7全等三角形的尺规作图
第7讲三角形的尺规作图
一、教学目标
理解尺规作图的含义，掌握尺规作图的步骤。
二、知识点梳理
1、尺规作图
定义：只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图。注意：尺规作图中的直尺没有刻度。
2、已知三边作三角形
已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：线段a，b，c
求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b
作法与示范：
（1）作线段AB=c
（2）以点A为圆心，b为半径画弧
（3）以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C
（4）连接AC，BC，△ABC即为所求
3、已知两边及其夹角作三角形
已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：线段a，b，∠α
求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b
作法与示范：
（1）作∠MBN=∠α
（2）在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b
（3）连接AC，则△ABC为所求作的三角形
4、已知两角及其夹边作三角形
已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：
已知：∠α，∠β，线段a
求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a
作法与示范：
（1）作线段AB=a
（2）在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形
三、典型例题
例1 下列作图属于尺规作图的是（）
A、用量角器画出∠AOB的平分线
B、用圆规和直尺作∠AOB等于已知的∠α
C、用刻度尺画线段AB=3 cm
D、用三角板作直线AB的平分线
例2 如图13-4-1，已知：线段a、b。求作：△ABC，使AB=2a，AC=b，BC=a。
例3 如图13-4-3，已知：线段m，n，∠α。求作：△ABC，使AB=2m，AC=2n，∠A=∠α。例4 如图13-4-5，已知：线段a和∠α。求作：△ABC，使BC=a，∠ABC=∠ACB=∠α。
例5 已知△ABC（如图13-4-7），求作：△A’B’C’，使△A’B’C≌△ABC。
例 6 市政建筑公司计划要在学校旁边建造一座桥和一个汽车站，汽车站在学习的正东方向，桥在汽车站北面，现已知学习到桥、桥到汽车站及学习到汽车站的距离分别为500 m，500 m，250 m，请根据以上提示确定桥与汽车站分别应建在何处，并标出它们的位置。
例7 如图13-4-12，一个四边形ABCD的一个角（∠D）被墨水污染了，请你作出一个与它全
等的四边形。（保留作图痕迹，不写作法）
四、课堂练习
1、下列作图不是尺规作图的是（）
A、用直尺和圆规作线段a等于已知线段
B、用直尺和缘故作一个角等于已知角
C、用刻度尺和圆规作一条5 cm的线段
D、用直尺和圆规作一个三角形
2、如图，小敏作《全效学习》中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是（）
A、SSS
B、SAS
C、ASA
D、AAS
3、用尺规作图作一个直角三角形，使其链条直角边分别等于已知线段是，实际上已知的条件是（）
A、已知两角和夹边
B、已知两边和其中一边的对角
C、已知两边和夹角
D、已知两角和其中一角的对边
4、用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知的条件是（）
A、三角形的两边和其夹角
B、三角形的三边
C、三角形的两角和其夹边
D、三角形的三角
5、已知∠B和线段BC，添加一个条件________，可用尺规作出△ABC。
6、根据教材填空：已知∠α，∠β和线段a，求作三角形ABC，使∠ABC=∠α，∠BCA=∠β，BC=a？
①作线段BC=________；
②在BC的同旁，作∠CBD=________，∠BCE=________，BD与CE相交于点________，则三角形ABC为所求作的三角形。
7、已知线段a和锐角α（如图），求作Rt△ABC，使BC=a，∠B=∠α。
五、课后作业
1、已知三边作三角形，用到的基本作图是（）
A、作一个角等于已知角
B、作已知直线的垂线
C、作一条线段等于已知线段
D、作一条线段等于已知线段的和
2、如图，已知在△ABC中，AB＞AC，若以BC为一边作△DBC，使它与△ABC全等并且点D与点A不重合，那么这样的三角形可以作（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D’O’C’=∠DOC，需要证明△D’O’C’≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是_______（写出全等判定方法的简写）。
4、已知线段a、b、c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为_____。
①分别以B、C为圆心，c、b为半径作弧，两弧交于点A；②作射线BP，在BP上截取BC=a；
③连接AB，AC，△ABC为所求作三角形。
5、已知线段a，用尺规作出△ABC，使得AB=a，BC=AC=2a。
作法：（1）作一条线段AB=_________；
（2）延长AB到P，使BP=AB=a，则AP=________；
（3）分别以点________，________为圆心，以_________为半径作弧，两弧交于C点；
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形。
6、如图，已知∠α和线段a。求作三角形ABC，使∠A=∠α，∠B=2∠α，AB=a。
全等三角形 尺规作图
全等三角形的判定（SSS） 1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( ) A.120° B.125° C.127° D.104° 2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，•则下面的结论中不正确的是( ) A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D 3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1． 4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明 AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论． 5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2． 6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D． 7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF． 8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD. ⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA； ⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.
