图像几何变换

第3 章 图像的几何变换
与原图比较， 有位置，角度 偏差
待测印鉴
标准印鉴
点 击 图 片 播 放 视 频
三维的平移
近朱者赤
图像的几何变换
图像的几何变换包括了图像的形状变换和
图像的位置变换。

图像的形状变换是指图像的放大、缩小与错切。 图像的位置变换是指图像的平移、镜像与旋转。 图像的仿射变换描述。 图像的变形及几何畸变校正
放大 5 倍
图 按最近邻域法放大五倍的图像
双线性内插（bilinear interpolation approach）
1-p p
a
b
f1=（1-p）×f（［x］，［y］） +p×f（［x］+1，［y］）
([x] , [y])
([x]＋1 , [ y]) q x ,y 1－ q
f(x,y)=（1-q）×f1+q×f2
}
效果图示例
几何变换方法
1）向前映射法
x1
通过输入图像像素位置, 计算输出 图像对应像素位置; 将该位置像素的灰度值按某种方 式分配到输出图像相邻四个像素.
x 象 素 移y 交 映 射
y1
f(x1,y1) (x1,y1)整型
f(x,y) (x,y)非整型
存在问题
p q r p r
2 向后映射法
图像的垂直镜像
示例：
1 1 2 3
2
3 -1
1
2
3
0
1
2
row 3
2 1 0
-2
-3
实现程序
for i=1:row for j=1:col m=row+1-i; n=j; B(i,j)=A(m,n); end end
% A:输入图像数据 B:输出图像数据 % row:图像宽度，高度，行数 col: 图像长度，列数
图像放大

图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作， 但是，从信息处理的角度来看，则难易程度完 全不一样。 图像缩小是从多个信息中选出所需要的信息， 而图像放大则是需要对多出的空位填入适当的 值，是信息的估计。

图像放大
—— 实现思路

最简单的思想是，如果需要将原图像放大为k 倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像 中对应的k*k大小的子块中。
双线性插值代码
/*-----------scale---图像缩放------A:输入图像数据 B:输出图像数据
row:图像宽度，高度，行数 col:图像长度，列数
zi: i 放大倍数（竖直） zj: j 放大倍数（水平） --------------------------------*/
for i=1:row*zi for j=1:col*zj m=floor(i/zi); n=floor(j/zj); p=i/zi-m; q=j/zj-n; if m>=1&&n>=1&&m<row&&n<col B(i,j)=(1-q)*((1-p)*A(m,n)+p*A(m+1,n)) +q*((1-p)*A(m,n+1)+p*A(m+1,n+1)); end end end
图像的旋转
图像的旋转计算公式如下：
i' i * cos j * sin j ' i * sin j * cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在 的范围不同。
• 因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理 。
([x] , [y]＋1 ) p
([x]＋1 , [ y]＋1 ) 1－ p
图
线性插值法示意图
f2=（1-p）×f（［x］，［y］+1 ）+p×f（［x］+1，［y］+1）
计算公式
f（x，y）=
（1-q）{ （ 1-p）×f （［x ］，［y ］）+p×f （［ x ］+1 ，［y ］）}
+q{（1-p）×f（［x］，［y］+1）+p×f（［x］+1，［y］+1）}
图像缩小
—— 例题
Y
1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35 6 12 18 24 30 36 K1=0.6, k2=0.75 7 13 25 31 9 15 27 33 10 16 28 34 11 17 29 35 12 18 30 36
图像示例
图像的位置变换

所谓图像的位置变换是指图像的大小和形状 不发生变化，只是将图像进行平移、镜像和
旋转。

图像的位置变换主要是用于目标识别中的目
标配准。
图像的平移

图像的平移非常简单，所用到的是中学学
过的直角坐标系的平移变换公式：
x' x x y ' y y
图像的镜像

所谓的镜像，通俗地讲，是指在镜子中所 成的像。其特点是左右颠倒或者是上下颠 倒。

镜像分为水平镜像和垂直镜像。
图像的水平镜像

水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）
i' i { j' j
-3 -2 -1 0 1 2 3

