2021学年高二数学必修五第01章 解三角形(B卷提升篇)人教A浙江(原卷版)
【新学案】高二数学人教A版必修5(浙江专用)课件第一章 解三角形 本章整合
������2 = ������2 + ������ 2 -2bc������������������A,������2 = ������ 2 + ������2 -2ac������������������B,������ 2 = ������2 + ������2 -2ab������������������C 余弦定理 ������������������A =
应用 1 如图,已知在四边形 ABCD 中,AD ⊥CD,AD=10,AB=14,∠ BDA=60° ,∠BCD=135 ° ,求 BC 的长.
专题一
专题二
专题三
提示:本题中的图形是由两个三角形组成的四边形,在 △ABD 中,已知 两边和一边的对角,用正弦定理可求出另一边的对角,但得不到其与△BCD 的关系,可再考虑用余弦定理求出 BD,其恰是两个三角形的公共边,这样可 在△BCD 中应用正弦定理求 BC 的长.
专题一
专题二
专题三
提示:借助于正弦定理转化为讨论 A+B 的范围. 解析: ∵ cos A=sin
������ -A 2 ������ 2
,∴ sin
������ -A 2 ������ 2
>sin B.
又 A,B 均为锐角, ∴ -A 为锐角,∴ -A>B. ∴ A+B< ,又 A+B+C=π, ∴ C> ,∴ △ABC 是钝角三角形. 答案: C
������ 2
C 2
sin(A+B)=sin C,sin
2
③在△ABC 中,a +b <c ⇔cos C<0⇔ <C<π,a +b =c ⇔cos C=0⇔C= ,a2+b2>c2⇔cos C>0⇔0<C< .
高中数学必修5解三角形测试题及答案(K12教育文档)
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高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1．在ABC中，45,75AB A C==︒=︒，则BC= （ A )A．3．．2 D．32．下列关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是（ B ）A．在ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB．ABC⇔中,a=b sin2A=sin2BC．ABC a b+c中,=sinA sinB+sinCD．ABC中,正弦值较大的角所对的边也较大3．ABC中,若sin cos,A BBa b=∠则的值为 ( B )A．30︒ B．45︒ C．60︒ D．90︒4．ABC在中，若c=a b=cosA cosB cosC，则ABC是（ B ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形5．下列命题正确的是（ D ）A．当a=4,b=5，A=30︒时，三角形有一解。
B．当a=5,b=4,A=60︒时，三角形有两解。
C．当a=，B=120︒时，三角形有一解。
D．当a=A=60︒时,三角形有一解。
6．ΔABC中,a=1，b=3，∠A=30°，则∠B等于 ( B ）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°7．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ，c=3 B．a=1,b=2，∠A=30°C．a=1，b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°8．若（a+b+c ）（b+c －a ）=3abc,且sinA=2sinBcosC ， 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=3π,a=3，b=1,则c= （ B ）（A ）1 (B)2 (C) 3－1 (D) 310．（2009重庆理)设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量(3,sin )A B=m ,(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ C )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（D ） Ａ．2Ｃ．8Ｄ．712．如图：D ，C ，B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C ，D两点测得A 点仰角分别是β, α(α〈β）,则A 点离地面的高度AB 等于（ A ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题：(每小题5分,共20分）13．已知2sin a A =,则sin sin sin a b cA B C++=++_______2_______ 14．在ΔABC 中,若S ΔABC =41 （a 2+b 2－c 2)，那么角∠C=_4π_____.AD8π ．16．已知2,4,a b a b ==与的夹角为3π，以,ab 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 三、解答题：（17题10分，其余小题均为12分） 17．在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c，解三角形ABC 。
(2021年整理)高二数学必修5解三角形单元测试题及答案
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在△ABC 中，a ＝10，B=60°，C=45°，则c 等于 ( ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3102。
在△ABC 中c=3,B=300，则a 等于（ ） AB ．或 D ．2 3。
不解三角形，下列判断中正确的是( ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9,A=450有两解D ．a=9,c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9,且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ )A ．41-B ．41C ．32-D ．325. 在△ABC 中,A ＝60°,b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于（ )A ．33B ．3392C ．338D ．2396。
高中数学第一章解三角形训练卷(一)新人教A版必修5(2021年整理)
2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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解三角形(一）注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在ABC△中，若90C=︒，6a=,30B=︒，则c b-等于（ ) A．1 B．1-C．D．-2．在ABC△中，3AB=，2AC=，BC则BA·AC等于（）A．32-B．23-C．23D．323．在△ABC中,已知a，b=A＝30°，则c等于（）A．BC．D．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°,有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )2 / 1323 / 133A．2B．4C．8D．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边),则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c ==且A ＝75°，则b 等于（ ） A ．2 BC．4-D．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ，7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ )ABCD．9．在△ABC 中,AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4,则BC 等于( ） ABCD10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若()222tan ac b B +-=，则角B 的值为（ )A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为( ）A．33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B．36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭4 / 134C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为________．15．已知a ，b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ，C 所对的边．若a ＝1,3b =，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（10分）如图所示,我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间．5 / 13518．(12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =．（1）求2sin cos22B CA ++的值； (2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分）如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°,BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值; （2）求AE ．6 /13620．（12分）已知△ABC 的内角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，且a ＝2，3cos 5B ．（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4,求b ，c 的值．21．（12分）在△ABC中，a，b,c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝（2b＋c）sin B＋(2c＋b）sin C．（1）求A的大小；（2）若sin B＋sin C＝1,试判断△ABC的形状．7 / 1378 / 13822．(12分）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(),a b m =，()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ,边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．