高中数学必修二经典练习题
高中数学必修二经典练
习题
Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
高一数学必修二第二章经典练习题
第I卷（选择题）
请修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一、单项选择
1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）．
①平行于同一条直线的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③平行于同一个平面的两条直线互相平行
④垂直于不一个平面的两条直线互相平行
A．仅②不正确B．仅①、④正确
C．仅①正确D．四个命题都正确
2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（）
A 不存在与a平行的直线
B 不存在与a垂直的直线
C 与a垂直的直线只有一条
D 与a平行的直线有无数条
3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（）
A 必有外接圆
B 必有内切圆
C 既有内切圆又有外接圆
D 必是正方形
4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝
2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )
A．不存在B．只有1个 C．恰有4个
D．有无数多个
7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（）
A 是非等腰的直角三角形
B 是等腰直角三角形
C 是等边三角形
D 不是A、B、C所述的三角形
8. 已知正四棱锥S ABCD
的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE SD
，所成的角的余弦值为( )
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
3
D.
2
3
9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED 与D1F所成角的大小是（）
A．
1
5
B。
1
3
C。
1
2
D。
3
2
10. 已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( )
A.若//,,//m n m n αα?则
B.若,,m m n n αβα?=⊥⊥则
C.若//,//,//m n m n αα则
D.若//,,,//m m n m n αβαβ?=则
11. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90
12. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β?，则//αβ是
l m ⊥的
A .充要条件
B .充分不必要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
13. 设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，下列命题中是真命题的是 （ ）
A ．
////b b c c αα????? B ．////b c b c αα??
???
C ．//c c ααββ??⊥?⊥?
D ．//c c αβαβ??⊥?⊥?
14. 在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）
15. 在正方体1111D C B A ABCD -中,O 为正方形ABCD 中心,则O A 1与平面ABCD 所成角的正切值为( ) A.2 B.22 D.3
3
16. 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11A C 的中点，则直线CE 垂直于（ ）
A AC
B BD
C 1A
D D 11A D
17. 四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．1或4
18. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是( )
A ．若a ，b 与α所成角相等，则a ∥b
B ．若a ∥α，b ∥β，α⊥β，则a ⊥b
C ．若a α，b β，a ⊥b ，则α⊥β
D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b
A ．点H 是1A BD ?的垂心
B ．AH 垂直平面11CB D
C ．AH 的延长线经过点1C
D ．直线AH 和1BB 所成角为45
29. 空间四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是（ ） A ．菱形 B ．矩形 C ．梯形 D ．正方形
30. 命题：（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影；（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线；（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线；（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角。以上命题正确的有 （ ） A 0个 B 1个 C 2个 D3个
31. 正四棱锥P ABCD -的所有棱长相等,E 为PC 的中点,那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于( ) A.
1
2
B.22
C.23
D.33
32. 对于任意的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m ,使m 与l ( )
(A)平行 （B ）相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
33. 已知a 、b 、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ） A ． 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c B ． 若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交
C ． 若a 在正四棱锥P-ABC
D 中，点P 在底面上的射影为O ，
E 为PC 的中点，则直线AP 与OE 的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．都有可能
35. 三棱锥P －ABC 的四个顶点都在体积为500π
3的球的表面上，△ABC
所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( ) A ．7 B ． C ．8 D ．9
36. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ） （A ） 34 (B) 54 (C) 74 (D) 34
37. 已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ）
A ． //a b ，//b α，则//a α
B ． a ，b α?，//a β，//b β，则//αβ
C ． a α⊥，//b α，则a b ⊥
D ． 当a α?，且b α?时，若b ∥α，则a ∥b
38. 与空间四点距离相等的平面共有（ ） A ．3个或7个 B ．4个或10个 C ．4个或无数个 D ．7个或无数个
39. 已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=?，，，m γ⊥，则有( )
（A ）αγ⊥且//m β （B ）αγ⊥且l m ⊥ （C ）//m β且l m ⊥ （D ）//αβ且αγ⊥
40. 在棱长为1的正方体ABCD-1111D C B A 中，C A 1与平面ABCD 所成的角为( )
A 、6π
B 、
33
arctan
C 、3π
D 、22
arctan
第II 卷（非选择题）
请修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分
二、填空题
41. 已知直线a 和平面βα,,试利用上述三个元素并借助于它们之间的
位置关系,构造出一个条件,使之能判断出α⊥β ,这个条件可以是 .
42. 已知三个平面α、β、γ，α∥β∥γ，a,b 是异面直线，a 与α，β，γ分别交于A 、B 、C 三点，b 与α、β、γ分别交于D 、E 、F 三点，连结AF 交平面β于G ，连结CD 交平面β于H ，则四边形BGEH 必为__________．
43. m 、n 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ①若α⊥m ,β?m ,则βα⊥;
②若α?m ,α?n ,m 、n 是异面直线,则βα⊥; ③若α?m ,α?n ,m ∥β,n ∥β,则α∥β;
④若m =βα ,n ∥m ,α?n ,β?n ,则n ∥α且n ∥β. 其中正确命题序号是 .