因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进 行镜像计算之后，再进行坐标的平移。

计算出i’和j’的最大、最小值，即i’min、i’max和
j’min，j’max。

画布大小为： i’max – i’min、 j’max –j’min。
i=[1,6], j=[1,6].
x=[1,6*0.6]=[1,4],
y=[1,6*0.75]=[1,5].
x=[1/0.6,2/0.6,3/0.6,4/0.6]=[1.67,3.33,5,6.67]=[i2,i3,i5,i6],
y=[1/0.75,2/0.75,3/0.75,4/0.75,5/0.75]=[j1,j3,j4,j5,j6].
{ i' ' i j ' ' j 'col 1 col 1 j
图像的水平镜像
示例：
1 1 2 3 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 3 2 1
col 3
1
2 3
实现程序
for i=1:row for j=1:col m=i; n=col+1-j; B(i,j)=A(m,n); end end
for i=1:row*zi for j=1:col*zj m=ceil(i/zi); n=ceil(j/zj); B(i,j)=A(m,n); end end
较大倍数图
图像放大
—— 思考问题
思考一个问题： 如果放大倍数太大，按照前面的方法处 理会出现马赛克效应。如果这个问题交 给你，有没有办法解决？或者想办法至 少使之有所改善？
最近邻点法代码
/*-----------scale_near---图像缩放-----A:输入图像数据 B:输出图像数据
row:图像宽度，高度，行数 col:图像长度，列数
zi: i轴放大倍数 zj: j轴放大倍数 --------------------------------*/
%ij为新图像坐标，mn为原图像坐标
最简单的方法就是等间隔地选取数据。
图像缩小
—— 实现方法
设原图像大小为M*N，缩小为k1M*k2N，
（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：
1）设原图为F(i,j)， i=1,2,…,M, j=1,2,…,N. 压缩后图像是G(x,y), x=1,2,…,k1M, y=1,2,…,k2N. 2）G(x,y)=F(c1*x,c2*y) 其中，c1=1/k1 c2=1/k2
c1=1/k1 c2=1/k2
图像放大
—— 实现方法
1 4
2 5
3 6
K1=1.2, k2=1.1
1 4
2 5
3 6
3 6
4
5
百度文库
6
6
i=[1,2], j=[1,3].
x=[1,3],
y=[1,4].
x=[1/1.2,2/1.2,3/1.2]=[i1,i2,i2], y=[1/1.1,2/1.1,3/1.1,4/1.1]=[j1,j2,j3,j3].
2）向后映射法
x1
通过输出图像像素位置, 计算输入 图像对应像素位置; 根据输入图像相邻四个像素的灰 度值计算该位置像素的灰度值 . x
象 素 填y 充 映 射
y1
f(x1,y1) (x1,y1)非整型
f(x,y) (x,y)整型
两种映射方法的对比

对于向前映射：每个输出图像的灰度要经过多次运 算； 对于向后映射：每个输出图像的灰度只要经过一次 运算。 实际应用中，更经常采用向后映射法。

下面看缩小和放大的具体应用
图像的缩小
分为按比例缩小和不按比例缩小两种。
图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布
可相应缩小。
(a) 按比例缩小
(b) 不按比例缩小
图像缩小
—— 实现思路
图像缩小实际上就是对原有的多个数据进行挑
选或处理，获得期望缩小尺寸的数据，并且尽 量保持原有的特征不丢失。
{
X ax Y by
变换原理
{
{ X ax Y by
X ax Y by
g(X,Y)=f(x,y) g(ax,by)= f(x,y)
具体实现
row:图像宽度，高度，行数 col:图像长度，列数
for i=1:row for j=1:col m=ceil(zi*i); n=ceil(zj*j); B(m,n)=A(i,j); end end
图像的几何变换不改变像素 的值，只改变像素的位置。
图像的比例缩放
图像的比例缩放是指将给定的图像在 x轴
方向按比例缩放 a 倍，在 y 轴方向按比例 缩放b倍，从而获得一幅新的图像。如果 a=b，称这样的比例缩放为图像的全比例 缩放。如果 a 不等于 b ，图像的比例缩放 会改变原始图像的像素间的相对位置， 产生几何畸变。
式中：f（x，y）为坐标（x，y）处的灰度值，［x］、［y］ 分 别为不大于x，y的整数。
已知原图像中四点的灰度f（101，150）=10，
f（102，150）=50，f（101，151）=40， f（ 102，151）=100，新图像g是f沿x轴放大5倍，y 轴放大2倍构成，求g（506，301）的灰度。 f（101.2，150.5） m=101, n=150, p=0.2, q=0.5 f（101.2，150.5）=(1-0.5)*{(10.2)*10+0.2*50}+0.5*{(1-0.2)*40+0.2*100} =35
图像旋转的前期处理
——画布的扩大

图像旋转之前，为了避免信息的丢失，画布的扩 大是最重要的。
画布扩大的原则是：以最小的面积承载全部的画 面信息。
图像旋转的前期处理
——画布的扩大

画布扩大的简单方法是：根据公式
i' i * cos j * sin j ' i * sin j * cos
% A:输入图像数据 B:输出图像数据 % row:图像宽度，高度，行数 col: 图像长度，列数
图像的垂直镜像

垂直镜像计算公式如下（图像大小为M*N）
i ' i { j' j

因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进 行镜像计算之后，再进行坐标的平移。
i' ' row 1 i { j' ' j
放大5倍
显然，当k为整数时，可以采 用这种简单的方法。
图像放大
—— 实现方法
设原图像大小为M*N,放大为k1M*k2N，
（k1>1，k2>1）。算法步骤如下：
1）设旧图像是F(i,j)， i=1,2,…,M, j=1,2,…,N. 新图像是G(x,y), x=1,2,…,k1M, y=1,2,…,k2N. 2）G(x,y)=F(c1*i,c2*j)
图像平移程序
% A:输入图像数据 B:输出图像数据 % row:图像宽度，高度，行数 col:图像长度，列数 % pi,pj:水平垂直（行，列）偏移量 % ij为新图像坐标，m n为原图像坐标 for i=1:row for j=1:col m=i-floor(pi); n=j-floor(pj); if m>0&&n>0&&m<row&&n<col B(i,j)=A(m,n); else B(i,j)=128; end end
即：g(x,y)=f(x’, y’)
• 注意：x方向与y方向是矩阵的行列方向。
图像的平移
——示例
y 1, x 2
1 下移1行， 右移2列 2 3 1 2 3
1 2 1 2 3 4 3 4 5
y=[1,2,3] ; x=[1,2,3] y’=[2,3,4] ; x’=[3,4,5]
•注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布” 一定是扩大了。否则就会丢失信息。