2018-2019学年必修五第一章训练卷解三角形(一)答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒,tan30b a =︒=，2c b ==c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ,∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c =故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B=︒，即只有一解； B 中,20sin 60sin 18C ︒==，且c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ==即有解,故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=∴32sinR θ===,R =故选C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c bA c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=, ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ．7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c ）(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ,在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==．在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ， 即22217424cos 42a a AMB =+-⨯⨯⋅∠ ① 在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC 即22216424cos 42a a AMB =++⨯⨯⋅∠ ② ①＋②得：22222176442a +=++,∴a B ． 10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b =,∴a cos B ＝b sin A , ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A ，2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ,∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=,即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ．12．【答案】D【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA AB C++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】014．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=,∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知,sin 1sin 2a B Ab ==．又a 〈b ．∴6A π=,2C π=．∴sin 1C =．16．【答案】332a ≤<【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩,解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：（14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =．答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】(1）5950；(2）a = 【解析】(1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =,∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=,∴a = 19．【答案】(1;（2）AE=【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒=（2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠, 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒ 20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =．【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B 〈π，∴4sin 5B =．由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△,∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =． 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝（2b ＋c )b ＋(2c ＋b ）c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=，即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°,则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ）11sin sin sin 22B B B B B =+-=＝sin （B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形． 22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】(1）证明 ∵m ∥n ,∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b （a －2）＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝（a ＋b ）2－3ab ，即(ab ）2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1）,∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。
高二数学人教A必修5练习：第一章 解三角形 Word版含解析.docx
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1B ．23＋1 C ．26D ．2＋2 3 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin45°＝b sin60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135°B ．60° C ．45°D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝2sin60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin150°1010＝102.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得 3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角a <b sin A a ＝b sin A b sin A<a <b a ≥b无解 一解(直角) 两解(一锐角， 一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C . 5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7 D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状． 解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A⇔4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin2A ＝sin2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45°B ．60°C ．75°D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin120°cos A －cos120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 解 cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A.3B ．3 C.5D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3B.π6 C.π4D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1B.2C ．2D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14B.34C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45°. 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12. 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB=53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C . 解（1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC =|BA |·|BC |·cosB=accosB=21. ∴ac=35，∵cosB=53，∴sinB=54. ∴S △ABC=21acsinB=21×35×54=14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ·BC =23得ca ·cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有一解时只有一解.两边和其中一边的对角如(a，b，A)余弦定理正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的()A．南偏西45°10′B．南偏西44°50′C．南偏东45°10′D．南偏东44°50′答案 C2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B解析∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴由余弦定理得AB＝3a.3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．103nmileB.1063nmileC．52nmileD．56nmile答案 D解析在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BCsin A＝ABsin B∴BCsin60°＝10sin45°解得BC＝5 6.4．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m答案 A解析由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(6＋2) 海里/小时B．20(6－2) 海里/小时C．20(6＋3) 海里/小时D．20(6－3) 海里/小时答案 B解析由题意，∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.