奥数-绝对值-第4讲
第四讲 绝对值
绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想——分类讨论。分类讨论在数学分析中是经常遇到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一定要熟练掌握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础。
一、基础知识
●
绝对值的定义与性质（注意它的非负性）
定义：绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)
a a a a a a >??==??-
性质： ① 非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③|b a |=|
|||b a （b ≠0）； ④2
22||||a a a ==；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
● 绝对值的几何意义
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 ①) a 表示a 点到0点的距离
②) a b -表示a 点到b 点的距离
③) a b +表示a 点到-b 点的距离
● 分类讨论思想（零点分段法）
利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。 例 设a 是有理数，求a a +的值
二、例题
第一部分 定义和性质
例1. 若a,b 为有理数，那么，下列判断中：
（1）若|a|=b ，则一定有a=b ； (2)若|a|>|b|，则一定有a>b ； (3)若|a|>b,则一定有|a|>|b|； (4)若|a|=b ，则一定有22)(b a -=。正确的是________。（填序号）
例2. （1）已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=_______．
(北京市“迎春杯”竞赛题)
(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数，|a-b|≤9，|c-d|≤16，且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|-|d-c|=_______． (第14届“希望杯”邀请赛试题)
例3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么|
|||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．
A ．0
B ．1或一1
C ．2或一2
D ．0或一2
(2003年山东省竞赛题)
例4. 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式
)
2002)(2002(1)2)(2(1)1)((11+++++++++b a b a b b a ab 的值.
例5. 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？
例6. 已知|11-x |+|22-x |+|33-x |+…+|20022002-x |+|20032003-x |=0,求代数式
2003200232122222x x x x x +---- 的值。
第二部分 几何意义
例7. 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值
例8. 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值
例9. 已知1996y x a x x a =-+++--，如果1996a <<，96a x ≤≤，那么y 的最大值是多少？
例10. 已知a 为有理数，那么代数式|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|的取值有没有最小值?如果有，试求
出这个最小值；如果没有，请说明理由．
第三部分 化简（零点分段法、讨论思想）
例11. 化简
(1)|2x-1|；
(2)|x-1|-|x-3|；
(3)||x-1|-2|+|x+1|．
例12. 化简121x x --++
例13.
若20a -≤≤，化简22a a ++-
第四部分 解方程
例14. 解方程 1、4329x x +=+
2、324x x -+=
例15. 解下列方程
1、4835x x +-=
2、33258x x x +--=+
三、练习题
1. 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求
2x y x y +-的值
2. a 与b 互为相反数，且|a-b|=54,那么。________1
2=+++-ab a b ab a
3. 已知|a|=5,|b|=3,且|a －b|=b-a,那么a+b=________.
4. 已知a 是任意有理数，则|-a|-a 的值是( )．
A.必大于零
B.必小于零 C ．必不大于零 D ．必不小于零
5. 若x<-2,则|1-|1+x||=______；若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|=________。
6. 已知5434x x -≤-，求13x x --+的最大值与最小值。
7. 已知2
()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______
8. 已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，-1，那么|a+1|表示( )．
A. A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离
C. A 、B 两点到原点的距离之和 D ．A 、C 两点到原点的距离之和
(第15届江苏省竞赛题)
9. 设a b c d <<<,求y x a x b x c x d =-+-+-+-的最小值。
10. 解方程 23143x x x +--=-
11. 化简523x x ++-
12. 化简：（1）|3x-2|+|2x+3|； （2）||x-1|-3|+|3x+1|.
课外小故事
将军打靶
——何必靶靶十环
一次，一名将军观摩麾下军队的射击训I 练。当他看到士兵们射击训练的状况后，摇了摇头。这时大家纷纷要求将军做一下示范，将军欣然应允。
第一枪清脆有力，然而报靶士兵却高声喊道：“八环!”整个靶场的空气在瞬间似乎都紧缩了一下，只有将军本人不露声色。毕竟将军年事已高，偶尔一靶失常也是可以理解的，于是人们依旧屏息等着下一枪。谁想，后几枪并没有改善，最好的也就八环，甚至还有几枪几乎都快脱靶了!于是现场的官兵们在惊骇的同时开始骚动不安，各种风凉话也开始涌动起来，甚至可以隐隐听到讥笑声。将军依旧一言不发。 但就在这时，一名眼尖的士兵突然失声叫道：“看呐!将军的靶眼连起来，不正是一个标准的正五角星吗?”众皆愕然。良久，整个靶场终于爆发出了经久不息的掌声。