《斐波那契数列》
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列》优质课教案_0
随风潜人夜,润物细无声《神奇的斐波那契数列》教学设计《普通高中数学课程标准(实验)》在前言中指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。
数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。
数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。
在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。
数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。
《普通高中数学课程标准(实验)》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一并在教学建议中明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野。
长期以来，在高考这根指挥棒下，学习逐渐服从于知识，服从于做题，服从于高考。
在数学教学上，老师教的许多内容既枯燥又抽象．大多数教师以做题为主要教学方法，以解题为主要目的，不关注数学问题的文化性; 学生在单一的数字、定义、定理、公理、公式的围攻下，对单纯的数学问题感到枯燥，厌倦，对数学的兴趣逐渐淡薄，认为数学毫无用处，数学问题被当成了获取分数的工具．因此如何将数学文化的内容有机地结合到日常的教学中,使学生在潜移默化中体会到数学的文化价值?这需要我们每位教师认真思考这个问题一、教材分析：本节课选自人教版《数学５》（必修）第二章《数列》第2.1节后的《阅读与思考》部分。
初中数学专题讲解2《中考试题中的数学文化》
1
13
13
小正方形内的概率为 ,故答案为 .
答案
第
27
页
【文化背景】——海岛算经
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰,本为《九
章算术注》之第十卷,题为《重差》.全书共9题,所有问题都是利
用两次或多次测望所得的数据,来推算可望而不可及的目标的高、
深、广、远,因首题测算海岛的高、远而得名.此卷书被收集于明
在《方程》一章中,不仅阐发和增补了方程诸术,并且为这一理论
奠定了基础.盈不足术通过两次“假设检验”将一般数学问题化
为特定的盈亏类问题模式,而“方程”也是按照一定的规程进行
试验考核而得到的数学模式.
第
6
页
【对接考题】
3.(2019 大同二模)《九章算术》是中国传统数学最
重要的著作之一,其中记载:“今有共买物人出八,盈
2
2
) ].现已知△ABC 的三边长分别为
1,2, 5,则△ABC 的面积为
1
.
答案
第
24
页
【文化背景】——赵爽弦图
勾股定理是刻画直角三角形特征的一条重要定理,它的发现、验证、
应用蕴含着丰富的文化价值.中国古代的数学家们不仅很早就发
现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理进行了证明.最早
对勾股定理进行证明的是汉代数学家赵爽,他以“弦图”为基本
算术》(1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律.
杨辉三角
第
16
页
【对接考题】
8.我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图,图一是“杨
辉三角”数阵,其规律是从第三行起,每行两端的数都是“1”,其
斐波列切数列
斐波列切数列斐波那契数列是一组非常有趣且具有深远意义的数列。
它以斐波那契的名字命名，他是13世纪的一位意大利数学家，在研究兔子繁殖问题时首次提出了这个数列。
斐波那契数列的特点是每个数字都是前两个数字的和，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...，以此类推。
斐波那契数列在数学领域有着广泛的应用。
首先，它展示了自然界中一些现象的规律性。
例如，植物的分枝、叶子的排列、花瓣的生长等都符合斐波那契数列。
这种规律性反映了一种自然界中的美学和完美的设计，使我们对自然界的奥秘和智慧产生了浓厚的兴趣。
斐波那契数列还在金融领域有着广泛的应用。
它可以用来描述金融市场中的一些现象，例如股票价格的波动、汇率的变动等。
斐波那契数列可以帮助分析市场趋势和预测未来的价格走势，对投资者和金融从业者具有指导意义。
同时，斐波那契数列也被应用在金融工具的设计中，例如黄金分割比例被广泛应用于建筑和艺术设计中。
除了数学和金融领域，斐波那契数列还在计算机科学中有着重要的应用。
斐波那契数列是许多算法和数据结构的基础，例如斐波那契堆、斐波那契搜索和斐波那契编码等。
这些算法和数据结构在计算机科学中广泛应用于图像处理、数据压缩、网络传输等领域，对计算机的性能和效率有着重要影响。
斐波那契数列还具有一些神奇的性质和特点。
例如，斐波那契数列的比值趋近于黄金分割比例1.618，这在艺术和设计中被认为是最美的比例。
斐波那契数列还具有自相似性质，即它的部分序列也是斐波那契数列。
这种自相似性质使得斐波那契数列成为一种无限延伸且具有无穷奥秘的数学结构。
斐波那契数列不仅仅是一组数字的排列，它代表着一种规律和秩序，反映了自然界和人类创造力的美妙之处。
它的应用领域广泛，从自然科学到社会科学，从艺术到经济，无一不受到它的影响和启发。
通过研究和理解斐波那契数列，我们可以更好地认识和欣赏这个世界的复杂性和多样性。