由正弦定理得MNsin30°＝MSsin105°.∴MN＝MS sin30°sin105°＝106＋24＝10(6－2)．则v货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157小时 C ．21.5分钟D ．2.15分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100 ∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120m ，则河的宽度为______．答案 60m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin90°＝CD sin30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1km. 由正弦定理得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin60°·sin15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°， 解得CD ＝83≈14(nmile)．即A 处与D 处的距离为24nmile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14nmile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin30°＝CDsin45°，则BC ＝CD sin30°sin45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>βB ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．203m ，4033mB ．103m,203mC ．10(3－2) m,203m D.1523m ，2033m 答案 A解析 h 甲＝20tan60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为( )A ．30＋303mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△P AB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h . 5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进2003m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200mB ．300mC ．400mD ．1003m 答案 B解析 如图所示，600·sin2θ＝2003·sin4θ，∴cos2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003·sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16B ．17.5C ．18D ．18.53 答案 A解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α， 则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝t v ，AC ＝3t v ，B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B ，∴1sin ∠CAB ＝3sin120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a . 8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ·AC ·sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝82＋52－2×8×5×12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10nmile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9nmile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21nmile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β). 即山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2×4×6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3. 能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解 如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝30tan30°＝30 3.在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30，即两船相距30m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章解三角形复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135°B ．135° C ．45°D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk 3mk >m (k ＋1)，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin (α－β)B.a sin αsin βcos (α－β)C.a sin αcos βsin (α－β)D.a cos αcos βcos (α－β) 答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝h sin α， 在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin (α－β)＝ADsin β.∴a sin (α－β)＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin (α－β). 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25B ．51C ．493D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝552＋162－2×16×55×12＝2401.∴BC ＝49. 6．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ， sin C ＝23sin B ，则A 等于( ) A ．30°B ．60° C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得 c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b 243b 2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题7．三角形两条边长分别为3cm,5cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35，得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝____________.答案 2393解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos60° ＝13.∴a sin A ＝13sin60°＝2393. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 ______________． 答案 2<x <2 2解析 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 10．一艘船以20km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________km.答案 20 2解析 如图所示，BC sin45°＝ACsin30°∴BC ＝AC sin30°×sin45°＝2012×22。
高二数学必修5解三角形单元检测AB卷附答案
高二数学必修5第一章解三角形单元检测（A 卷）一、选择题：1．ΔABC 中, a = 1, b =3, ∠A=30°，则∠B 等于（ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120°2．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于( )A ．221B ．6C ．221或6D ．23615+3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．1834．在△ABC 中，A ∶B ∶C = 1∶2∶3，则a ∶ b ∶ c 等于（ ）A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2D ．2∶3∶15．△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，5,4a b ==，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC （ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ）A. 90°B. 120°C.135°D. 150°二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.7．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_______ __三角形。
8．在△ABC 中，B=1350，C=150，a = 5，则此三角形的最大边长为 .9．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是___ ___。
10．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共50分).11．（16分）已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．12．（16分）在∆ABC 中，设,2tan tan bb c B A -=，求A 的值。
2021学年高二数学必修五第01章 解三角形(A卷基础篇)人教A浙江(学生版)
9．（2020·安徽省六安中学高一期中（文））若 A, B 是 ABC 的内角，且 sin A sin B ，则 A 与 B 的关系
正确的是( )
A． A B
B． A B
AB
C．
2
D．无法确定
10．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末）已知 A ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为
a, b, c ，且满足 b2 c2 a2 bc ，则 A （ ）
2
A． 6
B． 3
C． 3
第Ⅱ卷（非选择题）
5 D． 6
二．填空题（共 7 小题，单空每小题 4 分，两空每小题 6 分，共 36 分）
11．（2019·广东省增城中学高二期中）在 A ABC 中，若 a : b : c 1:1: 3 ，则 C ______.
