高一上学期数学知识点总结(含答案)20433
高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结
一、集合与命题
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如(1)设P Q 、为两个非空实数集合,定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈,若{0,2,5}P =,}6,2,1{=Q ,则P Q +中元素的有________个。(答:8)(2)非空集合}5,4,3,2,1{?S ,且满足“若S a ∈,则S a ∈-6”,这样的S 共有_____个(答:7)
2.遇到A
B =?时,你是否注意到“极端”情况:A =?或B =?;同样当A B
?时,你是否忘记?=A 的情形?要注意到?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,则实数a =______.(答:10,1,2
a =) 3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
依次为,n 2,12-n ,12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 (答:7)
4.集合的运算性质: ⑴A B A B A =??; ⑵A B B B A =??;⑶A B ??
u u A B ?; ⑷u u A B A B =???; ⑸u A B U A B =??; ⑹()U C A B U U C A C B =;⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ,若}2{=B A ,}4{)(=B A C U ,}5,1{)()(=B C A C U U ,则A =_____,B =___.(答:{2,3}A =,{2,4}B =)
5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:(){}|x y f x =—函数的定义域;(){}|y y f x =—函数的值域;(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集,
如设集合{|M x y ==,集合N ={}2|,y y x x M =∈,则M N =__
(答:[4,)+∞);
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关
于x 的不等式
250ax x a
-<-的解集为M ,若3M ∈且5M ?求实数a 的取值范围。 (答:(]519253a ??∈????,,) 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”,则逆命题为“若q 则p ”;否命题为“若p 则q ”;逆否命题为“若q 则p ”。提醒:(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价;(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假,这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法?如(1)“在△ABC 中,若∠C=900,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为(答:在ABC ?中,若90C ∠≠,则,A B ∠∠不都是锐角);(2)已知函数2(),11
x x f x a a x -=+>+,证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若
B A ?,则A 是B 的充分条件;若B A ?,则A 是B 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的
充要条件。如设命题p :|43|1x -≤;命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若p 是q 的必
要而不充分的条件,则实数a 的取值范围是(答:1[0,]2
) 二、不等式
1. 不等式的性质:
(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;
(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不
能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则
a b c >);
(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >>
(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b
>。 如(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:
①22,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22;③22,0b ab a b a >><<则若;
④b a b a 11,0<<<则若;⑤b
a a
b b a ><<则若,0;⑥b a b a ><<则若,0;⑦b
c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧)
(2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:[]1,7) (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______(答:12,2??-- ??
?) 2. 不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;
(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法;
(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
如设2a >,12
p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >) 3. 一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b
>的形式,若0a >,则b x a >
;若0a <,则b x a
<;若0a =,则当0b <时,x R ∈;当0b ≥时,x ∈?。如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3
1,(--∞,则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______(答:{|3}x x <-)
4. 一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表示
吗?设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根,且x x <,则其解集如下表:
如解关于x 的不等式:01)1(2
<++-x a ax 。(答:当0a =时,1x >;当0a <时,1x >或1x a <
;当01a <<时,11x a <<;当1a =时,x ∈?;当1a >时,11x a
<<) 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0,
其次若0≠a ,则一定有042≥-=?ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中
含有参数时,你是否注意到同样的情形?如:(1)()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立,则a 的取值范围是_______(答:(1,2]);(2)关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么?(答:k D ∈,其中D 为()f x 的值域)
6.一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两
根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么? 0
()0()02f m f n b m a
n ?≥>><-??????、()0f k <)。根的分布理论成立(0()02f k b k a
?≥>->???????、
0)(=x f 有实数解的情况,可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况,得出结果,再令n x =和m x =检查端点的情况.
如12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使
0)(>c f ,求实数p 的取值范围。 (答:3(3,)2-) 7.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程2
0ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值,也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。如(1)32
ax >+的解集是(4,)b ,则a =__________(答:18
);(2)若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ,
其中0< m );(3)不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立,则实数b 的取值范围是_______(答:?)。 8. 简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如:(1)解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 (答:[){}1,2+∞-) (2)不等式(0x -≥的解集是____(答:[){}3,1+∞-) (3)设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<,()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x >的解集为______(答:() [),12,-∞+∞) (4)要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x (解集非空)的每一个x 的值至少满足不等式0860342 2<+-<+-x x x x 和中的一个,则实数a 的取值范围是.(答:817,8??????) 9. 分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将 分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如:(1)解不等式25123x x x -<---(答:()()1,12,3-) (2)关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞,求关于x 的不等式 02>-+x b ax 的解集 (答:()(),12,-∞-+∞) 10. 绝对值不等式的解法: (1)分段讨论(最后结果应取各段的并集):如解不等式|21|2|432|+-≥- x x (答:R ) (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;如解不等式|||1|3x x +->(答:()(),12,-∞-+∞) (4)两边平方:如若不等式|32||2|x x a +≥+对任意x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围。(答:43?????? ) 11.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.(见4中例题) 12.含绝对值不等式的性质: a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-; a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 如设2()13f x x x =-+,实数a 满足||1x a -<,求证:|()()|2(||1)f x f a a -<+ 13. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大, 积定和最小”这17字方针。 如:(1)下列命题中正确的是 A.1y x x =+的最小值是 2B.2y =的最小值是2 C .423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D.423(0)y x x =-->的最小值是2- (2)若21x y +=,则24x y +的最小值是 ______(答: (3)正数,x y 满足2 1x y += ,则y x 11+的最小值为______(答:3+) 14.常用不等式有:(12211a b a b +≥≥≥+(当且仅当a b c ==时,取等号),根据目标不等式左右的结构选用;(2)a b c R ∈、、,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号);(3)若0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________(答:[)9,+∞) 15. 证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。 常用的放缩技巧有:211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++--