上海昆明学校数学代数式单元测试题(Word版 含解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初

出售，可获利15﹪，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利10﹪；如果月末出售可获利30﹪，但要付出仓储费用700元．

（1）若商场投资元，分别用含的代数式表示月初出售和月末出售所获得的利润；（2）若商场投资40000元，问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？

【答案】（1）由题意可得：

该商月初出售时的利润为：15%x+（1+15%）×10%x=0.265（元）；

该商月末出售时的利润为：30%x-700=（0.3x-700）（元）；

（2）当x=40000时，

该商月初出售时的利润为：0.265×40000=10600（元），

该商月末出售时的利润为：0.3×40000-700=11300（元），

∵11300＞10600，

∴选择月末出售这种方式，

即若商场投资40000元，选择月末销售方式获利较多，此时获利11300元．

【解析】【分析】（1）根据题意列代数式表示出月初出售和月末出售两种销售方式获得的利润即可；

（2）将x=40000分别代入（1）中的代数式求值，通过比较，即可得解。

2．A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别：A公司，年薪20000元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪10000元，每半年加工龄工资50元．

（1）第二年的年待遇：A公司为________元，B公司为________元；

（2）若要在两公司工作n年，从经济收入的角度考虑，选择哪家公司有利（不考虑利率等因素的影响）？请通过列式计算说明理由．

【答案】（1）20200；20250

（2）解：A公司：20000+200（n-1）=200n+19800

B公司：10000+50(2n-2)+10000+50（2n-1）=200n+19850，

∴从应聘者的角度考虑的话，选择B家公司有利．

【解析】【解析】（1）解:A公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：20000+200=20200元；

B公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：1000+50×2+1000+50×3=20250元；

【分析】（1）根据第二年的年待遇等于年薪+工龄工资，即可算出;

(2)分别表示出第n年在A,B两家公司工作的年收入，再比较大小即可。

3．请观察图形，并探究和解决下列问题：

（1）在第n个图形中，每一横行共有________个正方形，每一竖列共有________个正方形；

（2）在铺设第n个图形时，共有________个正方形；

（3）某工人需用黑白两种木板按图铺设地面，如果每块黑板成本为8元，每块白木板成本6元，铺设当n=5的图形时，共需花多少钱购买木板？

【答案】（1）（n+3）；（n+2）

（2）（n+2）（n+3）

（3）解：当n=5时，有白木板5×（5+1）=30块，黑木板7×8-30=26块，

共需花费26×8+30×6=388（元）．

【解析】【解答】⑴第n个图形的木板的每行有（n+3）个，每列有n+2个，

故答案为：（n+3）、（n+2）；

⑵所用木板的总块数（n+2）（n+3），

故答案为：（n+2）（n+3）；

【分析】本题主要考查的是探索图形规律，并根据所找到的规律求值；根据所给图形找出正方形个数的规律是解决问题的关键.

4．已知A，B在数轴上分别表示的数为m、n．

（1）对照数轴完成下表：

m 5﹣3﹣4﹣4

n 2 0 3﹣2

A、B两点间的距离________ 3________________

（3）已知A，B在数轴上分别表示的数为x和﹣2，则A、B两点的距离d可表示为d=|x+2|，如果d=3，求x的值．

（4）若数轴上表示数m的点位于﹣5和3之间，求|m+5|+|m﹣3|的值．

【答案】（1）3；7；2

（2）解：d=|m﹣n|，文字描述为：数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值（3）解：d=|x+2|

根据题意得出：d=|x﹣（﹣2）|=|x+2|，

如果d=3，那么3=|x+2|，

解得x=1或﹣5

（4）解：根据题意得出：∵﹣5＜m＜3，

∴|m+5|+|m﹣3|=|5+3|=8

【解析】【解答】解：（1）填表如下：

【分析】（1）结合数轴，得出两点间的距离公式，即可求解。若A，B在数轴上分别表示的数为m、n，A，B两点间的距离为d，则d=|m﹣n|，根据此公式即可求解。

（2）根据（1）可得出结论。

（3）将d=3代入d=|x+2|，建立方程求解。

（4）根据已知可知﹣5＜m＜3，得出m+5＞0，m-3＜0，则|m+5|=m+5，|m﹣3|=-（m-3）,就可得出结果。

5．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．

（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．

（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．

【答案】（1）解：∵ x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6，

∴m=3．k=6；

（2）解：∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=（x﹣3）2+a﹣9=（x﹣b）2﹣1，

∴b=3，a﹣9=﹣1，即a=8，b=3，

∴b﹣a=﹣5．

【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的结构，按照要求x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6，可知m=3．k=6，从而得出答案．

（2）根据完全平方公式的结构，按照要求x2-6x+a=x2-6x+9-9+a=（x-3）2+a-9=（x-b）2-1，即可知b=3，a-9=-1，然后将求得的a、b的值代入b-a，并求值即可.注意完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

