导数习题及答案
课时作业(十三)[第13讲变化率与导数、导数的运算]
(时间：45分钟分值：100分)
基础热身
2ln x的导数为(x)
1．函数y＝2) exx＋ln((ex) B．y′＝lnA．y′＝2x＋22)
ex′＝2xlnex() D．yC．y′＝xln(2．已知函数y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)＝()
1A. B．1 23C. D．2 221x3．[2014·郑州测试]已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为42()
1A．3 B．2 C．1 D. 2x＋1在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋济南质检]设曲线y＝1＝0垂直，则4．[2014·1－x)
a＝(
11 A．2 B. D．－2 C．－22123的值x，＝x处切线的斜率的乘积为3与y＝x则－x2x ＋在x已知曲线5．y＝2－0210x ．为________2，3)(2，kx＝k)＋ln x在点(1，处的切线过点红色六校6．[2014·江西“”联考]若曲线y ________．＝则k 能力提升1－－yP的切线的方程为4x过点x是曲线P7．(x)y＝3ln x＋＋k(k∈R)上一点，y，0000)
(则实数k的值为＝0，2 B．2 ．－A4
1 ．－DC．－2) x8．已知f(x)＝(0)＋2xf′(1)，则f′等于(
4 0 A．B．－2 C．－．2 D)
x＝()f＋x(2012ln x)，′(x＝2013，则已知2014·9．[济宁模拟] f(x)＝002 1 A．e B．D．Cln
2 ．e223的图像则函数，f(x)(x)已知函数10．f(x)＝－x＋2ax＋3x(a>0)的导数f′的最大值为5
3)
处的切线方程是上点(1，f(1))(
0 －3y＝－2．＝－．A3x15y＋40 B15x0
y－＋＝13xD0 23y15xC．－＋＝．2x－围成的x＝y和0＝y处的切线与直线2)，(0在点1＋e＝y 曲线]湛江调研2014·[．11．
三角形的面积为()
11A. B. 322C. D．1 3α________．则α＝在点(1，2)处的切线经过坐标原点，∈12．若曲线y＝x＋1(αR)2的距离的最小值为2＝x－上任意一点，则点P到直线．13若点P是曲线y ＝xy－ln x ．________23．R)＋b(a，b＋(1－a)x∈－a(a＋2)x＝14．(10分)已知函数f(x)x b的值；求3，a，(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－a的取值范围．y轴的切线，求若曲线y＝f(x)存在两条垂直于(2)2310.
－ax＋分)已知函数f(x)＝x(1315．处的切线方程；，f(2))在点求曲线y＝f(x)(2＝(1)当a1时，a 的取值范围．)<0x成立，求实数[1(2)若在区间，2]内至少存在一个实数f(x，使得00难点突破b －ax设函数f(x)＝分16．(12)124y－处的切线方程为，f(2))7x－在点曲线，y＝f(x)(2x0.
＝的解析式；(1)求f(x)所围成的三角形的面＝xy0xf(x)y(2)证明：曲线＝上任一点处的切线与直线＝和直线并求此定值．，积为定值
课时作业(十四)[第14讲第1课时导数与函数的单调性]
(时间：45分钟分值：100分)
基础热身
x的单调递增区间是(－3)e) 1．函数f(x)＝(xA．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
92．函数f(x)＝x＋的单调递减区间为()
xA．(－3，0) B．(0，3)
C．(－3，0)，(0，3) D．(－3，0)∪(0，3)
xax－的导数是f′(x)，若xf′(x＝e)＋e是偶函数，则a＝() a3．设∈R，函数f(x)A．1 B．0 C．－1 D．±1
3－12x＋b，则下列结论正确的是＝x() 4．[2014·抚顺二模]设函数f(x)A．函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递增
B．函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减
C．函数f(x)在区间(－2，2)上单调递增
D．函数f(x)在区间(－2，2)上单调递减