（1）A 卷注重基础，强调基础知识的识记和运用； （2）B 卷强调能力，注重解题能力的培养和提高； （3）单元测试 AB 卷，期中、期末测试。 构成立体网络，多层次多角度为考生提供检测，查缺补漏，便于 寻找知识盲点或误区，不断提升。 祝大家掌握更加牢靠的知识点，胸有成竹从容考试！
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高二同步·AB 双测基础提升卷
12．（2020·四川省南充市第一中学高二期中（文））设 A ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若
a 5, b 3, c 7 ，则 A ABC 的最大内角的值为__________．
13．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三其他（理））在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，
ABC
中，
A
3
,
BC
高中数学必修五解三角形测试题及答案
tan B b
A ．直角三角形
B ．等腰或直角三角形
C ．不能确定
二、填空题
D ．等腰三角形
1. 在△中，若 sin A sin B, 则 A 一定大于 B ，对吗？填（对或错）
2
2
2
2. 在△中，若 cos A cos B cos C 1, 则△的形状是。
3. 在△中，∠ C 是钝角，设 x sin C, y sin A sin B, z cos A cos B,
则 x, y, z 的大小关系是。
1
4. 在△中，若 a c 2b，则 cos A cos C cos A cosC
sin Asin C 。
3
2 5. 在△中，若 lg tan B lg tan A lg tan C, 则 B 的取值范围是。
2
6. 在△中，若 b
ac ，则 cos( A C)
cos B
）
A ． 30 0 或 60 0
B ． 45 0 或60 0
C． 120 0或 60 0
D． 30 0 或 150 0
6. 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（
）
0
A ． 90
0
0
0
B． 120
C． 135
D． 150
二、填空题
0
1. 在 Rt △中， C 90 ，则 sin Asin B 的最大值是。
（数学 5 必修）第一章：解三角形
[ 基础训练 A 组]
一、选择题
1. 在△中，若 C
0
90 , a
6, B
30 0 ，则 c b 等于（
）
A． 1 B． 1 C． 2 3 D． 2 3
(2021年整理)高中数学必修五解三角形测试题及答案
（完整）高中数学必修五解三角形测试题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高中数学必修五解三角形测试题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（数学5必修）第一章：解三角形［基础训练A 组］一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于( ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ) A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,200_________。
人教A版高中数学必修五浙江专用提升综合素养(一) 解三角形
提升综合素养（一） 解三角形1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212 C ．28D ．6 3解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S △ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝⎛⎭⎫32a 2－a 2a 2＝72.3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7. ∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45， 所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则A ＝________，c ＝________. 解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝c b cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2. 答案：60° 2 210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16， 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52. 11．(2019·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2的值． 解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即23＝(3c )2＋c 2－(2)22×3c ×c ，解得c 2＝13，所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B 2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0， 所以cos B ＝255.所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ＝255. 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.由Ruize收集整理。
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『高二教材·同步双测』
『A卷基础篇』
『B卷提升篇』
试题汇编前言：
本试题选于近一年的期中、期末、中考真题以及经典题型，精选精解精析，旨在抛砖引玉，举一反三，突出培养能力，体现研究性学习的新课改要求，实现学生巩固基础知识与提高解题能力的双基目的。
（1）A卷注重基础，强调基础知识的识记和运用；
（2）B卷强调能力，注重解题能力的培养和提高；
（3）单元测试AB卷，期中、期末测试。
构成立体网络，多层次多角度为考生提供检测，查缺补漏，便于寻找知识盲点或误区，不断提升。
祝大家掌握更加牢靠的知识点，胸有成竹从容考试！
专题1.1《第一章 解三角形》（B 卷提升篇）（浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =2