6．如图，有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b)，按如图1、2所示的方式摆放，设图1中阴影部分的面积之和为S1，图2中阴影部分的面积为S2。

（1）用含a，b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。

（2）当S1+3S2= b2时，求a：b的值。

【答案】（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a2-8ab+6b2

S2=b2-(a-b)2=2ab-a2

（2）解：∵S1+3S2= b2，

∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a2)= b2

化简得：5b2=4ab，

∵b≠0，

∴两边同除以b，得：5b=4a，

∴a：b=5：4

【解析】【分析】（1）根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形，其边长为（a-b），中间的小正方形应该是(2b-a) ，然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式S1=2(a-b)2+(2b-a)2，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；由图2可知：阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为（a-b）的正方形的面积，从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；

（2）根据（1）的计算结果，由 S1+3S2= b2列出方程，化简即可得出答案.

7．已知M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c.

（1）则a＝________，b＝________，c＝________.

（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C 的距离和为40个单位？

（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点

P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当＜t＜时，求2|x P ﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|的值.

【答案】（1）﹣24；﹣10；10

（2）解：①当点P在线段AB上时，14＋（34﹣4t）＝40，解得t＝2.

②当点P在线段BC上时，34＋（4t﹣14）＝40，解得t＝5，

③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t-14）+（4t-34）=40，解得t= ,不符合题意，排除，

∴t＝2s或5s时，P到A、B、C的距离和为40个单位.

（3）解：当点P追上T的时间t1= .

当Q追上T的时间t2= .

当Q追上P的时间t3= =20，

∴当＜t＜时，位置如图，

∴2|x P﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|

＝2(3t－14)＋34－4t＋2(20－t)6t－28＋34－4t＋40－2t

＝74－28

＝46.

【解析】【解答】解：（1）∵M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，∴a＋24＝0，b＝﹣10，c＝10，∴a＝﹣24，

故答案为﹣24，﹣10，10.

【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）分三种情形，分别构建方程即可解决问题；（3）当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2=

.当Q追上P的时间t3= =20，推出当＜t＜时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题.

8．将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB=a．

小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关.

（1）根据小明的发现，用代数式表示阴影部分⑥的周长________．

（2）阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形________（填编号）的边长有关，请计算说明.________

【答案】（1）2a

（2）②

；解：设②的边长是m.

∴阴影部分⑤的周长是2(a-m).

∴阴影部分⑥-阴影部分⑤=2a-2(a-m)=2m

【解析】【解答】解（1）设长方形⑥的长为x, 宽为y, 则x+y=a, 周长=2(x+y)=2a.

【分析】（1）设长方形⑥的长为x, 宽为y, 因为这个长方形的长与宽之和为a, 则周长为2a.

（2）设②的边长是m，把⑤的周长用含m和a的代数式表示，再计算阴影部分⑥的周长和阴影部分⑤的周长之差即可，其结果正好等于正方形②的周长.

9．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话：

妈妈：“上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”；

爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了25%，排骨的单价上涨了20%”请根据上面的对话信息回答下列问题：

（1）请用含的式子填空：上个月排骨的单价是________元/斤，这个月萝卜的单价是________元/斤，排骨的单价是________元/斤。

（2）列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（结果要求化成最简）

（3）当a＝4，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？【答案】（1）7a+2；125%a；8.4a+2.4

（2）解：今天买的萝卜和排骨花的钱数为3×125%a+2×（8.4a+2.4）；

上个月买的萝卜和排骨花的钱数为3×a+2×(7a+2)

故今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花的钱数为

[3×125%a+2×（8.4a+2.4）]-[ 3×a+2×(7a+2)]= 3.55a+0.8(元)

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花（3.55a+0.8）元；

（3）解：把＝4代入3.55a+0.8=3.55×4+0.8=15（元）

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花15元.

【解析】【解答】（1）∵上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元

∴上个月排骨的单价是(7a+2)元/斤；

这个月萝卜的单价是（1+25%）a=125%a元/斤;

这个月排骨的单价是（1+20%）(7a+2)=（8.4a+2.4）元/斤

故填：7a+2,125%a,8.4a+2.4;

【分析】（1）根据题意即可写出上个月排骨的单价、这个月萝卜的单价及排骨的单价；（2）计算两次买的价钱，再相减即可求解；（3）把a=4代入即可求解.

