三脚架的数学原理
中班科学教案及反思《神奇的三脚架》
中班科学教案及反思《神奇的三脚架》教学目标：1.能够了解并描述三脚架的结构和作用。
2.能够观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.能够通过实际操作，使用三脚架搭建支撑物体。
教学重点：1.了解并描述三脚架的结构和作用。
2.观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.实际操作，使用三脚架搭建支撑物体。
教学准备：1.三脚架模型。
2.小球、筷子等支撑物体。
3.班级实验室或者课堂桌面。
教学过程：引入：1.教师带领学生进行讨论，引导学生思考使用相机或望远镜时，为什么需要使用三脚架？2.鼓励学生提出问题，激发学生的兴趣。
探究：1.教师出示三脚架模型，向学生介绍它的结构和作用。
2.引导学生观察三脚架，让学生分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.学生提出的问题，教师应当引导他们进行探究和解决。
实验操作：1.将三脚架模型放在班级实验室或者课堂桌面上。
2.让学生根据观察和分析的结果，实际操作使用三脚架搭建支撑物体，例如小球、筷子等。
3.学生可以自由搭建支撑物体的方式，但要求稳定且平衡。
总结：1.教师与学生一起讨论实验结果，总结使用三脚架搭建支撑物体需要注意的问题。
2.教师引导学生总结三脚架的好处和应用场景。
3.教师给予学生充分肯定和鼓励，鼓励学生将所学应用到实际生活中。
黑板设计：1.三脚架的结构和作用。
2.观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.使用三脚架搭建支撑物体的步骤。
4.三脚架的好处和应用场景。
教学反思：通过这节课的教学活动，学生对三脚架的结构和作用有了初步的了解，并且能够观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
在实验中，学生能够操作三脚架搭建支撑物体，并且总结使用三脚架需要注意的问题。
整个教学过程中，学生的发问和实践能力得到了很好的锻炼。
但是，在教学过程中，我发现有的学生对理论知识的掌握较慢，理解起来困难。
因此，下次我在教学过程中可以引入一些更生动形象的示例，帮助学生更好地理解。
同时，在实验操作环节，我可以提前准备一些小球、筷子等支撑物体，确保每个学生都能有机会亲自动手操作，增强他们的参与感和体验感。
三脚架的数学原理
三脚架的数学原理三脚架是一种用来支撑照相机或摄像机的器材。
它由三个相互连接的杆子组成，每个杆子的末端都安装有一个稳定器，通常是脚。
通过展开或折叠三脚架来调整稳定器的高度和角度，以便将相机或摄像机固定在所需的位置上。
三脚架的构成部分主要包括三个杆子、三个稳定器（脚）、中央柱、云台和固定装置。
杆子通常由金属或碳纤维制成，稳定器（脚）通常由橡胶或塑料制成，中央柱用于调整高度，云台用于调整水平角度和垂直角度，固定装置用于固定相机或摄像机。
操作三脚架的过程中，需要调整三个方面的参数：高度、角度和平衡。
高度通过调整中央柱的上下位置来实现，角度通过调整云台的角度来实现，平衡通过调整相机或摄像机的位置或球型云台来实现。
将相机或摄像机安装在三脚架上，可以使图像稳定、清晰，并且减少由手持摄影引起的抖动。
现在我们来讨论一下三脚架的数学原理。
首先，我们需要了解重心和力的概念。
重心是一个物体的质心或质量中心，它是一个物体的质量的平均位置。
三脚架上的相机或摄像机具有一个特定的重心，我们需要确保三脚架的稳定器上施加的力的合力通过重心。
假设相机或摄像机的重心位于杆子的中间位置，我们可以通过在三脚架上施加合力来实现稳定。
假设稳定器的力向下施加，并且它的大小相等，我们可以看到合力对重心产生的力矩为零。
这是因为合力通过重心，所以它不会产生任何转动。
然而，在实际情况下，我们不能保证稳定器的力完全相等，或者重心正好位于杆子的中间位置。
在这种情况下，合力产生了一个不为零的力矩，会使相机或摄像机倾斜或旋转。
为了解决这个问题，我们需要调整稳定器的位置或角度，以使合力通过重心。
通过将稳定器调整到恰当的位置，可以消除不稳定因素，使相机或摄像机保持平衡。
这就涉及到了杆子、稳定器和地面之间的几何关系。
三脚架通常采用一种三脚架四层六边形的形状，杆子的长度也是根据相关数学原理进行设计的。