32＋1在区间(0，2)上单调递减，x则实数－axa的取值范围是() ＝5．若f(x)A．0 B．a＝2 C．a≤3 D．a≥3 12－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数f(x)6．设函数＝xa的取值范围是2________．能力提升 32＋mx＋1对任意x∈R满足(x－xx)[＋xf(x)－f(x)]>0，则实数＝7．若函数f(x)x，211221m的取值范围是() 11A．(－∞，) B．(，＋∞) 3311????，－∞C. D. ＋∞，????3332＋cx＋d(a>0)，则f(x)为增函数的充要条件是f(x)＝ax(＋bx) ．8设2－4ac>0 B．b>0，c>0 A．b2－3ac≤．b0 ．b＝0，c>0 DC9．下列区间中，使函数y＝xsin x＋cos x为增函数的区间是() π3πA．() B．(π，2π) ，223π5πC．() D．(2π，3π) ，221132＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6ax＝若函数10．f(x)x－，＋∞)上32) (的取值范围为a则实数，为增函数． A．(－∞，0] B．[－1，3] C．[3，5] D．[5，7] 1132－2ax＋2a＋1的图像经过四个象限，函数f(x)＝ax则实数＋axa的取值范围是11．32() 363A．a>－B．－ 2－ln x在区间(k－1，k＋．[2014·漳州质检]若函数f(x)＝2x1)上有定义且不是单调13函数，则实数k的取值范围为________． 12－2x(a∈R)．若函数f( f(x)＝lnx－axx)在定义2014·14．(10分)[商丘三模]已知函数2域内单调递增，求a的取值范围． 3＋ax＋b相切于点A(1＋1与曲线f(x)＝x，直线．15(13分)[2014·河南新乡三模] y＝kx3)．(1)求f(x)； 3＋x(t∈R)，讨论函数g(＋(t－1)x－xx)的单调性．lng(x)(2)若＝f(x)＋x难点突破 a16．(12分)[2014·吉林三模]已知函数f(x)＝ln x－，其中a∈R. x(1)当a＝－1时，判断f(x)的单调性； 的取值范围．a求实数，在其定义域内为减函数ax＋)x(f＝)x(g若(2)． 课时作业(十四)[第14讲第2课时导数与函数的极值、最值] (时间：45分钟分值：60分) 基础热身 32－4在x＝2处取得极值已知函数f(x)＝－x，＋ax若1．(12分)[2014·黄冈中学模拟]m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值． 1－m＋ln x2．(12分)[2014·银川一中四模]已知函数f(x)＝，m∈R. x(1)若m＝1，判断函数在定义域内的单调性； (2)若函数在区间(1，e)内存在极值，求实数m的取值范围． 能力提升 112－xx. ＝ln x－)[2014·河南长葛三模]设函数f(x)3．(12分42(1)求函数f(x)的极值； 12＋1]，当x>1时，g(x)在区间(n，n＋(2)若g(x)＝x[f(x)＋x1)内存在极值，求整数n的4值．x－a－＝ln x2015·山西四校联考]已知函数f(x)4．(12分)[，其中a为常数，且a>0. x(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求函数f(x)的单调递减区间； 1(2)若函数f(x)在区间[1，3]上的最小值为，求a的值．3难点突破 2＋ax－ln x(a∈R)．分)[2014·兰州模拟]已知函数f(x)＝－x(125．1??在区间)(x3时，求函数f(1)当a＝，2上的最大值和最小值；??21(2)当函数f(x)在区间(，2)上单调时，求a的取值范 围2课时作业(十三) 2x22(ln xx＋1)＝xln x＋＝x(2ln 2y由导数的计算公式得′＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝1．C[解析] x22 x．)x＋1)＝xln(e＝，得f(1)f(1)＋1＝0上，所以(1))在直线x－2y＋1＝01－2解析2．D[] 因为点(1，f112. ×＝＝′(1)1＋2又f′(1)＝，所以f(1)＋2f1.222xxxx] xy3ln [3A处的切线的斜率为设切点 的横坐标为在，因为曲线解析＝＝．－4001 3. 2)3(xx，所以舍去，即切点的横坐标为，解得＝＝－200）1－（x＋x－12 ＝＝－，[解析] ∵y′B4．22）（x－11（x－）?2－1?2. a＝－＝y′＝－＝，∴－a2，即∴22）－1（3?3＝x12处切线的斜率分别＝，所以两曲线在＋23＝y，＝y] [15．解析由题知′′x－x2xx2012x 22＋－2x3x10021. ＝3，解得x－2x＋2，所以＝为，3x22000xx00?12?