3
，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）
A B ．C ．D ．2．（2017·山东省高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
3．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =2
3
，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．
1
9
B ．
13
C ．1
2 D ．23
4．（2020·四川省开江中学高一月考）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3
A π
=
，
sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ）
A ．3+
B ．3+
C ．3+
D ．3+5．（2018·全国高考真题（理））ABC △的内角A B C ，
，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为222
4
a b c +-，则C =
A ．
π2
B ．
π3
C ．
π4
D ．
π6
6．（2020·安徽省高一月考（文））已知ABC 中，2AB =，4
B π
=，C 6
π
=
，AD 为BC 边的中线，P
为AD 的中点，则AP BC ⋅=（ ）. A ．0
B ．1
C ．3
D ．4
7．（2020·湖南省高三其他（文））设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，
2B A =，则b 的取值范围为（ ）
A ．()0,4
B ．(2,
C ．(
D ．()
4
8．（2020·安徽省高一月考（理））已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
2sin a C =，1a =，则ABC 的周长取最大值时面积为（ ）
A
B
C ．
4
D ．4
9．（2018·四川省高三其他（理））在△ABC 中，|AB |＝4，且|CA |CB |，则△ABC 面积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（2020·江苏省高一期末）已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B =︒，
且ABC b 的取值范围是（ ）
A ．⎡⎣
B ．
C ．[)2,6
D ．[)4,6
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．（2018·全国高考真题（文））在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且cos cos 2B b
C a c
=-+,则角B 的大小为_____.
12．（2020·陕西省高三其他（文））在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，
2
3
π=∠=c C ，
则S △ABC ＝_____．
13．（2020·江苏省高一期末）在锐角△ABC 中．a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b a
C a
-=，则tan A 的取值范围是________
14．（2020·台州市书生中学高二期末）在ABC 中，6
A π
=
，A 的角平分线AD 交BC 于点D ，若AB =，
AC =BC =_______，AD =_______．
15．（2020·浙江省高一期末）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、
c ，已知6
A π
=，b =，
ABC c =____________，角B =____________.
16．（2020·山东夏津第一中学高一月考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2且2cos A （b cos C +c cos B ）＝a ，则A ＝__________；若M 为边BC 的中点，则|AM |＝__________ 17．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b ，c ，且
22()(2a b c bc --=，2
sin sin cos
2
C
A B =则角A 的大小为________；若BC 边上中线AM 的长为
7，则ABC 的面积为________
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·江苏省高一期末）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知
2cos cos cos b B a C c A -=．
（1）求角B 的大小；
（2）若D 为BC 边上一点．AD ＝5．AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．
19．（2020·湖南省高三三模（理））已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，
()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．
（1）求cos C ；
（2）若ABC 15c ．
20．（2020·江苏省高一期末）在①cos 0b A c -=，②cos cos a B b A =，③cos 0a C b +=这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解． 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b =4c =，满足______．
（1）请写出你的选择，并求出角A 的值；
（2）在（1）的结论下，已知点D 在线段BC 上，且3π
4
ADB ∠=
，求CD 长． 21．（2020·安徽省高一月考（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2sin cos cos b C a C c A =+，23
B π
=
，3c =（1）求角C ；
（2）若点D 满足2AD DC =，求ABD △的外接圆半径.
22．（2020·四川省开江中学高一月考）已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若
()20a c cosB bcosC --=.
(1)求角B 的大小；
(2)若2b =，求a c +的取值范围.。