全等三角形的判定方法SAS 专题练习 1.如图，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD 2.能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是（ ） A ．AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，∠C=∠C ′ B. AB=A ′B ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C ′ C. AC=A ′C ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C D. AC=A ′C ′， ∠C=∠C ′，BC=B ′C 3.如图，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD= ， 根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________． 4.如图，已知BD=CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ， 则还需添加的条件是 。 5.如图，AD=BC ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△BAC ， 则还需添加的条件是 6.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ， 请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． 解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中， ∵ ∴△ABD ≌△ACD （ ） 7.如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ， 求证:△AOB ≌△COD 证明：在△AOB 和△COD 中 ∵ ∴△AOB ≌△COD( )
1.3探索三角形全等的条件(7)尺规作图(可编辑修改word版)
A D O 1．3 探索三角形全等的条件(7) ---- 尺规作图 教学目标: 1. 会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯； 2. 会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法； 教学重点：会“作已知角的角平分线”和“过一点作已知直线的垂线” ． 教学难点：几何图形信息转化为尺规操作． 教学过程： 一、知识回顾： 如图，AC 、BD 相交于点O ，且AB ＝DC ，AC ＝DB ．求证：∠A ＝∠D ． 二、自主先学：（P25） B C 【情景引入】 工人师傅常常利用角尺平分一个角。如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别任取OC ＝OD ，移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是∠AOB 的平分线。请同学们说明这样画角平分线的道理． 【问题探究】 （1） 说 请按序说出木工师傅的“操作”过程． （2） 作与写 用直尺和圆规在图（1）中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法． （3 ） 证 请证明你的作法是正确的． （4） 用 用直尺和圆规完成以下作图： ①在图（2）中把∠MON 四等分． ②在图（3）中作出平角∠AOB 的平分线． M O N 图（2） A O B 图（3） 作法 图形 1. 2． 3. 射线OM 就是∠AOB 的角平分线。 图（1）
l C M D B 图（4） 三、例题分析： （1） 观察思考．在图（1）作图的基础上，作过C 、D 的直线l （如图（4）），观察图中射线OM 与直线l 的位置关系，并说明理由． A P O （2） 问题变式． A B 图（5） 你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（5），经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线PQ ）． （3） 比较分析．引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略． （4） 作图与证明． ①作法 ②证明． （5） 归纳总结：根据活动一中的4（2）与活动二可知：经过一点可用直尺和与圆规作一条直线与已知直 线垂直． （6） 知识运用：用直尺和圆规作一个直角三角形， a 使它的两条直角边分别等于a 、b （如图（6））． b 图（6） 四、质疑拓展 问题3．没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线吗？下面是小兵的作法： 如图，①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD=OC. ②连接CD ，利用刻度尺画出CD 的中点E. ③画射线OE ；所以射线OE 为∠AOB 的角平分线. 他的作法对吗？请说明理由. 小结反思 .
2020中考数学 全等三角形与尺规作图(含答案)
2020中考数学全等三角形与尺规作图（含答案） A组基础题组 一、选择题 1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线. 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是( ) A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ 3.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( ) 4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )
A. B.4 C.2 D.5 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( ) A.6 B.6 C.9 D.3 6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论: ①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD. 其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 8.如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为.
