2019届高三第二次模拟联考数学(理)试卷-含答案

2019届高三第二次模拟联考数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设=+-=|z |,11则z z i ( ) 0.A 21.B 1.C 2.D2.=︒-︒︒15sin 15cos 275cos 210cos 2( )21.A 22.-B 21.-C 22.D3.下列有关命题的说法正确的是（ ）.A ),0(π∈∃x ，使得2sin sin 2=+x x成立． .B 命题P ：任意R x ∈，都有1cos ≤x ，则p ⌝：存在R x ∈0，使得1cos 0≤x ． .C 命题“若2>a 且2>b ，则4>+b a 且4>ab ”的逆命题为真命题．.D 若数列{}n a 是等比数列，*,,N p n m ∈则2p n m a a a =⋅是p n m 2=+必要不充分条件．4. 函数)ln()-ln()(2x e x e x x f ++=的大致图像为（ ）5. 在ABC ∆中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上,NB AN 3=，点P 在MN 上，PN MP 2=，那么等于（ ） A.6132- B. 2131- C. 6131- D. 6121+ 6. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16B ．16C ．D ．7. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且84=S ，48=S ，则=16S （ ）A ．25 B ．25- C ．40 D ．40- 8.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()11f x =，()20f x =，若12min12x x -=，且1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．152,2,66k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．512,2,66k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．C ．512,2,66k k k Z ππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．172,2,66k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦9. 若(),log 43log 24ab b a =+则b a +的最小值是（ ）A ．326+ B. 327+ C. 346+ D. 347+10. 椭圆:G )0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点)0,(1c -F ，)0,(2c F ，M 是椭圆上的一点，且满足.021=⋅M F M F 则椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．]22,0( B ．)22,0( C ．)1,22(D ．)1,22[11. 已知B A ,是球O 的球面上两点，且球的半径为3，︒=∠90AOB ，C 为该球面上的动点．当三棱锥ABC O -的体积取得最大值时，则过C B A ,,三点的截面的面积为（ ） A ．π6B ．π12C ．π18D ．π3612. 已知函数21-2)(,1ln )(x ex g x x f =+=，若)(=)(n g m f 成立，则n m -的最小值是（ ） A.2ln +21B.2-eC. 21-2ln D. 21-e 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．.） 13. 若函数)121()(3a x x f x+-=为偶函数，则a 的值为14. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥--20123401y y x y x ，则123++-=x y x z 的最大值为 ．15. 点P 是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线222222221(0,0)x y a b a b -=>>的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,123F PF π∠=，则12b b 的值是 16. 已知定义在)2,2(ππ-上的函数)(x f 满足1)6(),()(=-=-πf x f x f ，对任意)2,0(π∈x ，不等式()tan ()f x x f x '>恒成立，其中)('x f 是的)(x f 导数，则不等式x x f sin 2)(<的解集为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17.（本题满分10分）已知函数R a a x x x f ∈---=,21)(. (1)当3=a 时，解不等式2)(-<x f ；(2)当)1,(-∞∈x 时，0)(<x f 恒成立，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）在数列{}n a 中，已知)(log 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，{}n c 的前n 项和n S .求证32<n s19.（本题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos a C sin 0C b c --=． （1）求A ；（2）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，AD =，求ABC ∆的面积．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的正弦值．21. （本题满分12分）设抛物线()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为23E ⎛ ⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F F λ=.（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围.22.（本题满分12分）函数a ax x x x f (12ln )(2+-+=为常数） (1)讨论函数)(x f 的单凋性；(2)若存在]1,0(∈0x 使得对任意的]0,2(-∈a 不等式4+2+>)(+)1+(220a a x f a me a（其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：1-12：CBDA DCDB DDAA 二、填空题13.21 14. 49 15. 3 16. )6,0()6,2(πππ -三、解答题17. 【详解】（1）当3=a 时，2)(-<x f ，有2321)(-<---=x x x f所以⎩⎨⎧-<-+-<23211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-<-+-≤≤2321231x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-<+-->232123x x x ， 所以0<x 或φ∈x 或4>x ， 综上，不等式解集为{}40|><x x x 或 （2）当)1,(-∞∈x 时，0)(<x f 恒成立，有0|2|1<---a x x 。

