5,7相邻.先排3,5,7.若6放在5,7之间,则3567∆∆∆或5673∆∆∆,此时空中放2,4,此时有2223224A A =.若6放在边上,则3576∆∆∆或6735∆∆∆,此时5,7或3,5可交换位置,所以有122223248A A A =种,所以共有4824=72+种.。