苏教版数学高二-苏教高二必修五不等式第15课时 陈锦平
32
1
x x (4,5) 10
3180,0
y x
y x
y
，则2z 14 ． 已知
532x y
，(,)x y R ，则xy 的
15 ． ,a b
R ,则下列四个a b ,2,22
b 的大小
关系为2ab a b ≤ab ≤2a ≤222
a b .
【精典范例】
解关于x 的不等式：
2)4a x 【解】0=a ,{}2|<x x
0<a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x
听课随笔
听课随笔
例2：设a
R ，关于x 的一元二次方程
2
2
7(13)20x a x
a a 有两个实根,,21x x 且1
2
012x x ，
求a 的取值范围．
【解】设
=)(x f 2)13(722--++-a a x a x
则⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>0)2(0)1(0)0(f f f 解出4312<<-<<-a a 或
例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？
答案：容易解得当x=20,y=24时，目标函数z=7x+12y 取得最大值428万元。
例4数列n
x 由下列条件确定：
1
0,x a
1
1()2
n
n n
a x x x ()n N ，
当2n
时，求证：
（１）n x a （２）1n
n x x
证明：（1）先说明0>n x ，然后用基本不等式易证．
（2）作差比较法易证．
例5.y k x y 对所有
正数y x ,都成立，求k 的最小值．
解：可解出：
y
x y x k ++≥
令u=
y
x y x ++.
则222=+++=
y
x xy
y x u
（当且仅当y x =时取等号）
所以当y x =时，u 的最大值为2，所以
2≥k ，所以k 的最小值为2．
听课随笔
1122
)n n a b a b a b ．()n
N
证明：设()
f x 2
2
212
()n a a a 2x
1
22)n n b a b a b x
222
)n b b ．
当2
2221n a a a +++ ＝０，即
120n
a a a 时，2
2221n a a a +++ ≠０，即 0恒成立．
0, 化简变形即得
1122
)n n a b a b a b ．()n
N
【精典范例】
已知0,0a
b ，且1a b ，求证：
2
2125)()2
b
a
b
证明：由])1()1)[(11(222
2
b
b a a +++
+ 2)]1(1)1(1[b a +⨯++⨯＝(2211100
))()3
c
a
b
c 证明略．类似于范例的证明． 听课随笔。
苏教版高中数学必修五3.4.1基本不等式的证明.docx
数学·必修5(苏教版)3.4基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)3．4.1基本不等式的证明情景导入：如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？►基础巩固一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么ab＋ba的值是()A．大于2 B．小于－2或大于2 C．小于等于2 D．大于－2或小于2解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2. 答案：B2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b解析：由a－a＋b2＝a－b2＞0，ab－b＝b(a－b)＞0，再结合基本不等式a＋b2＞ab.答案：B3．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈R ＋，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈R ＋，∴lg x ＋lg y ≥2lg x·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①由于a ，b ∈R ＋，∴b a ，ab∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0,1)和y ∈(0,1)时，lg x 和lg y 都是负数，∴②的推导过程是错误的；③由a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥2 4a·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：y ＝1a ＋4b ＝12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92.答案：C5．下列结论正确的是()A．当x＞0且x≠1时，lg x＋1lg x≥2B．当x＞0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－1x无最大值解析：当0＜x＜1时，lg x＋1lg x＜0，∴A错误；当x＞0时，x＋1x≥2x·1x＝2，∴B正确；当x≥2时，x＋1x的最小值为52，∴C错误．当0＜x≤2时，x－1x是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．答案：B二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与a＋b2的大小关系是________．解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A2+++⎛⎫⎪⎝⎭1a1b2＝A2++⎛⎫⎪⎝⎭a b12，∴x≤a＋b2.答案：x≤a＋b 27．给出下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋4≥4a ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2；④2a 2b 2a 2＋b 2≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a ＝1时，①不成立；当ab ＜0时，④不成立． 答案：②③ 8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋1，显然当a ＜0且b ＝2|a|时，上式等号成立，此时b ＝－2a 与a ＋b ＝2联立即得a ＝－2.答案：－2三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.解析：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2＝4， 当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”号， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.10．设x1，x2，…，x n都是正整数，求证：x21 x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x1＋x2＋…＋x n.解析：∵x1，x2，…，x n都是正整数．∴由基本不等式得x21x2＋x2≥2x1，x22x3＋x3≥2x2，…x2nx1＋x1≥2x n.将以上n个式子相加命题即得证．►能力升级一、选择题11．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：∵a＞b＞0，a2＋1ab＋1a(a－b)＝a2＋a－b＋bab(a－b)＝a2＋1b(a－b)≥a2＋+-⎛⎫⎪⎝⎭21b a b 2＝a2＋4a2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)，故.答案：D12．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5，∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ×3x y ＝15(13＋12)＝5. 答案：C13．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b ≥2解析：令a ＝b ＝1可知A ，C 不成立； 令a ＝b ＝－1可知B 不成立． 答案：D二、填空题14．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：①项，∵a ＞0，b ＞0,2＝a ＋b ，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，即ab ≤1；②项，∵a ＋b 2－2+⎛⎫⎪⎝⎭a b 2＝(a －b )24≥0，∴a ＋b 2≤ a ＋b 2，∴a ＋b ≤2(a ＋b )，故a ＋b ≤2；③项，∵a 2＋b 22≥2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22. 又∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2≥2；④项，∵a 3＋b 3＝(a ＋b)3－3a 2b －3ab 2＝8－3ab(a ＋b)＝8－6ab ≥8－6＝2(由①ab ≤1)；⑤项，1a ＋1b ≥2ab≥2.答案：①③⑤15．(2013·云南玉溪检测题)若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2，当且仅当x ＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a －1|≤2即－2≤2a －1≤2⇒－12≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32三、解答题 16．(2013·全国卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1.解析：(1)由a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b ＋c)2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1， 而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2c ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥(a ＋b ＋c)＝1.。
苏教版高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明.docx
3.4.1 基本不等式的证明课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b 2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤_____________________________________.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、填空题1．已知a >b >0，则a ，b ，a ＋b 2，ab ，2aba ＋b， a 2＋b 22这六个代数式用不等号“<”连结起来是__________________________________________________________________．2．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．3．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是________．4．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是________． 7．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a 2＋b 2按从大到小的顺序排列为______________．8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为________．9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．10．已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________．二、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a ＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3．4.1 基本不等式的证明答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝ 基本 a ＋b2ab 3.(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．b <2aba ＋b<ab <a ＋b 2<a 2＋b 22<a . 2．大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.3．a ＋b解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1， 所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大． 4．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．5．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．6．m >n解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝222x －<22＝4.∴m >n .7．b >a 2＋b 2>12>2ab解析 ∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2， ∴b >a 2＋b 2>12>2ab .8．－2解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax ≥－x 2－1a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 9.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3. ∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 10.⎝⎛⎦⎤－∞，94 解析 ∵x ＋y ＝4， ∴1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y＝14⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝94， 1x ＋4y ≥m 恒成立，只要⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ≥m ，即94≥m .11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4. 13．4解析 只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可， 又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋yx＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc ＝2a ， 1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。
高中数学 不等式证明(二)课件 苏教版必修5
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
例一、求证： 3 7 2 5 分析法 证： ∵ 3 7 0, 2 5 0 2 2 只需证明：( 3 7 ) (2 5 )
10 2 21 20 展开得： 即： 2 21 10
2 l l 周长为 l 的正方形边长为 4 ，截面积为 4 2
l l 问题只需证： > 2 4 2 2 l l 即证 4 2 > 16 4 1 1 两边同乘 l 2 ，得： 4 因此只需证：4 > （显然成立）
2
2 l l > ∴ 2 4
2 2 x y 1 ，则可令 x = cos , y = sin (0 2 )。 若
1 sin 2 2
2 2 2 x y r 若 ，则可令 x = rcos , y = rsin (0 2 )。
2 2 2 2 | x 2 xy y | 2 x y 1 练习：若 ，求证：
①
1 (1 a ) a 0 (1 a ) a ∴ 2 4
1 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 64
与①矛
盾 ∴原式成立
练习 1 ：已知 0 < x < 1, 0 < a < 1 ，试比较 | log a (1 x) | 和 | log a (1 x) | 的大小。
证一： （综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0
a2 b2 c2 展开得： ab bc ca 2
苏教版数学必修五3《不等式》ppt课件
值，“2＜3”比“2≤3”更确切．
2．抓住题意中的关键词，明确基本数量关系，类比列 方程的方法，准确表示不等式．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 用不等式(组)表示不等关系
例 1 已知某杂志每本原定价 2 元，可发行 5 万本，若每本提价
0.20 元，则发行量将减少 4 000 本，为使销售总收入不少于 9 万元，
(1)若 ac2>bc2，则 a>b；(2)若 a<b<0，则 a2>ab>b2；
栏
(3)若 a>b，1a>1b，则 a>0，b<0.