全等三角形尺规作图
尺规作图 要点一：尺规作图 ★尺规作图的工具 （1）直尺的功能：①作经过任意一点的直线；②以任意一点为端点作射线；③连接两个点作一条线段；④作经过两个点的直线；⑤以其中一点为端点作经过另一个点射线；⑥把线段向两个方向任意延长。 （2）圆规的功能：以平面上任意一点为圆心，以任意长为半径作圆或圆弧，也可在直线上截取一段，使它等于已知线段。 ★尺规作图的常用语言 尺规作图中，应掌握下列作图语言。 （1）用直尺作图的语言规范：①过点×作直线××，或作线段××，或作射线××； ②连接×，×两点，或连接××； ③延长线段××到点×，或反向延长线段××到点×，使××=××。 （2）用圆规作图的语言规范：①在××上截取××=××； ②以点×为圆心，以××为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，以××为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两 弧交于点×，点×。 【例1】（1）尺规作图是指用刻度尺和圆规作图() （2）尺规中的尺是指没有刻度的直尺() （3）用直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线是尺规作图() （4）最基本的尺规作图是作线段和角() 【练习】下列作图属于尺规作图的是（） A.用量角器画∠AOB的平分线OC B.用圆规在射线AE上截取线段AB=BC=CD=a C.用刻度尺画射线AB=2cm D.用三角尺作直线AB的垂线 要点二：作一个角等于已知角
★理论依据 作一个角等于已知角的理论依据是根据SSS 作一个三角形与另一个三角形全等，由全等三角形的对应角相等得到。 ★作一个角等于已知角 已知：∠AOB ，如图所示 求作：∠B O A ''',使∠B O A '''=∠AOB 。 作法与示范：
全等三角形——尺规作图
全等三角形——尺规作图
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第11章(八) 全等三角形——尺规作图（4） 第周星期班别姓名学号一、学习目标： 熟练掌握五种基本尺规作图，能用尺规作出符合已知条件的三角形图形。 二、教学过程 探索1：角平分线的性质 如图，OC平分AOB ∠ 1）在OC上取一点P，作P M⊥OA，PN⊥OB, 度量PM、PN的长度，则PM PN。（填 “=”或“≠”） 2）在OC上再取一点P′，作P′M⊥OA， P′N⊥OB，度量P′M′、P′N′的长度， 则P′M′ P′N′。（填“=”或 “≠”） 角平分线的性质：角平分线上任何一点到两边的相等。 几何语言表示： 如图，∵ OC平分AOB ∠，P为OC上一点， P M⊥OA，PN⊥OB ∴ 角平分线的逆定理： 到角的两边的距离的点，在角平分线上。 几何语言表示： 如图，∵PM PN , PM OA PN OB ⊥⊥ ∴点P在OC上。 C P A M B N O A C B M1 N1 M N O P1 P A C B M N O P
2、利用直尺和圆规，根据画法，画出满足条件的三角形， （1）已知两边及夹角； 已知：线段a 、b ，∠α 求作：△ABC ， 使AB=a ，AC=b ， ∠B=∠α 画法： 1）作∠MAN=∠α; 2）在AM 上截取AB=a ，交AM 于点B; 3）在AN 上截取AC=b ，交AN 于点C; 4）连接BC ， ∴△ABC 为要作的三角形。 画图： （2） 已知两角及夹边； 已知：线段a ，∠α、∠β 求作：△ABC 使BC=a ，∠B =∠α,∠C =∠β。 由草图，得画法： 1）作线段AB=a ； 2）以A 为顶点，AB 为一边，作∠MAB=∠α 3）以B 为顶点，AB 为一边，作∠NAB=∠β 4）得交点C ，连接CA 、CB ∴△ABC 为要作的三角形。 画图 （3）已知三边。 已知：线段a 、b 、c ， 求作：△ABC ，三边分别等于a 、b 、c 。 由草图，得画法： 1）作线段AB=c ； 2）以A 为顶点，a 为半径，画弧； 3）以B 为顶点，b 为半径，画弧： 两弧交于点C ，则△ABC 为要作的三角形 画图：
7全等三角形的尺规作图
第7讲三角形的尺规作图 一、教学目标 理解尺规作图的含义，掌握尺规作图的步骤。 二、知识点梳理 1、尺规作图 定义：只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图。注意：尺规作图中的直尺没有刻度。 2、已知三边作三角形 已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下： 已知：线段a，b，c 求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b 作法与示范： （1）作线段AB=c （2）以点A为圆心，b为半径画弧 （3）以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C （4）连接AC，BC，△ABC即为所求 3、已知两边及其夹角作三角形 已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下： 已知：线段a，b，∠α 求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b