两点的(2，3)，即过(1，k)，当＋x＝1时，有y′和＝2k＋16.[解析] y′＝2kx x3?1x＝k－32. ＝＝，于是得k1，即2k＋1切线的斜率为2k＋312－33点坐标为3，即Px＝1，代入切线方程得y＝] y′＝＋1，∴＋1＝4，得解析7．A[000xx02. ，解得k＝，代入曲线方程得3＝1＋k(1，3)(0)∴f′2x－4，(1)＝－2，∴f′(x)＝，2x＋2f′(1)∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′解析8．B[] ∵f′(x)＝4. ＝－1x，得ln (x)＝2013ln ＋x·＝2013＋x．由f′9．B[解析] 由题意可知f′(x)＝2012＋ln x 00x1. x＝＝0，解得02以，所最大值为5，因为f′(x)知解析] 易f′(x)＝－2x的＋4ax＋310．B[2a162）×3－4×（－13223，(1)＝3x)＝－x，＋2xf＋＝5，解得a＝1(舍去a＝－1)，所以f(x 33）24×（－130. ＝3y－2－＝5(x1)，即15x－f′(1)＝5，所以切线方程为y－3??x22x－－??处的e2)(0，＋1] y′－＝(2e)在点＝－2，故曲线y＝11．A[解析??0＝x＝0x22），故围，x的交点分别为(1，0)，（切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝33112. ×＝成的三角形的面积为×1323?1－α?，该切线过＝α(x－＝αx1)，y′＝α，所以切线方程为y－212．2[解析] y′?1x＝2. 原点，得α＝112，故1舍)或x＝－x－1＝0，解得x＝－(解析13.2[] y′＝2x－，令y′＝1，得方程2x2x2的y＝x－x2－ln x的切线的切点坐标为(1，1)，该点到直线与直线y＝x－2 平行的曲线y＝距离d即为所求．＝22．(a＋2)＋2(1－a)x－a14．解：f′(x)＝3x，）＝b＝0f（0?? (1)由题意得?，＋2）＝－3f′（0）＝－a（a??，b＝0??解得?1.＝－3或a??存在两条垂直于y 轴的切线，∵曲线y＝f(x)(2)2 0有两个不相等的实数根，a(a＋2)3x)＝x＝＋2(1－a)x－x∴关于的方程f′(2，＋12a(a∴Δ＝4(1－a)2)>0＋22 a＋1)，4a>0＋4a＋1＝(2即1 ，∴a≠－211. (－，＋∞)∴a的取值范围是(－∞，－)∪222 x＝3x，－2(时，(1)当a＝1f(2)＝14，f′ x)15．解：，′(2)＝8处的切线斜率x)在点(2，f(2))k＝f(∴曲线y＝f0. ＝x－y－28x－f)f(x在点(2，(2))处的切线方程为y14＝8(－2)，即＝∴曲线y310＋x100 x>＋，＝a)<0xf(2)由(得2200xx00． 1020设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g′(x)＝1－，32xx∵1≤x≤2， ∴g′(x)<0，∴g(x)在区间[1，2]上是减函数， 99∴g(x)＝g(2)＝，∴a>，min229即实数a的取值范围是(，＋∞). 27116．解：(1)易知方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝，又f′(x)＝a 42bb1b73＋，所以2a－＝，且a＋＝，解得a＝1，b＝3，故f(x)＝x－. 2224x4x(2)证明：设P(x，y)为曲线上任一点，0033由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x，y)处的切线方程为y －y＝1＋·(x－x)，即y－x2200000xx033－＝1＋(x－x)．20xx0066令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－. xx00令y＝x，得y＝x＝2x，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x，2x)．00016所以点P(x，y)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为－|2x|＝6，000x20故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 课时作业(十四)(第1课时) xxx，令f′(x)>0，解得x3)(e>2. )′＝(x－2)e[解析] f′(x)＝(x－3)′e＋(x－1．D2x－992．