工程流体力学-禹华谦-习题答案-第6章

第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为

Vx=4x+1；Vy=-4y.

(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解：（1）由于

044=-=∂∂+∂∂y

Vy

x Vx ，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz =

2

1(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=)44(21

+-＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因 Vx y

x ∂∂=∂∂=

ψϕ=4x+1 Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-4y

d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy

φ=

⎰d φ=

⎰

x

∂∂φ

dx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (4x+1)dx+(-4y)dy

=2x 2-2y 2+x d ψ=

x

∂∂ψ

dx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy

ψ=

⎰

d ψ=

⎰

x

∂∂ψ

dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰ 4ydx+(4x+1)dy

=4xy+y

6-2 平面不可压缩流体速度分布:

Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y).

(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解：（1）由于

x Vx ∂∂+x

Vy

∂∂=2x ＋1－（2x ＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz =

21(y Vx x

Vy ∂∂-∂∂)=))2(2(21

y y ---＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.

（3）因 Vx=

x

∂∂φ =y ∂∂ψ

= x 2-y 2+x, Vy=y ∂∂φ=-x ∂∂ψ=-(2xy+y).

d φ=

x

∂∂φ

dx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(x 2-y 2+x )dx+(-(2xy+y).)dy

φ=

⎰

d φ=

⎰

x

∂∂φ

dx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy =⎰ (x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y))dy

=3

3x -xy 2+(x 2-y 2

)/2 d ψ=

x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy

ψ=

⎰

d ψ=

⎰

x

∂∂ψ

dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy =⎰(2xy+y)dx+ (x 2-y 2+x)dy

=x 2y+xy-y 3/3

6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2-y 2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx=

x ∂∂φ =y ∂∂ψ=2x-1，V y ＝y x y 2-=∂∂-=∂∂ψ

φ，由于x Vx ∂∂+x

Vy ∂∂＝0，该流动满

足连续性方程，流函数ψ存在

d ψ=

x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy

ψ=

⎰

d ψ=

⎰

x

∂∂ψ

dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰2ydx+(2x-1)dy=2xy-y

在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6

6-4已知平面流动速度势函数 φ=-π

2q

lnr,写出速度分量Vr,V θ,q 为常数。 解: Vr=

r ∂∂φ =-r q π2, V θ=θ

φ∂∂r ==0

6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-m θ+C ,写出速度分量Vr 、V θ, m 为常数 解: Vr=

r ∂∂φ =0, V θ=θφ∂∂r ==-r

m

6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx ,εyy , 求出速度势函数φ.

解： 因 Vx=

x

∂∂φ =y ∂∂ψ= 1

Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-1

d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy

φ=

⎰

d φ=

⎰

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰dx+(-1)dy=x-y

y

v x v y yy x

xx ∂∂=∂∂=εε,

a x=

0=∂∂+∂∂+∂∂=y Vx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx ； a y =

0=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vy

Vy x Vy Vx t Vy dt dVy 6-7 已知平面流动流函数ψ=x 2-y 2,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.

解： 因 Vx=

x

∂∂φ =y ∂∂ψ

= -2y

Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-2x

d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy

φ=

⎰

d φ=

⎰

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰-2ydx+(-2x)dy=-2xy

a x=

4=∂∂+∂∂+∂∂=y Vx

Vy x Vx Vx t Vx dt dVx x a y =

4=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vy

Vy x Vy Vx t Vy dt dVy y; 6-8一平面定常流动的流函数为

(,)x y y ψ=+

试求速度分布，写出通过A （1，0），和B （2）两点的流线方程.

解：1x v y ψ∂=

=∂, y v x

ψ∂=-

=∂

平面上任一点处的速度矢量大小都为

2=，与x 和正向夹角都是

060=。

A 点处流函数值为3-•301-=+，通过A 点的流线方程为y +=

样可以求解出通过B 点的流线方程也是y +=

6-9 已知流函数ψ=V ∞(ycos α-xsin α),计算其速度,加速度,角变形率(xy ε=yx ε=

21(x

v y ∂∂+y v x

∂∂)),并求速度势函数φ.