作法与示范： （1）作∠MBN=∠α （2）在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b （3）连接AC，则△ABC为所求作的三角形 4、已知两角及其夹边作三角形 已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下： 已知：∠α，∠β，线段a 求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a 作法与示范： （1）作线段AB=a （2）在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形 三、典型例题 例1 下列作图属于尺规作图的是（） A、用量角器画出∠AOB的平分线 B、用圆规和直尺作∠AOB等于已知的∠α C、用刻度尺画线段AB=3 cm D、用三角板作直线AB的平分线
七年级数学下册第四章三角形4用尺规作三角形直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离试题北师大版
直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离
知识点一：直角三角形的判定 1.直角三角形全等的判定条件——HL
如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 2.直角三角形全等的判定方法的综合运用.
判定两个直角三角形全等的方法有五种，即 SSS、SAS，ASA.AAS，HL. 3.判定条件的选择技巧 （1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如 SSS，因为有两边对应相等就能够 判定两个直角三角形全等. （2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等. （3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考： ①是有两边相等的，可以先考虑用 HL，再考虑用 SAS； ②是有一锐角和一边的，可考虑用 ASA 或 AAS. 例 1.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即 BC=EF），左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的水平方向的长度 DF 相等， 则∠ABC＋∠DFE=________.
分析： 本题解决问题的关键是证明 Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具. 解： 由现实意义及图形提示可知 CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为 BC=EF，AC=DF，可知 Rt△ABC≌Rt△DEF. 得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°. 例 2.如图所示，△ABC 中，AD 是它的角平分线，BD=CD，DE.DF 分别垂直于 AB.AC，垂足为 E.F.求证 BE=CF.
解：
∠ 在△AED 和△AFD 中， ∠
∠ （垂直的定义） ∠ （角平分线的定义）
（公共边）
龙门县一中八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时尺规作图教案新版华东师大版7
13．4 尺规作图 第1课时尺规作图(1) 1．掌握五种基本作图的方法． 2．会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题． 重点 五种基本作图的方法． 难点 作图语言的叙述． 一、自学教材 自学教材第85～88页，体会前三种基本作图的方法．学生自学教材，交流归纳作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法． 二、探究新知 教师演示作图过程． 1．作一条线段等于已知线段 已知：线段AB.求作：线段A′B′，使A′B′＝AB. 作法：(1)作射线A′C′； (2)以点A′为圆心，以AB的长为半径作弧，交射线A′C′于点B′.A′B′就是所要求作的线段． 2．作一个角等于已知角 如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB. ①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D； ②以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′B于点C′； ③以点C′为圆心，CD长为半径作弧交前弧于点A′； ④以点O′为顶点作射线O′A′.∠A′O′B′即为所求． 3．作已知角的平分线 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法： ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N