44. 已知平面,,αβγ,直线,l m 满足:,,,αγγαγβ⊥==⊥m l l m ,那么
①m β⊥; ②l α⊥; ③βγ⊥; ④αβ⊥.
可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上).
45. 已知平面βα,和直线，给出条件：
①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//.
11题图
（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m . （填所选条件的序号）
评卷人
得分
三、解答题
46. 如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形,且PA=AD=1,AB=2, 120PAB ∠=,90PBC ∠=.
(1)求证:平面PAD ⊥平面PAB ; (2)求三棱锥D －PAC 的体积;
47. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥， AD AB ⊥，
24CD AB ==，2AD =，E 为CD 的中点，将BCE ?沿BE 折起，
使得⊥CO DE ，其中点O 在线段DE 内. （1）求证：CO ⊥平面ABED ；
（2）问CEO ∠(记为θ)多大时, 三棱锥C AOE -的体积最大 最大值为多少
48. 如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥面ABCD,E 是PC 的中点.
求证:(1)PA∥平面BDE (2)平面PAC ⊥平面BDE
A
B
C
D
O
P
E
49. 如图，已知四棱台ABCD –A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1=2.
（ I ）求证：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1； （Ⅱ）求四棱台ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积； （Ⅲ）求二面角B —C 1C —D 的余弦值．
50. 如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '',
DE ,D E ''的中点．
（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；
（2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：
2BO '⊥平面H B G ''．
A '
B
E '
C
C '
E
A
B '
D
D '
G
H '
2O
1O '
2O '
参考答案
一、单项选择
1.【答案】B
【解析】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α?b ，α?c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．
③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，
ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．
④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
【解析】∵AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，∴A 不成立；又平面PAB ⊥平面PAE ，∴平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；∵BC ∥AD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴D 正确．
5.【答案】D
6.【答案】D
【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m 、n ，直线m 、n 确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．
7.【答案】C
8.【答案】连接AC 、BD 交于O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AEO 为所求.设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO 中,OE ＝1,AO ＝2,AE=3122=-, 于是3
3
3
11
32)2(1)3(cos 2
22=
=
??-+=
∠AEO 【答案】C
9.【答案】A 10.【答案】D
11.【答案】C
【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，
AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为ADE ∠，设AB a =，则3AE a =
，2
a
DE =，即有0tan 3,60ADE ADE ∠=∴∠=．
12.【答案】B 13.【答案】C 14.【答案】A
【解析】∵CD 在平面BCD 内，AB 是平面BCD 的斜线，由三垂线定理可得A.
15.【答案】A
16.【答案】B 17.【答案】D
【解析】可以是平面四边形，也可以是空间四边形，所以正确选项为D.
18.【答案】 D
【解析】正四棱锥P －ABCD 中，PA 、PC 与底面ABCD 所成角相等，但PA 与PC 相交，∴A 错；如图(1)正方体中，a ∥b ∥c ，满足a ∥α，b ∥β，α⊥β，故B 错；图(2)正方体中，上、下底面为β、α，a 、b 为棱，满足a α，b β，a ⊥b ，但α∥β，故C 错；
19.【答案】Ｃ
【解析】在平面DAB 内过点Ｂ与直线BC 成60°角的直线共有２条，
故在平面DAB内过点Ｐ与直线BC成60°角的直线共有２条。
20.【答案】D
21.【答案】D
依次画出各选项的示意图：
【解析】依次画出各选项的示意图：
显然D不正确，选D
22.【答案】D
【解析】若此四边形是平面图形，则一定是矩形．若为空间图形，则为有三个角为直角的空间四边形．
23.【答案】A
24.【答案】B
【解析】过a与该点作一平面与平面α相交，则交线与a平行，那么在平面α内过该点的直线中，除这一条直线外，其余的与a都不平行，所以正确选项为B.
25.【答案】D
【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D.
26.【答案】C
27.【答案】A
【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内
28.【答案】D
29.【答案】D
【解析】由中位线定理得四边形是平行四边形，再由已知可得相邻两边垂直且相等，所以正确选项为D，即有
1
//
2//
1
//
2
EF AC
EF GH
GH AC
?
??
?
?
?
??
，,
EF AC
EH BD
EF GH EF EH
AC BD
AC BD
?
?
?
?⊥=
?
⊥?
?
=?
又∥
∥
，
∴四边形EFGH是正方形．
30.【答案】A
31.【答案】D
32.【答案】C
33.【答案】C
34.【答案】A
35.【答案】C
【解析】∵△ABC所在小圆面积为16π，
∴小圆半径r＝O′A＝4，
又球体积为
500π
3
，∴
4πR3
3
＝
500π
3
，
∴球半径R＝5，∴OO′＝3，
故三棱锥的高为PO′＝R±OO′＝8或2，故选C.