解： 因 Vx=

x

∂∂φ =y ∂∂ψ= V ∞cos α

Vy=

y ∂∂φ=-x ∂∂ψ= V ∞sis α

d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy

φ=

⎰

d φ=

⎰

x

∂∂φ

dx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy= V ∞⎰cos αdx+ sis αdy

= V ∞( cos αx+ sis αy) a x =

0=∂∂+∂∂+∂∂=y Vx

Vy x Vx Vx t Vx dt dVx a y =

0=∂∂+∂∂+∂∂=y

Vy

Vy x Vy Vx t Vy dt dVy ; xy ε=yx ε=21(x

v y ∂∂+y v x

∂∂)=0

6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。

解: 不可压缩三维流动的连续性方程为

0x y z v v v x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 将关系x y z v v v x y z

ϕϕϕ∂∂∂===∂∂∂， ， 代入上式得到

()()()0x x y y z z ϕϕϕ

∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂ 或 2222220x y z

ϕϕϕ

∂∂∂++=∂∂∂ 可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。

6-11 什么样的平面流动有流函数?

答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程

0x y

v v x y

∂∂+=∂∂ 或

x y v v x y

∂∂=∂∂（-）

的情况下平面流动有流函数.

6-12 什么样的空间流动有势函数?

答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量ω=x ωi+y ωj+z ωk 都是零矢量，即

0x y z ωωω===，或关系y

v x v x v z v z v y v x

y z x y z ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,,成立, 这样的空间流动有势函数. 6-13 已知流函数ψ=-θπ

2q

,计算流场速度. 解: Vr=

θψ∂∂r =-r q π2

V θ=-r

∂∂ψ=0 6-14平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x 2-3y 2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量. 解： 因 Vx=

x

∂∂φy ∂∂=ψ=a(3x 2-3y 2) Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-6axy

d ψ=

x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x 2-3y 2)dy

ψ=

⎰

d ψ=

⎰

x

∂∂ψ

dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy

=

⎰

6axydx+a (3x 2-3y 2)dy =3a x 2y-ay 3

在A(0,0)点 ψA =0； B （1,1）点ψB =2a ，q=ψA-ψB =-2a. 6-15 平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x 2 +y 2), 试确定该流动的势函数φ.

解：因 Vx=

x

∂∂φ =y ∂∂ψ=2

22y x y + Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-222y x x + d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=222y x y +dx-2

22y x x

+dy

⎰=φ Vxdx+Vydy=⎰

222y x y +dx-222y x x +dy=-2)arctan(x

y

6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?

解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为1ϕ，

2ϕ, 流函数分别为12ψψ，。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数ϕ可由下式求出：

21ϕϕϕ+=

同样，合成流动的流函数ψ等于

12ψψψ=+

6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数ϕ和流函数ψ与速度分量y x v v ,有什么关系? 解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数ϕ和流函数ψ与速度分量y x v v ,有如下关系.

,x v y x =∂∂=∂∂ψϕ y v x

y =∂∂-=∂∂ψ

ϕ 6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?

解:在平面定常有势流动中，势函数ϕ只是x,y 的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。 6-19 试写出沿y 方向流动的均匀流(V=Vy=C=V ∞)的速度势函数φ，流函数ψ. 解：因 Vx=

x

∂∂φ

=y ∂∂ψ=0

Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=V ∞

d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=0dx+ V ∞dy φ= V ∞y

d ψ=

x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=- V ∞dx =ψ- V ∞x

6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y ；Vy=-y-4x 试证：

（1）该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势的，求φ, (3)求ψ， 解：（1）由于

=∂∂+∂∂y Vy x Vx 1-1=0，故该流动满足连续性方程, 流函数ψ存在 (2）由于ωz =

21(

y Vx

x

Vy ∂∂-∂∂)=0, 故流动有势, 势函数φ存在.

3）因 Vx=

y

x ∂∂=∂∂ψφ=x-4y Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=-y-4x

d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy

φ=

⎰d φ=

⎰

x

∂∂φ

dx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (x-4y) dx+(-y-4x)dy

=

xy y x 42

2

2-- d ψ=

x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy

ψ=

⎰

d ψ=

⎰

x

∂∂ψ

dx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰(y+4x)dx+(x-4y)dy

=xy+2(x 2-y 2)

6-21 已知平面流动流函数ψ=arctg x

y

，试确定该流动的势函数φ. 解：因 Vx=

x

∂∂φ =y ∂∂ψ=22y x x +

Vy=

y ∂∂φ=-x

∂∂ψ=22y x y +

d φ=

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=22y x x +dx+2

2y x y +dy φ=

⎰d φ=

⎰

x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ 22y x x +dx+22y x y

+dy

=22ln y x +

6-22 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x 2+x-y 2, (Ⅱ)ψ=2xy+y. 证明:对 (Ⅰ)φ=x 2+x-y 2

Vx= x ∂∂φ

=2x+1 Vy=

y

∂∂φ

=-2y 对 (Ⅱ) ψ=2xy+y

Vx y

∂∂=

ψ

=2x+1 Vy=-

x

∂∂ψ

=-2y 可见φ与ψ代表同一流动.