为圆心，大于1 2MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ；③作射线OC.射线OC 即 为所求． 教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项，并实际动手操作． 学生活动：组织积极讨论，小组交流，代表发言． 教师总结：尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何作图必须保留作图痕迹． 三、练习巩固 1．如图，已知∠AOB.(1)求作∠EDF，使∠EDF＝∠AOB；(2)求作∠EDF 的平分线DG. 2．如图，已知∠A，∠B ，求作一个角，使其等于∠A－2∠B. 3．如图，已知线段AB ，CD ，求作一个等腰三角形，使其腰长等于AB ，底边长等于CD. 四、小结与作业 小结 1．尺规作图的概念． 2．用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法． 3．作一个角等于已知角及角的和差的作法． 作业 教材第91页习题13.4第2题． 这节课内容较多，前三个基本作图较简单，主要是学生自学后独立操作，教师演示的目的是规范作图语言，搞清其中的几何道理．后两个作图实际上用到了转化思想，较为复杂，要让学生搞明白作图的原理，是掌握作图步骤的关键． 运用基本作图方法解作图题时，应让学生先分析作图顺序后，再完成．对于作图语言应逐步规范．
华师版八年级数学上册教案：第13章 全等三角形4 尺规作图(2课时)
13.4尺规作图 1～3作线段、角、角平分线(第1课时) 一、基本目标 使学生了解尺规作图的含义,学会用尺规作图作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、已知角的平分线． 二、重难点目标 【教学重点】 用尺规作图作一条线段等于已知线线、一个角等于已知角、已知角的平分线． 【教学难点】 用尺规作图作已知角的平分线． 环节1自学提纲,生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P85～P87的内容,完成下面练习． 【3 min反馈】 1．尺规作图是指(C) A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图 C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图 2．下列作图语句正确的是(B) A．作射线AB,使AB＝a B．作∠AOB＝∠α C．延长直线AB到点C,使AC＝BC D．以点O为圆心作弧 环节2合作探究,解决问题 活动1小组讨论(师生对学) 1．作一条线段等于已知线段 讨论1：已知MN为已知线段,你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗？
作图步骤： (1)画一条射线AC； (2)以点A为端点,在射线上用圆规截取AC＝MN. 线段AC即为所求． 2．作一个角等于已知角 讨论2：这是我们在七年级已经学习过的作一个角等于已知角的方法,你能用所学的知识说明为什么∠A′O′B′＝∠AOB吗？ 【教师点拨】因为OC＝OC′,OD＝OD′,CD＝C′D′,所以△ODC≌△O′D′C′(S.S.S.),所以∠A′O′B′＝∠AOB. 3．作已知角的平分线 讨论3：如图,∠AOB为已知角,试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线． 作图步骤： 第一步：在射线OA、OB上,分别截取OD、OE,使OD＝OE； 第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧,在∠AOB内,两弧交于点C； 第三步：作射线OC. 射线OC就是所求作的∠AOB的平分线． 【教师点拨】OC就是所求作的∠AOB的平分线的证明过程见教材P87. 讨论4：想想看,如何将∠AOB四等分？ 【教师点拨】在讨论3的基础上,再按上述作角平分线的方法分别作出∠COB、∠AOC 的平分线OG、OH,即可将∠AOB四等分． 活动2巩固练习(学生独学) 1．如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠CAB＝60°,按以下步骤作图： ①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F；
第四节全等三角形证明HL尺规作图
第四节 全等三角形的证明HL 、尺规作图 一、三角形全等的判定方法一：HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）。 书写格式： 在△ABC 和△A ’B ’C ’中， ∵⎪⎩ ⎪ ⎨⎧===∠=∠''''90'C A AC B A AB B B 。 ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（HL ） 【典型例题】 例1 如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系. 例2 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC. 例3 如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系 . A B A D B C C D F ┐ ┘ E A E F
例4 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE. 二、尺规作角平分线和垂线 角平分线：（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA 、OB 于点D 、E ； （2）分别以点D 、E 为圆心，大于 EF 2 1 长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ； （3）作射线OC 。射线OC 就是∠AOB 的角平分线。 过直线外一点作直线的垂线： （1）以点C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB 于点A 、点B ； （2）分别以点A 、B 为圆心，大于AB 2 1 长为半径作弧，两弧交于点M ； （3）作直线CM 。AB CM 。 【典型例题】 A B E D F