10．已知多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b．

（1）设a与b分别对应数轴上的点A、点B，请直接写出a＝________，b＝________，并在数轴上确定点A、点B的位置；

（2）在（1）的条件下，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向B运动，运动时间为t 秒：

①若PA﹣PB＝6，求t的值，并写出此时点P所表示的数；

②若点P从点A出发，到达点B后再以相同的速度返回点A，在返回过程中，求当OP＝3时，t为何值？

【答案】（1）﹣4；6

（2）解：①∵PA＝2t，AB＝6﹣（﹣4）＝10，

∴PB＝AB﹣PA＝10﹣2t．

∵PA﹣PB＝6，

∴2t﹣（10﹣2t）＝6，解得t＝4，

此时点P所表示的数为﹣4+2t＝﹣4+2×4＝4；

②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：

（Ⅰ）如果P在原点右边，那么AB+BP＝10+（6﹣3）＝13，t＝；

（Ⅱ）如果P在原点左边，那么AB+BP＝10+（6+3）＝19，t＝．

【解析】【解答】（1）∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b，

∴a＝﹣4，b＝6．

如图所示：

故答案为﹣4，6；

【分析】（1）根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a，b的值，然后在数轴上表示

即可；（2）①根据PA﹣PB＝6列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得到点P所表示的数；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）P在原点右边；（Ⅱ）P 在原点左边．分别求出点P运动的路程，再除以速度即可．

11．若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数

例如：有理数与3，因为＋3＝ 3．所以有理数与与3是互为相依数

（1）直接判断下列两组有理数是否互为相依数，

①－5与－2 ②－3与

（2）若有理数与 -7 互为相依数，求m的值；

（3）若有理数a与b互为相依数，b与c互为相反数，求式子

的值

（4）对于有理数a（a 0，1），对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；….;依次按如上的操

作得到一组数 , , ,…, . 若a= ,试着直接写出 , , ,…, 的和.

【答案】（1）解：若a与b互为相依数，则a+b=ab，

①∵（-5）+（-2）=-7，

（-5）×（-2）=10，

∴（-5）+（-2）≠（-5）×（-2）

∴-5与-2不互为相依数.

②∵-3+=-，

-3×=-，

∴-3+=-3×，

∴-3与互为相依数.

（2）解：∵与-7互为相依数，依题可得：

+（-7）=×（-7），

解得：m=

∴m的值为.

（3）解：依题可得：

a+b=ab，b+c=0，

∴原式=5ab+7c-5a+2b-4，

=5（a+b）+7c-5a+2b-4，

=5a+5b+7c-5a+2b-4，

=7（b+c）-4，

=7×0-4，

=-4.

（4）解：依题可得：

a+a1=a·a1，

解得：a1=，

∵a2为的a1倒数，

∴a2=，

依此类推：

a3=1-a，

a4=，

a5=，

a6=a，

由此可得：这一组数的周期为6，

∵a=，

∴a1=5，a2=， a3=-， a4=-4，a5=， a6=，

∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=5+--4++=3，

∴a1+a2+a3+a4+a5+a6+……+a2018，

=336×3+a2017+a2018，

=336×3+a1+a2，

=336×3+5+，

=1013.

【解析】【分析】（1）根据题中给出两个有理数互为相依数的概念即可判断.

（2）根据题中给出互为相依数的定义列出方程，解之即可.

（3）根据题意得出a+b=ab，b+c=0，再将原整式化简，计算即可得出答案.

（4）根据题意求得a1=，a2=，a3=1-a，a4=，a5=，a6=a，由此可

得：这一组数的周期为6，将a=代入、可得：a1=5，a2=，a3=-，a4=-4，a5=，

a6=，先求出a1+a2+a3+a4+a5+a6的和为3，再根据a1+a2+a3+a4+a5+a6+……+a2018=336×3+a1+a2，代入计算即可.

12．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝．

利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：

（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离为________

（2）数轴上表示和1两点之间的距离为________，数轴上表示和两点之间的距离为________

（3）若表示一个实数，且，化简，

（4）的最小值为________，

的最小值为________.

（5）的最大值为________

【答案】（1）4；3

（2）；

（3）8

（4）7；6

（5）4

【解析】【解答】解：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离，

数轴上表示1和的两点之间的距离；

( 2 )数轴上表示和1两点之间的距离，

数轴上表示和两点之间的距离；

( 3 )∵，

∴ ;

( 4 )∵的几何意义为到-3与到4的距离和，

∴取最小值时，在-3与4之间，即最小值，

同理可得的最小值为6；

( 5 )∵取最大值时，最小，

∴，，

∴最大值 .

【分析】（1）（2）根据数轴上表示的任意两点间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值即可得出答案；

（3）根据x的取值范围，根据有理数的减法法则判断出绝对值符号里面运算结果的正负，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再合并同类项即可；

（4）根据题意表示x与-3距离和x与4的距离的和，要求距离和的最小值，根据两点之间距离最短从而得出当x介于-3 与4之间的任意一个位置的时候，其和就是最短的，根据有理数的减法法则判断出绝对值符号里面运算结果的正负，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；同理算出

的最小值；

（5）取最大值时，最小，根据绝对值的非负性即可得出，，从而代入即可算出答案。