∴|2|1a x x -<-恒成立. ∴ a x x -<-21或a x x ->-21恒成立.∴31+>a x 或1-<a x 恒成立∴当)1,(-∞∈x 时，13-<x a ① 或1+>x a ② 恒成立， 解①得a 不存在；解②得：2≥a . 综上知，2≥a . 18. 解：（Ⅰ）∵411=+n n a a ∴数列｛n a ｝是首项为41，公比为41的等比数列， ∴)()41(*N n a n n ∈=.…………………………………………………………………………3分∵2log 341-=n n a b ………………………………………………………………… 4分∴232)41(log 321-=-=n b n n .∴11=b ，公差d=3∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列.…………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n n a )41(=，23-=n b n （n *N ∈）∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈⨯-=.………………………………………………………………8分∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ①于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②……… 9分两式①-②相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S=1)41()23(21+⨯+-n n .………………………………………………………………………10分 ∴ )()41(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+.32<∴n s ………………………………………12分19.（本题满分12分）（Ⅰ）∵cos sin 0a C C b c --=，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sinC A C A C A C +=++，化简得：cos 1A A -=，∴()01sin 302A -=．在ABC ∆中，000180A <<，∴003030A -=，得060A =．（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin B =则()11sin sin 72C A B =+=+=，由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==． 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==，故1sin 2ABC S ac B ∆==20. （Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PAAD A =，PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系， 由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形， 得：(0A，0)，(0D，2)，(0B0)，M，1)，(1)MA =--，(MD =-，(1)MB =--． 设平面MAD 的一个法向量为(,,)m x y z =，由200m MA y z m MD y z ⎧=--=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,0)m =-； 设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由2020n MD y z n MB y z ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩，取1z =，得2(,n =． cos ,||||10m n m n m n -∴<>===⨯．∴二面角A MD B --21. 【解析】：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得22424199{ 12a bc a a +===，解得224{ 3a b ==，∴椭圆的方程为22143x y +=， ∴点2F 的坐标为()1,0,∴1m =,∴抛物线的方程是24y x =.（Ⅱ）由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为()()10y k x k =+≠，由()21{4y k x y x=+=消去x 整理得2440ky y k -+=（*） ∵直线PQ 与抛物线交于两点，∴216160k ∆=->． 设()11,P x y ， ()22,Q x y ，则124y y =①，124y y k+=②． ∵11F P FQ λ=， ()11,0F -,∴()()11221,1,x y x y λ+=+∴12y y λ=．③ 由①②③消去12,y y 得： ()2241k λλ=+．∴PQ ====4241616k PQ k -=， 将()2241k λλ=+代入上式得()()242222221111616216PQλλλλλλλ+++⎛⎫=-=-=++- ⎪⎝⎭，∵()11,12f λλλλ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭在上单调递减，∴()()112f f f λ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即1522λλ<+≤，∴211702164λλ⎛⎫<++-≤ ⎪⎝⎭，∴0PQ <≤，即PQ 的取值范围为⎛ ⎝⎦． 22. 解析：（1）)0(122221)('2>+-=-+=x xax x a x x x f ，记122)(2+-=ax x x g（i ）当0≤a 时，因为0>x ，所以01)(>>x g ，函数)(x f 在).0(∞+上单调递增； （ii ）当20≤<a 时，因为0)2(42≤-=∆a ，所以0)(≥x g ，函数)(x f 在).0(∞+上单调递增；（iii ）当2>a 时，由⎩⎨⎧>>0)(0x g x ，解得)22,22(22-+--∈a a a a x ，所以函数)(x f 在区间)22,22(22-+--a a a a 上单调递减，在区间),22(),22,0(22+∞-+--a a a a 上单调递增（II ）由（1）知当]0,2(-∈a 时，函数)(x f 在区间]1,0(上单调递增，所以当]1,0(∈x 时，函数)(x f 的最大值是a f 22)1(-=，对任意的]0,2(-∈a ， 都存在]1,0(0∈x ，使得不等式42)()1(220++>++a a x f a me a成立，等价于对任意的]0,2(-∈a ，不等式42)()1(22max ++>++a a x f a me a都成立， 即对任意的]0,2(-∈a ，不等式024)1(22>---+a a a me a 都成立， 记24)1(2)(2---+=a a a me a h a ，由1020)0(>⇒>⇒>m m h ，)2)(1(2)('+-=a me a h a ，由0)('=a h 得2-=a 或m a ln -=,因为]0,2(-∈a ，所以0)2(>+a ， ①当21e m <<时，)0,2(ln -∈-=m a ，且)ln ,2(m a --∈时，0)('<a h ，)0,ln (m a -∈时，0)('>a h ，所以0)ln 2(ln )ln ()(min >-⋅=-=m m m h a h ，所以]0,2(-∈a 时，0)(>a h 恒成立；②当2e m =时，)2)(1(2)('2+-=+a e a h a ，因为]0,2(-∈a ，所以0)('>a h ， 此时)(a h 单调递增，且0)2(=-h ， 所以]0,2(-∈a 时，0)2()(=->h a h 成立； ③当2e m >时，022)2(2<+-=-e mh ，022)0(>-=m h ， 所以存在)0,2(0-a 使得0)('=a h ，因此0)(>a h 不恒成立． 综上，m 的取值范围是],1(2e ．。