湘教版八年级上册全等三角形【谈湘教版八年级“全等三角形”一章的教学】(共8页)
湘教版八年级上册全等三角形【谈湘教版八年级“全等三角形”一章的教学】 [模版仅供参考，切勿通篇使用] 一、教材分析湘教版数学教材八年级上册第3章为全等三角形。这一章分七大节，其内容分为旋转、全等三角形、直角三角形与勾股定理、作三角形四个部分。 1 教材特点分析 突破了传统教材的编写思路与框架，更贴近学生生活和学习的实践经验。 传统教材沿用了欧几里得几何体系，所做的主要是两件事：一是为了明确概念而确定定义，二是为了揭示真理而推证定理，在三角形一章中，把全等三角形一节编排在三角形的边角关系之后，在等腰三角形与尺规作图之前，而将勾股定理一节编排在这一章的最后一节，从而达到运用公理、公设和定义论证出一系列关于二三角形的定理的目的，这样当然系统而严明，但与学生的学习实践经验有一定差距，同时，在传统教材中没有编排旋转这一节。也没有完整和单独地编排直角三角形与作三角形这两个内容，而是将这两个内容分散地编排在相关章节的正文或习题中，
湘教版的编排不同，它将全等三角形作为一章的主题，连同相关的三个部分内容合编为一章，使全等三角形知识的发生、发展及应用成为一个整体，这就突显了全等三角形知识在初等几何中的重要地位，更表明了全等三角形的性质与判定在几何证明、计算与作图中的奠基作用――是几何证明、计算与作图的重要依据，同时，这样编排满足了学生较完整地学习与掌握在他们日常生活、学习中最常见、最常用、最简单的几何图形的心理要求，更贴近他们的实践经验。有利于增强他们学习几何的兴趣与信心。 改变了学习这一章所必须具备的基础知识与经验准备。学生较易接受这一章的基础知识和基本技能。 在湘教版七年级数学教材中，学生学习了平移与轴反射的知识，现在，在全等三角形一章的第一部分，又安排学习了旋转的概念、性质与应用，从而使全等三角形的概念、性质与判定，由直接建立在希尔伯特体系中的合同公理基础上，转变为建立在平移、旋转和轴反射这三种几何变换的基础上，很直观，具有很强的可操作性，学生可以通过动手、动眼、动脑，对现实世界中物体位置、状态变化进行观察与操作，结合已学知识经验掌握好这章知识，形成新的技能、思想与方法，为今后学习用数处理几何图形问题的高等几何、学习解析法奠定一定的认知基础。 加强了数学思想方法的渗透。
尺规作图总结
尺规作图 .基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 题目二：过一点做已知线段的垂线。 已知：如图，O 点、线段MN. 求作：过O 点作OP ⊥线段MN. 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB ， 求作：∠M0N, 使∠MON ＝∠BOA 题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a ，b ，c. 求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α. 求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m ，AC=n. M N O A B O A B M N O
题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 题目八：已知一个三角形，作一个点到各个顶点距离相等 已知：如图，△ABC 求作：一个点到三个顶点的距离相等 题目九：已知一个三角形，做一个点到三边的距离相等已知：如图，△ABC 求作：一个点到三条边的距离相等。 初中尺规作图典型例题归纳1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高， AM是△ABC外角∠CAE的平分线. (1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN； (保留作图痕迹，不写作法和证明) 2、如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC。请你用尺规 作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两 个三角形全等的理由。（保留作图痕迹，不写作法） 3、如图，已知中，为的中点。 请用尺规作图法作边的中点，并连接。 （保留作图痕迹，不要求写作法） 4、如图所示，已知锐角。 过点作边的垂线，交于点 （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）。
初中数学_三角形的尺规作图教学设计学情分析教材分析课后反思