总结起来，斐波那契数列是一组具有深远意义和广泛应用的数列。
斐波那契与《算盘书》
制作人： 绪绍玲 1020510127
10级数转本2班
16.2斐波那契与《算盘书》
一、“生兔子问题”——斐波那契数列的由
来 斐波那契（Fibonacci,约1170~约1250），13世纪意大
利著名的数学家，生于比萨，早年随父亲经商，到北非 的布日伊（Bougie）受教育，从一位阿拉伯教师学习计 算，掌握了印度数码这一新的技术体系，后游历到埃及、 叙利亚、希腊、西西里、法国等地，掌握了不同国家和 地区的商业算数体系。1200年左右回比萨，潜心研究， 于1202年写成名著《算盘书》。斐波那契被誉为点燃西 方文艺复兴之火的第一个伟大的数学家，使西方数学开 始进入一个新时期。除了《算盘书》外，他的其他著作 还有《实用几何》（1220）、《平方数书》（1225）， 前者以欧几里得式的严谨和某种独创性熟练地处理了大 量的几何学和三角学的问题；后者专论二次丢番图方程， 也包括个别三次方程的求解，是当时数论的名作。
在解微分方程中也会类似地利用上述介绍的求解递推方程的方法。鲁卡 斯还把斐波那契数列用于研究素数的分布，得到一些有价值的结果。
由于斐波那契数列是一个十分奇特的数列，在18世纪创立的循环数理 论中，斐波那契数列数列成了主要的内容。1963年成立了斐波那契协 会，美国专门出版了一份季刊《斐波那契季刊》，专门登载有关这个 数列性质的最新发展，尽管斐波那契数列的通项公式和关于斐波那契 数列的一系列成果是后人得到的，但我们应该承认，这些数学成果都 起因于斐波那契数列在《算盘书》中的“生兔子问题”。 我们见过的：
5 1 2
0.618
事实上 ，
5 1 2
1 1 1 1 1
它的渐进分为
1 1 2 3 5 8 , , , , , , 1 2 3 5 8 13
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
《斐波那契螺旋线》课件
适用于Mac系统的矢量绘图软件，也支持绘制斐波那契螺旋线。
Inkscape
免费的开源矢量图形软件，同样可以绘制出精美的斐波那契螺旋 线。
手绘方法与技巧
准备工具
准备一张纸、一支铅笔、一把 尺子和圆规等基本绘画工具。
绘制基础图形
先在纸上绘制一个圆形或椭圆 形作为基础图形。
开始绘制
从圆心开始，按照斐波那契数 列的规律向外绘制线段，每条 线段长度依次为前两条线段之 和。
《斐波那契螺旋线》ppt课件
目 录
• 斐波那契螺旋线的简介 • 斐波那契螺旋线的数学原理 • 如何绘制斐波那契螺旋线 • 斐波那契螺旋线的艺术创作 • 斐波那契螺旋线在自然界中的表现 • 斐波那契螺旋线的科学意义与价值
01
斐波那契螺旋线的简介
定义与特性
定义
斐波那契螺旋线是一种按照斐波那契 数列规律生成的螺旋线，其特点是相 邻两个线段之间的长度比等于前两个 相邻线段长度之和。
这种关系使得斐波那契螺旋线在视觉 上具有美感，被广泛应用于艺术、建 筑和设计等领域。
斐波那契数列中的数字与黄金分割密 切相关，例如，前两个数字的比值接 近于黄金分割，后续的数字的比值也 呈现类似的规律。
生成斐波那契螺旋线的数学公式
斐波那契螺旋线是一种几何图形 ，它由连续的曲线组成，这些曲 线按照斐波那契数列的规律排列
04
斐波那契螺旋线的艺术创作
绘画中的应用
抽象画
斐波那契螺旋线在抽象画中常常被用来表现自然生长的规律和节奏，如花、草、 树木等。
具象画
在具象画中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的纹理和图案，如动物的毛发、 植物的叶片等。
雕塑中的应用
浮雕
在浮雕中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的形态和动态 ，如动物的姿态、植物的形态等。
晋江二中高二年段研究性课题《斐波那契数列》
晋江二中高二年段研究性课题《斐波那契数列》1．斐波那契数列定义：斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
2.斐波那契数列由来：斐波那契数列，也叫兔子数列，黄金分割数列，它的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123.身边的斐波那契数列（1）数学中的斐波那契数列【杨辉三角】将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……【台阶】有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
《斐波那契螺旋线》课件
01
斐波那契螺旋线在 艺术与设计中的应
用
艺术作品中的斐波那契螺旋线
总结词
斐波那契螺旋线在艺术作品中常被用来表达自然美和和谐。
详细描述
许多艺术家在创作中运用斐波那契螺旋线来表现自然生长的规律和美感，如自然界中的花朵、树木等。这种螺旋 线能够给人带来视觉上的舒适和和谐感，使作品更具艺术感染力。
设计作品中的斐波那契螺旋线
《斐波那契螺旋线》 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 斐波那契螺旋线的定义与特性 • 斐波那契螺旋线的几何形状与生成
原理 • 斐波那契螺旋线的数学模型与公式 • 斐波那契螺旋线的计算机模拟与可
视化
目录CONTENTS
• 斐波那契螺旋线在艺术与设计中的 应用
• 斐波那契螺旋线的未来发展与展望
01
斐波那契螺旋线的 定义与特性
定义
斐波那契螺旋线
又称黄金螺旋，是一种特殊的几 何图形，其形状由斐波那契数列 决定。
斐波那契数列
是一个著名的数列，由0和1开始 ，之后的每一个数字都是前两个 数字的和。