6-23 已知两个点源布置在x 轴上相距为a 的两点，第一个强度为2q 的点源在原点，第二个强度为q 的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q >0）。

解: 两个流动的势函数分别为

2/122)ln(22y x q +π及2/122))ln(2y a x q

+-π

, 合成流动的势函数为=φ2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q

+-π,

(x x v x ∂∂=∂∂=φ2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q +-π

)=

2222)(2y a x a

x q y x x q

+--++ππ

y y v y ∂∂=∂∂=φ(2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q +-π

)=2

222)(2y a x y

q y x y q

+-++ππ

6-24 如图所示，平面上有一对等强度为)0(>ΓΓ的点涡，其方向相反，分别位于（0，h ），（0，-h ）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x 轴的来流v ∞，试求合成速度在原点

的值。

解: 平面上无穷远平行于x 轴的来流v ∞, 上,下两点涡的势函数分别为x v ∞，

)/)arctan((2x h y -Γ-

π, )/)arctan((2x h y +Γπ

, 因而平面流动的势函数为x v ∞)/)arctan((2x h y -Γ-

π+ )/)arctan((2x h y +Γ

π

, 22)(2h y x h y v x v x -+-Γ+=∂∂=∞πφ 22)(2h y x h y +++Γ-

π,=∂∂=y v y φ22)(2h y x x -+Γ-π+2

2)

(2h y x x

++Γπ,将原点坐标(0,0)代入后可得h

v v x πΓ

-=∞, 0=y v . 6-25 如图，将速度为v ∞的平行于x 轴的均匀流和在原点强度为q 的点源叠加，求叠加后流

场中驻点位置。

解: 均匀流和在原点强度为q 的点的势函数分别为x v ∞及22ln 2y x q

+π

, 因而平面流动的势函数为=φx v ∞+

22ln 2y x q

+π

, 222y x x q v x v x ++=∂∂=∞πφ, =∂∂=

y v y φ2

22y x y

q +π,令0,0==y x v v , 得到∞

-=v q x π2,0=y . 6-26如图，将速度为v ∞的平行于x 轴的均匀流和在原点强度为q 的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.

解: 先计算流场中驻点位置.

均匀流和在原点强度为q 的点的势函数分别为x v ∞及22ln 2y x q

+π

, 因而平面流动的势函数为=φx v ∞+

22ln 2y x q

+π

, 222y x x q v x v x ++=∂∂=∞πφ, =∂∂=y v y φ222y x y q +π,令0,0==y x v v , 得到∞

-

=v q

x π2,0=y .此即流场中驻点位置. 均匀流和在原点强度为q 的点的流函数分别为y v ∞, )arctan(2x

y

q π,因而平面流动的流函数为

=ψy v ∞+

)arctan(2x

y

q π, 在驻点0=ψ, 因而经过驻点的流线方程为y v ∞+)arctan(2x

y q π=0

6-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。 解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为-x 25,

5.022))1ln((210

y x +-π

, 5.022))1ln((210

y x ++-

π

, 因而平面流动的势函数为=φx 25-+

22)1(ln 210y x +-π-22)1(ln 210y x ++π

22)1(121025y x x x v x +--+-=∂∂=

πφ22)1(1

210y

x x +++-π,

=∂∂=

y v y φ22)1(210y x y +-π2

2)1(210y x y

++-π 令0,0==y x v v , 得到15/2+±=πx ,0=y .此即流场中驻点位置.

6-28 一平面均匀流速度大小为v ∞，速度方向与x 轴正向夹角为α，求流动的势函数φ和流

.

可编辑文本 函数ψ。

解: ==∞y x v v v ,cos α αsin ∞v , d φ=x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy φ=⎰d φ=⎰x

∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰αcos ∞v dx+αsin ∞v dy=αcos ∞v x+ αsin ∞v y

d ψ=x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy ψ=

⎰d ψ=⎰x

∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰-αsin ∞v dx+dy v αcos ∞=-αsin ∞v x+y v αcos ∞