《三角形的尺规作图》教学设计 课题：三角形的尺规作图 课型：新授课 课程标准： 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 教材分析： 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动，解决了一些简单的问题感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。学情分析： 学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 学习目标： （1）认识什么是尺规作图； 会利用基本作图作“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”三角形； （2）对尺规基本作图题，能写出已知，求作和作法或口头表述作法，并能正确作出图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程）。 学习评价： 通过第一环节，检测目标一的达成 通过第二环节，检测目标二的达成 学习过程： 活动内容： 活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行巩固，最终达到掌握并灵活应
用的目的。 活动过程： （1）已知：如图，线段AB 求作： :线段A`B`,使得A`B`=AB. 作法与示范： 实际教学效果：学生在六年级接触过作一条线段等于已知线段，但是由于相隔时间比较长，所以有一部分同学遗忘，这时通过小组的交流合作，互帮互助，学生在合作中回忆起了作图的步骤，同时也在其中体会到了交流合作的重要性。而在本节课当中，教师应在学生原有水平的基础上，规范学生的解题步骤，使得学生实现从原来的会按顺序作出图来到按照程序化的方式规范作图的转变。 （2）已知： ∠AOB 。 求作： ∠A`O`B` 使∠A`O`B`=∠AOB 。 作法与示范： A B
全等三角形和尺规作图练习题
全等三角形和尺规作图练习题 一选择题 1．用尺规作图，下列条件中不能作出唯一一个三角形的是 ( ) A ．已知两边和夹角 B ．已知两边和其中一边的对角 C ．已知两角和夹边 D ．已知三边 2．已知线段a=6 cm ，b=5 cm ，作等腰三角形，则( ) A ．能作出的三角形只有一个 B ．能作出的三角形只有二个 C ．能作出的三角形只有三个 D ．不能作出 3．作出三角形ABC 的高AD ，角平分线A E ，中线A F ， 三者中有可能落在△ABC 外部的是 ( ) A ．AD B ．AE C ．A F D ．都有可能 4．利用基本作图不可作的等腰三角形是（ ） A ．已知底边及底边上的高 B ．已知底边上的高及腰 C ．已知底边及顶角 D ．已知两底角 5．下面的说法，错误的是（ ）A ．线段有且只有一条中垂线 B ．线段的中垂线平分线段 C ．线段的中垂线是一条直线 D ．经过线段中点的直线是线段的中垂线 6.用尺规作图,不能作出惟一直角三角形的是( ) A.已知两条直角边 B.已知两个锐角 C.已知一直角边和一锐角 D.已知斜边和一直角边 7.只用无刻度直尺就能作出的是( ) A.延长线段AB 至C,使BC=AB; B.过直线L 上一点A 作L 的垂线 C.作已知角的平分线; D.从点O 再经过点P 作射线OP 8.下列画图语言表述正确的是( ) A.延长线段AB 至点C,使AB=BC; B.以点O 为圆心作弧 C.以点O 为圆心,以AC 长为半径画弧;D.在射线OA 上截取OB=a,BC=b,则有OC=a+b 9如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D =90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠A MN+∠A NM 的度数为（ ） A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 10.如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO+∠DCO 的大小是（ ） A ．70° B ．110 C ．140° D ．150° 二填空题 1．只用 画图的方法,称为尺规作图，且规定直尺 . 2．尺规作图时，直尺用来画 、 和 ，圆规用来画圆和 . 3.如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 度． 4.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作 B C O A D
八年级数学上 第一章 全等三角形
八年级数学上 第一章全等三角形 1.1 全等形 1、概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 注：全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在位置。看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可。 1.2 全等三角形的有关概念及表示方法 1、有关概念 (1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 (2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2、表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 △ABC和△DEF全等，记作△ABC ≌ △DEF，读作：“三角形ABC全等于三角形DEF”。（Q：找出对应顶点，对应边以及对应角） 点拨：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。 如右图，△ABC和△ABD全等，点A和点A，点B和点B，点C和点D是 对应顶点，记作△A BC ≌ △ABD。 故，根据标注可看出三角形的对应角和对应边。如：AC=AD，BC=BD ∠ACB=∠ADB等。 【例题】1、已知△A BE≌△ACD，AB=8cm，AD=5cm，∠A=60°，∠B=40°，则AE= cm，∠D= °. 1.3 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 点拨：全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等，对应边上的高相等。但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。 【经典例题】1、如图，△ACB≌△A’CB’，∠BCB’=30°，则∠ACA’的度数为。 【变形题】如上图，若△A CB≌△A’CB’，试说明∠ACA’与∠BCB’的大小关系。