目 链 接
解析：(1)由 ac2>bc2 知 c≠0，
∴c2>0.∴a>b，故该命题为真命题．
(2) a<b⇒a2>ab；又 a<b⇒ab>b2，
a<0
b<0
∴a2>ab>b2，故该命题为真命题．
将“差”化成“积”；
栏
目
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不
链 接
确定的要分情况讨论)．
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形” 是关键．
►变式迁移
3．已知a，b∈R＋，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的 大小．
解析：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
栏
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
目 链
接
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当 x＝y＝21且 z＝1 时取等号．
高中数学第三章《不等式》教案(苏教版必修5)
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二、过程与方法
三、情感、态度与价值观
【教学重点与难点】 ：
重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性
目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
b 2 4 ac ，则不等式的解
的各种情况如下表： ( 让学生独立完成课本第 86 页的表格 )
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c y ax2 bx c y ax2 bx c
y ax2 bx c
（ a 0 ）的图象
一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0 的根
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
第 14 课时：本章复习与小结
【三维目标】 ：
一、知识与技能
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”
，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
如果 p 是定值 , 那么当 x y 时， s 的值最小； ○2 如果 s 是定值 , 那么当 x y 时， p 的值最大 .
注意： ①前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ② “和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
.
思维拓展： 已知 1 a b 5 ， 1 a b 3 ，求 3a 2b 的取值范围。
苏教版数学高二-必修五课件 基本不等式的应用
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地
铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v
2
千米，那么
20
这批货物全部运到B市，最快需要__8__小时.
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，
则 t＝400＋v162v02＝4v00＋1460v0≥2
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值， 但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的， 这时通常可以借助函数 y＝x＋px(p>0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
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故③既够用，浪费也最少.
解析答案
4.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为____2____.
解析 ①当x∈(0,2)时， x,4－2x＞0， f(x)＝x(4－2x)≤122x＋42－2x2＝2， 当且仅当2x＝4－2x， 即x＝1时，等号成立. ②当x≤0或x≥2时， f(x)＜0， 故f(x)max＝2.
4v00×14600v＝8(小时)，
当且仅当4v00＝14600v，即 v＝100 时，等号成立，
此时t＝8小时.
解析答案
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12345
1.下列函数中，最小值为4的函数是____③____.
①y＝x＋4x；
②y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π)；
③y＝ex＋4e－x；
④y＝log3x＋logx81.
第3章 § 3.4基本不等式 ab≤a＋2 b (a≥0,b≥0)
苏教版高中数学必修五课件§3.4.1基本不等式的证明.pptx
二.典型例题
基本不等 a
1 b
4
证明:Q1 a b
1的代换
1 1 ab ab b a 2 ab a b ab
Q a,b (0, )
b a 2 b a 2 (当且仅当a=b时取=) a b ab
b a 24即 1 1 4
ab
ab
二.典型例题—变式
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析: 将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1, 则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达 到化简的目的.