特性
黄金分割
斐波那契螺旋线在几何形状上符 合黄金分割原则，即较长线段与 较短线段之比等于整体与较长线
颜色映射
通过颜色映射技术，将不同的数值或 参数以不同的颜色表示，使得图形更 加直观易懂。
结果展示
动态展示
通过动态展示技术，将斐波那契螺旋线的生成过程以动画的形式呈现出来，让用户更加清晰地理解其 生成原理和形态变化。
对比分析
将不同参数下的模拟结果进行对比分析，帮助用户更好地理解斐波那契螺旋线的特性和变化规律。
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斐波那契数列
1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
十秒钟加数
请用十秒，计算出 左边一列数的和。
时间到！
答案是 231。
2
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
十秒钟加数
再来一次！
时间到！
答案是 6710。
3
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项 起，每一项是其前两项之和，则称该数 列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
4
兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题 1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
(L.Fibonacci,1170-1250）
所以右式的答案是： 21 11 = 231
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
21
“十秒钟加数”的秘密
34 55
又例如：
89
144
右式的答案是：
233
377
610 11 = 6710
610
987
1597
+ 2584
????
22
解答
11
1月 1对 2月 1对
解答
12
1月 1对 2月 1对 3月 2对
解答
13
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对
解答
14
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
15
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
16
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
6
斐波那契的才能受到弗里德里希二世 的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞 赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。
他的最重要的成果在不定分析和数论 方面，除了《算盘书》外，保存下来的还 有《实用几何》等四部著作。
7
六、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且 在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
个月时，共有多少对兔子？
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。
19
用斐波那契数列及其推广变魔术
8
有人比喻说，“有关斐波那契数 列的论文，甚至比斐波那契的兔子 增长得还快”，以致1963年成立了 斐波那契协会，还出版了《斐波那 契季刊》。
9
兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子， 那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会 有多少对兔子呢？
101月 1对17 Nhomakorabea解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
7月 8月 9月 10月 11月 12月 13 21 34 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列， 即“斐波那契数列”
18
规律
兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二
让观众从你写出的斐波那
1
契数列中任意选定连续的
1
十个数，你能很快说出这
2
些数的和。
3
5
其实有公式：这个
8
和，就是所选出的十个 13
数中第七个数的11倍。 21
34
55 89 144 233 377 610 987 …
20
“十秒钟加数”的秘密
数学家发现：连续 10个斐波 那契数之和，必定等于第 7个 数的 11 倍！
5
2． 斐波那契生平 斐波那契 （Fibonacci.L,1175—1250）
出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很 有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、 希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触 到东方国家的数学。斐波那契确信印度—阿拉伯 计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家 里不久，他发表了著名的《算盘书》。