量子力学-曾谨言-第五版-第1章序言-知识点汇总(良心出品必属精品)

第一章 量子力学的历史渊源

§1.1 Planck 的能量子假说 经典物理学的成就

到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论：

(1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)，

(2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)；

(3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。

这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。 经典物理学所遇到的问题

(1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。 一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量

黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)E T ν表示。

所以在t ∆时间，从面积S ∆上发射出频率在ννν-+∆范围内的能量表示为： (,)E T t S νν∆∆∆

因此，(,)E T ν的量纲为：

2

2

=1×⨯

能量焦耳米

秒米

秒。

可以证明：

（(,)v T ρ的单位为

3

⋅焦耳秒米

）。

吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额， 用(,)A T ν表示。 G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明：

对任何一个物体，辐射本领(,)E v T 与吸收率(,)A T ν之比是一个普适的函数，即

（f 与组成物体的物质无关）。 对于黑体的吸收率(,)1A v T =， 故其辐射本领(,)(,)E T f T νν=（等于普适函数与物质无关）。所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。 辐射本领也可以用(,)E T λ描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：

(,)(,)E v T dv E T d λλ∞

∞

=⎰⎰

由于c νλ=知2

c

d d νλλ

=-

代入上式得：0

2

(,)

(,)c

E v T d E T d λλλλ

∞

∞

-=⎰⎰

32

2

(,)(,) (,)(,) ( )E v T E T E T E v T c

c

λνλλ⋅⇒=

=

焦耳米秒或

2、黑体的辐射本领

黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。实验测得的辐射曲线满足下列定律：

(i)、斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann Law ）

黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4T 成正比， 即

54

4

842322() 5.6710(K s m )15B

k R T T J h c πσσ-⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭

，

个定理其中()(,)R T E T d λλ=⎰为黑体辐射能量。 这是斯托藩1879年实验测定的，而1884年玻尔兹曼

从热力学理论推导出来。

(ii)、Wien 位移定律（Wien Displacement Law ） 地有一维恩发现， 对于一个确定的温度0T ，相应即

波长0λ使00(,)E T λ达到极大值，而00T λ=常数。

3001122 5.110(K m)T T T λλλ-===

=⨯⋅

这说明随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动。温度越高，波长越短的光(即绿光和蓝光)越多；温度越低，波长越长的光(即红光)越多。 3、经典物理学的缺陷

利用经典物理学理论推导出的理论公式不能完全地符合实验，展现出经典物理学理论的局限性。

(i)、黑体辐射谱的维恩（Wien ）经验公式：

维恩(1894)根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 231(,)c v E v T c v e

-= 其中2

122

B c h c c h k π⎧=⎨=⎩，而-23o J K 1.3810B k =⨯是玻尔兹曼常数。

维恩公式在高频率(短波段)与实验符合，但在中、低频率（长波段）区，特别是低频率区与实验偏离很大。

(ii)、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans ）公式：

瑞利(1900)根据经典电动力学及金斯(1905)由经典统计力学的能均分定理严格得到黑体辐射本领公式：

2

38(,)B v E v T k T c

π=

(,)E v T 仅当频率足够低（或长波段）

，温度足够高（即()1

10o K 10S v T -⋅<<）时，符合（即B k T hv >>）实验曲线。但在频率v 很高紫外区域（或很小λ的短波段）时，(,)E v T d ν→∞⎰，

即著名“紫外发散灾难”。这两个公式并不完全符合实验结果，但理论上给出的结论是确切无疑的。总之，用经典物理学理论解释黑体辐射谱的实验规律完全失败。 二、固体低温比热

根据经典理论，如一个分子有n 个原子，而每个原子有3个自由度。对于1摩尔该分子固体有0N 个分子（23

0 6.0210N ⨯=mol 称为阿伏加德罗常数），故有03nN 个自由度。所以，

固体定容比热为：

033V B V

E C N nk nR T ⎛⎫

∂=== ⎪∂⎝⎭， 其中(K mol)

8.314J

o

R ⋅=是气体常数。

称为能均分定理（Dulog –Relit 经验规律）。

实验发现，对单原子固体，在室温下v Constant C =符合能均分定理； 但在低温下，

3v 0C T ∝→，因而这个实验结果与经典理论不符。如何解决这些问题呢？

在经典物理学框架下，解释黑体辐射定律的多次失败后，物理学家逐渐地认识到必须引入一个新的理论。 三、Planck 假说（1900） 1、普朗克公式

1900/10/19普朗克在柏林物理学会会议上公布了他通过实验数据，采用数学插值法得到的公式：

此公式与实验曲线符合得相当好。