二.典型例题—变式
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
Q a,b, c (0, ) a b 2 (当且仅当a=b时取=) ba
同理 c b 2, a c 2 (当且仅当a=b=c时取=) bc ca
a b c b a c 6 (当且仅当a=b=c时取=) babcca
a b c b a c 2 8 得证 babcca
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必修5§3.4.1基本不等式的证明
一.知识梳理
基本不等式的证明
1.算术平均数、几何平均数 ab
对叫于做正正数数a的,几b,何叫平做均正数数2 .的a算b 数平均数;
2.基本不等式 a b ab
2 (1)前提条件:.
a,b为正数
(2)取得等号条件:. a=b
3.不等式证明的方法
Q x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
苏教版数学高二苏教版必修5课件3.4.1基本不等式的证明
小结 如果 a，b 是正数，那么 ab≤a＋2 b(当且仅当 a＝b 时取“＝”).我们把不等式 ab≤a＋2 b(a≥0，b≥0)称为基 本不等式.
明目标、知重点
思考 5 如果把 ab看作是正数 a，b 的等比中项，a＋2 b看 作是正数 a，b 的等差中项，该定理如何叙述？ 答 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
明目标、知重点
探究点一 基本不等式的证明
思考1 观察下列实验数据，你能得出两个正数a，b的算
术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？
a
30 59 92 70 25 11
b
39 99 23 99 54 100
ab 34.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17
a＋b
2
34.5 79 57.5 84.5 39.5 55.5
明目标、知重点
例 2 已知 a，b，c 都是正实数，且 a＋b＋c＝1，求证：a1
＋1b＋1c≥9. 证明 ∵a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号.
明目标、知重点
反思与感悟 证明中把ba，ab，分别看作基本不等式中的 a， b 从而能够应用基本不等式；在利用基本不等式证明的过程 中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形 配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
明目标、知重点
跟踪训练 1 已知 a，b，c 为不全相等的正数，求证：a＋ b＋c> ab＋ bc＋ ca. 证明 ∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)， 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
高中数学苏教版必修五《3.4.1基本不等式的证明》课件
(2) ab (a b)2 (a,b R) (当且仅当a=b时取=)
2
1
(3) a 2 (a 0) a
(当且仅当a=1时取=)
a b 2 (ab 0) (当且仅当a=b时取=) ba
基本不等式的证明
例1.已知 x 0,求证: x 1 2 x
分析:基本不等式的前提条件是: a,b 为正数,但现在 x 是负数,所以需要将其转化为正数.其方法就是 提取负号,即 x (x),x 0.
b a 24即 1 1 4
ab
ab
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析: 将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1, 则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达 到化简的目的.
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
1.基本不等式 a b ab (1)前提条件: a,2b为正数 . (2)取得等号条件: a=b .
2.不等式证明的方法 (1)比较法;(2)综合法;(3)分析法.
基本不等式的证明
3.4.1
谢谢大家
苏教版 高中数学
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明
例2.设实数 x, y ,求证: x2 4 y2 2 2x 4 y 证明: x2 4 y2 2 2x 4 y
x2 4y2 2 2x 4y 0 x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) 0
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明
高中数学不等式学生版教案5苏教版必修5
1.画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
(3)(x-y+1)(x+2y-2)>0
2.如图所示阴影
C.
D.
例3利用平面区域求不等式组 的整数解.
思维点拔：
方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x的范围来确定整数x(4)再通过x的整数值来定y的整数值．
第2课时不等式
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理一些逆向问题．
2.学会解决一些简单的整点问题．
【课堂互动】
自学评价
1．不等式组表示的平面区域
.
2．整点：.
【精典范例】
例1．画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证．
追踪训练二
在坐标平面上, 不等式组 所表示的平面区域内整数点个数为 ( )
A.１ B. ２
C. ３ D. ４
【解】
例2.如图, △ABC三个顶点A(0 , 4) ,B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC内任一点(x , y)所满足的条件.
思维点拔：
1.二元一次不等式组表示平面区域的画图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，求交．
2.由平面区域写不等式组，一要注意是否有等号，二要注意不要少写不等式．