中考冲刺第12天——三角形与尺规作图
中考冲刺第12天——三角形与尺规作图 考点： 1．了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰(边)三角形的概念；全等图形的 概念；尺规作图概念；了解五种基本作图的理由 2．理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰(边)三角形的性质及判定； 直角三角形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质； 3．会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角和定理.识别全等图形；利用HL 判定两个三角形全等；会用尺规作图完成五种基本作图；使用精练、准确的作图语言叙述画图过程；利用基本作图画三角形较简单的图形；利用基本作图画较简单的图形；会判定两个三角形全等 4．掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判 定；直角三角形的性质及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法； 5．能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算； 证明一个三角形是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题；利用角平分线的判定解决有关的实际问题 题型： 1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题考查,难度系数小,较简单,属于低档 题 2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外） 角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法 3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质 知识点： 1．三角形的有关线段 （1）三角形的中线、高线、角平分线、中位线都是线段,三角形的中位线性质可以证明“平行”关系、“线段相等”关系,三角形的中线特点可以证明面积相等. （2）三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
全等三角形复习及作图依据
关卡1-1 全等三角形复习及作图依据 学习重点：全等三角形复习和尺规作图． 例题A 1．（1）下列命题错误的是（ ） A ．全等三角形对应边上的高相等 B ．全等三角形对应边上的中线相等 C ．全等三角形对应角的角平分线相等 D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等 C ．两角和一组对应边相等 D ．两边及第三边上的高对应相等 2．（1）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明A O B AOB '''∠=∠的依据是（ ） A ．根据“边边边”可知，C O D COD ''∆≅∆，所以A O B AOB '''∠=∠ B ．根据“边角边”可知， C O D COD ''∆≅∆，所以A O B AOB '''∠=∠ C ．根据“角边角”可知，C O D COD ''∆≅∆，所以A O B AOB '''∠=∠ D ．根据“角角边”可知，C O D COD ''∆≅∆，所以A O B AOB '''∠=∠ （2）如图，有一池塘，要测池塘两侧 A 、B 两点的距离，可以先在平地上取一个可以直接到达和B 的点C ，连接 AC 并延长到D ，使CD CA =，连接 BC 并延长到 E ，使CE CB =，连接DE ，那么量出DE 的长就等于AB 的长，可依据 方法判定ABC DEC ∆∆≌． 3．如图，已知AD AE =，AB AC =，求证：BF FC =．
4．如图，AC 、BD 交于点E ，A D ∠=∠，AB CD =，50AEB ∠=︒，求EBC ∠． 例题B 5．如图，12∠=∠，34∠=∠，点P 在AB 上，求证：PC PD =． 过关练习 A 组EXercise 1 （1）不能确定两个三角形全等的条件是（ ） A ．三边对应相等 B ．两边及其夹角相等 C ．两角和任一边对应相等 D ．三个角对应相等 （2）ABC ∆和DEF ∆，AB DE =，A D ∠=∠，若ABC DEF ∆∆≌还需要（ ） A ．∠B=∠E B ．∠C=∠F C ．AC=DF D ．以上三种情况都可以 Exercise 2 （1）如图，用直尺和圆规做一个角等于已知角，能得出A O B AOB '''∠=∠的是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ． AAS