C[解析] f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得－3 xaxxax－－为偶函数，所以g(x)－axe＝g＝A[解析] f′(x)e(－ae－3．e＝x(xf′x)，所以g(x)＝xaxxax－－对任意的实数x恒成立，从而a＝＋axe1.x)，即xe故选－axeA. ＝－xe2－12＝3(x＋2)(x－2)，可知函数在区间(－∞，－] 由f′(x)＝3x2)，(2，＋4．D[解析∞)上单调递增，在区间(－2，2)上单调递减． 222－2ax<0，当a>0时，得0 31992－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)．当x－<0解析6．1 2＋2x＋m≥0′(x)＝3x在由题意知，函数7．D[解析] f(x)是R上的单调增函数，∴f1R上恒成立，即Δ＝4－12m≤0，∴m≥. 322＋23axbx(x)≥0恒成立，即f＋2bx＋c，若(x)为增函数，则f′3解析8．D[] f′(x)＝ax22－3ac ≤≤0，即b0. 0(a>0)恒成立，所以有Δ＝4b12－ac＋c≥3π5π9．C[解析] y′＝xcos x，当x∈(，)时，cos x>0，所以y′＝xcos x>0，此时函数y22＝xsin x＋cos x为增函数． 2－ax＋a－1，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝x] D10．[解析f′()＝xa－1. 当a－1≤1，即a≤2时，f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意； 当a－1>1，即a>2时，f(x)在区间(－∞，1)上为增函数，在区间(1，a－1)上为减函数，上为增)，＋∞(6上为减函数，在区间4)，(1上为增函数．∵函数在区间)，＋∞1－a(在区间． 函数，∴4≤a－1≤6，解得5≤a≤7. 2＋ax－2a＝a(x－1)(x＋2)．若a＜0，则当x＜－2或x＞111．B[解析] f′(x)＝ax时， f′(x)＜0，当－2＜x＜1时，f′(x)＞0，要使f(x)的图像经过四个象限，须有f(－2)＜0，－8a＋24a＋3<0，??63?解得－ f(1)＞0，即且11516a＋a＋1>0，??2313322－3x＋a，又函数f(x)的单调递减ax＋4，∴f′(x)＝12．－4[解析] ∵f(x)＝xx－x＋32区间为[－1，4]，∴－1，4是f′(x)＝0的两根，∴a＝(－1)×4＝－4. （2x－1）（2x＋1）113113．1≤k<[解析] 由f′(x)＝4x－＝＝0，得x＝x＝－舍去．当 2xx22111x∈0，时，f′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，即函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在22211区间(，＋∞)上单调递增，所以x＝为函数 f(x)的极值点．函数在区间(k－1，k＋1)上有定2213义且不是单调函数，即在区间(k－1，k ＋1)内有极值点，所以0≤k－1< 222＋2x－ax114．解：f′(x)＝－(x>0)．x2＋2x－1≤0>0时恒成立，即ax在x>0时恒成立，依题意f′(x)≥0在x1－2x12－1在x>0时恒成立，则a≤＝－12xx1??2－1－1(xa即≤>0)，??x min12－1取最小值－1，当x＝1时，－1x∴a的取值范围是(－∞，－1]． 15．解：(1)将点A(1，3)的坐标代入直线y＝kx＋1，得3＝k＋1，∴k＝2. 2＋a，∴f′(1)＝3＋a ＝′(x)＝3x2，∴a＝－1. ∵f3－x＋b，x)＝x 3)将点A(1，的坐标代入f(3－1＋b＝3，∴b＝3. 得f(1)＝13－x＋3. (x)＝xf∴13＋x＝ln x＋(t－1)x＋3，g′(－＋(t－1)xxx)＝＋t－1(x>0)．ln x(2)g()＝f(x)＋x x当t－1≥0，即t≥1时，g′(x)>0， ∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当t－1<0，即t<1时， 11由g′(x)>0，得0 11当t<1时，g(x)在区间(0，)上单调递增，在区间(，＋∞)上单调递减．t11－－tx －116．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时f′(x)＝，2x当0 所以f(x)在区间(0，1)上为减函数，在区间(1，＋∞)上为增函数． 