36.【答案】D
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴
3,3==AS AE ∴ 32=SE ，23=
AF ，∴4
3sin =∠ABF
37.【答案】B 38.【答案】D
【解析】若A 、B 、C 、D 四点不在一个平面内，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．若A 、B 、C 、D 四点在一个平面内，则距离相等的平面有无数个．
39.【答案】B
m m αγαγ?⊥?⊥，，又l m l γ??⊥．
40.【答案】D
二、填空题
41.【答案】???⊥?βαa a 或???⊥β
α
a a //
42.【答案】平行四边形
【解析】由α∥β∥γ，a 与AF 相交于A 有：BG ?面ACF ， ∴ BG ∥CF,同理有：HE ∥CF ，∴BG ∥HE ．同理BH ∥GE ，∴ 四边形BGEH 为平行四边形．
43.【答案】①②
44.【答案】②④
45.【答案】③⑤ ②⑤
【解析】若α?m ，βα//，则β//m ； 若α⊥m ，βα//，则β⊥m 。
三、解答题
46.【答案】(1)证明:∵ABCD 为矩形
∴AD AB ⊥且//AD BC
∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥且AB PB B = ∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ?平面PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB
(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===
由(1)知DA ⊥平面PAB ,且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB 分
∴111sin 3
32
C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -?=?=???∠?11216=??=
47.【答案】（1）在直角梯形ABCD 中，2CD AB =，E 为CD 的中点，则AB DE =,又AB DE ∥，
AD AB ⊥,知BE CD ⊥.在四棱锥C ABEO -中，BE DE ⊥,BE CE ⊥，
CE DE E =，,CE DE ?平面CDE ，则BE ⊥平面CDE .因为CO ?平面CDE ,所
以.BE CO ⊥又CO DE ⊥, 且,BE DE 是平面ABED 内两条相交直线, 故CO ⊥平面
ABED .
(2)由(1)知CO ⊥平面ABED ， 知三棱锥C AOE -的体积111
332
AOE V S OC OE AD OC ?=
?=????
由直角梯形ABCD 中,24CD AB ==，AD =2CE =，得三棱锥C AOE -中，
cos 2cos ,sin 2sin ,OE CE OC CE θθθθ====233
V θ=
≤，
当且仅当πsin 21,0,
2θθ?
?=∈ ??
?，即π4
θ=时取等号，（此时OE DE =<，O 落在
线段DE 内）.故当π
4
θ=
时, 三棱锥C AOE -的体积最大，最大值为3.
48.【答案】(1)∵O 是AC 的中点,E 是PC 的中点,∴OE∥AP,又∵OE ?平面BDE,PA ?平面BDE,∴PA∥平面BDE
(2)∵PO ⊥底面ABCD,∴PO ⊥BD,又∵AC ⊥BD,且AC PO=O∴BD ⊥平面PAC,而BD ?平面BDE,∴平面PAC ⊥平面BDE.
49.【答案】（Ⅰ）∵1AA ⊥平面 ABCD ，∴BD AA ⊥1．
底面ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴．
1AA 与AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线，∴BD ⊥平面11ACC A ．
?BD 平面11B BDD ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．
（Ⅱ）过1D 作AD H D ⊥1于H ，则A A H D 11//． ∵1AA ⊥平面 ABCD ，⊥∴H D 1平面ABCD ． 在DH D Rt 1?中，求得31=H D ．而H D A A 11=，
所以四棱台的体积()
()3
37342131 31=?++?=+'+'=
h S S S S V ． （Ⅲ）设AC 与BD 交于点O ，连接1OC ．
过点B 在平面11BCC B 内作C C BM 1⊥于M ，连接MD ． 由（Ⅰ）知BD ⊥平面11ACC A ，C C BD 1⊥∴． 所以⊥C C 1平面BMD ， MD C C ⊥∴1． 所以，BMD ∠是二面角D C C B --1的平面角． 在OC C Rt 1?中，求得51=C C ，从而求得5
30
11=
?=
C C OC OC OM ． 在BMO Rt ?中，求得554=
BM ，同理可求得5
5
4=DM ． 在BMD ?中，由余弦定理，求得4
1
2cos 222-=?-+=
∠DM BM BD DM BM BMD ．
50.【答案】
（1）连接2,BO 22,O O '
依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点 ∴1290A O D B O D ''''''∠=∠= ∴1A O ''∥2BO '
∵BB '//22O '，四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO
∴12,,,O A O B ''四点共面
（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=
∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''
∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O '
'''=
C C
'
1O
∴12O O ''⊥面22O O B B ''
∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '?面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥
易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '= ∵11tan 2HH HO H O H '''∠=
=''，1
tan 2
A G A H G A H '''∠=='' ∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠?∠= ∴190HO H A H G ''''∠+∠=
∴1HO H G ''⊥
易知12O O ''，四边形12O O BH ''是平行四边形 ∴2BO '∥1HO ' ∴2BO H G ''⊥，H G
H B H ''''=
∴2BO '⊥平面H B G ''．