2＋x＋axaa(2)g(x)＝f(x)＋ax＝ln x－＋ax，g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以g′(x)＝，2 xx 在其定义域内为减函数，)x(g因为 所以对任意x∈(0，＋∞)，g′(x)≤0， －x－x22＋1)≤－x?a≤，故a≤. ＋x＋a≤0?a(x所以ax22min1＋1xx＋－xx111又＝≤，所以≥－， 222121＋1xx＋x＋x1当且仅当x＝1时取等号，所以a≤－. 2课时作业(十四)(第2课时) 2＋2ax，)＝－3x 对函数f(x)求导得f′(x1．解：由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3， 32－4，＋3x(由此可得fx)＝－x2＋6x＝－3x(xx)＝－3x－2)．f′(易知f(x)在区间(－1，0)上单调递减，在区间(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)＝f(0)＝－4. min2＋6x3x的图像开口向下，又∵f′(x)＝－且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1，1]时， f′(n)＝f′(－1)＝－9. min故f(m)＋f′(n)的最小值为－13. 2．解：(1)显然函数的定义域为(0，＋∞)，若m＝1， 1－ln x则f′(x)＝. 2x令f′(x)＝0，得x＝e. 当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． m－ln x(2)f′(x)＝. 2x m. e，得x＝′(x)＝0令f m)时，f′(x)>0，f(当x∈(0，ex)单调递增； m，＋∞)时，f′(x)<0，(e当x∈f(x)单调递减． m时，f(x＝e)有极大值，根据题意得，故当x m 2－x－x＋21113．解：(1)f′(x)＝－x－＝(x>0)，x22x2令f′(x)＝0，解得x＝1(x＝－2舍去)， 根据x，f′(x)，f(x)的变化情况，列出表格． 3由上表可知函数f(x)在x＝1处取得极大值－，无极小值．41122＋x，ln x－x(x)＋x＋1＝xx(2)g()＝xf42g′(x)＝ln x＋1－x＋1＝ln x－x＋2. 1－x1令h(x)＝ln x－x＋2，则h′(x)＝－1＝，xx因为x>1，所以h′(x)<0恒成立，所以h(x)在区间(1，＋∞)上为单调递减函数， 因为h(1)＝1>0，h(2)＝ln 2>0，h(3)＝ln 3－1>0，h(4)＝ln 4－2<0， 所以h(x)在区间(3，4)内有零点x，且函数g(x)在区间(3，x)和(x 上单调性相反，4)，000． 1)内存在极值，，n＋因此，当n＝3时，g(x)在区间(n3. n＝所以ax－－a）x－（x1 >0)．＝(x4．解：f′(x)＝－22xxx 垂直，x ＋1(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝f(1)因为曲线y＝2. ＝1，解得a所以f′(1)＝－1，即1－a＝－2－－2xx. ＝(x)(x)＝ln x－，f′当a＝2时，f2xx2x－，2)．0 ＝e综上，a32）－11）（2xx－3x＋1（2x－1)xf′()＝－2x＋3－＝－＝－，令解：5．(1)当a ＝3时，f′(x xxx11. 或x＝＝0，解得x＝21 x)<0，)∪(1，＋∞)时，f′(0当x∈(，2111，(f(x)>0，故(x)在区间(1)在区间(0，)和，＋∞)上单调递减；当x∈(，1)时，f′(故fx222 上单调递增．1)1 ，[，2]上的极大值点为x＝1f所以函数(x)在区间21??2，2. 上的最大值是f(1)＝故这个极大值点也是最大值点，故函数f(x)在区间??2315 2ln 2<0，ln 2＝－(2又f(2)－f()＝－ln 2)－＋4241 f(2)<所以21??2，ln 2. ＝得函数在区间2－上的最小值为f(2)??211 ，＋－，令g(x)＝2xx(2)f′()＝－2x＋a xx2211 )上单调递减，在区间，(2)上单调递增，)＝则g′(x)2－，则函数g(x在区间(，2 222x91192). 2，上的值域为[2 (，得函数g(x)在区间，2)＝3g(由)＝，g(2)，g()2 ＝2222221 2)上恒成立，0≤在区间(，(若要使f′x)211≤2 2a2)(在区间＋2a则≤x，上恒成立，只需即可； 2x 1 上恒成立，(，2)在区间f′(x)≥0若要使2911 即可．a2)上恒成立，只需≥(2则a≥x＋在区间，22x9??，＋∞∪2]－∞，的取值范围是故. a( 2 ??2．