通过调整稳定器的角度和高度，可以改变杆子和地面之间的角度，进而影响到合力对重心产生的力矩。
侗族数学文化面面观
侗族数学文化面面观佚名【摘要】The drum-tower, the folk house, the folk craftwork, the costume, the needlework and so on of the Dong nationality contain the abundant mathematical culture. The mathematical thinking of the Dong nationality which is demonstrated from the basic operation of the daily life to the mathematic application of production and practice possesses distinct cultural characteristics. The old mathematical culture of human being is transmitted by the old Dong nationality.% 侗族鼓楼、民居、民间工艺、服饰及刺绣等都蕴涵着丰富的数学文化。
侗族从日常生活中的基本运算到生产实践的数学应用所表现出来的古朴的数学思想方法具有鲜明的文化特征，古老的侗族传承着人类古老的数学文化。
【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】6页(P67-72)【关键词】侗族文化;数学文化;侗族鼓楼;侗族服饰【正文语种】中文【中图分类】G7501 概述随着数学课程改革实施的深入，国家、地方、学校三级课程的需要日显凸现，迫在眉睫.为了贯彻落实国务院三级课程管理政策的精神，以有效提高课程为当地经济服务的适应性，促进教育与当地经济社会发展紧密结合，满足少数民族地区数学教育的需要，项目组近几年积极组织师生收集、研究和挖掘少数民族数学文化，其目的是弄清少数民族数学文化背景，了解少数民族学生学习数学的基本思维方式，适时地在少数民族地区实施跨文化数学教育.在此，仅报告项目组对侗族数学文化部分的研究成果.侗族是全国55个少数民族之一，主要分布在黔、湘、桂3省区的毗邻地区，全国侗族人口约三百万.侗族没有文字，长期生活在相对封闭的山区，山外的文明至今没有将他们同化，世界乡土文化基金会将贵州省黔东南苗族侗族自治州列入“返璞归真，回归自然”的十大旅游胜地之一，并称侗族文化是世界文化的瑰宝，是“隐藏千年的文明”，称侗乡是人类仅存的“人与自然和谐之地”、“人类疲惫心灵的最后家园”[1].侗族的生活背景决定了侗族文化全凭心传口授，顽强地世代相传，所以，研究侗族数学文化主要是研究侗语中所表达的数学概念和相关计算，以及他们生活中特有的鼓楼建筑、民居、民间工艺、服饰、刺绣等载体所蕴涵的数学知识.2 侗族生活中的数学概念及相关计算经过漫长的发展，侗族生活中也形成了“数”的抽象概念及相关运算.侗族母语中所表达的基数和序数与中国传统数学基本相符，最小的自然数是1；零没有确定的读法，仅用“无”或“完了”表达其意；分数概念较为清晰，也有小数的意义，但表达不了纯小数；没有负数、无理数等概念.有关数的运算，一般都与市场交易或生活的实际问题联系在一起，是典型的古代中华民族以问题解决为目的的数学观.以乘法运算为例，设单价为a，件数为x，求交易额时，相关的加减法及扩大（或缩小）10n倍的乘法运算与人们现在的理解完全一致，但2至9的乘法却没有“九九表”可用，而是充分利用2、及10的倍数进行运算[2].基本方法如下：求一个数的2倍，是通过计算相同的两个数的和去实现；求一个数的3倍是通过求这个数的2倍加上它的1倍的和去实现；求一个数的4倍，则是通过计算它的两个2倍的和去实现，或通过这个数的5倍减去它的1倍的差去实现；而求一个数的5倍，或是通过这个数的2倍的2倍再加上它的1倍的和，或是求它的10倍的一半去实现的；求一个数的6倍，则可以通过它的5倍加上它的1倍的和去实现；如此等等.母语中所表达的这些算法，可以总结归纳并“翻译”为下列函数：运算中，他们不拘一格，并不完全按（1）式计算，如，当x=5，6，7时，对应的乘法运算有时取：f(5)=2a+2a+a，f(6)=10a−2a−2a，f(7)=10a−2a−a 等，但是，他们始终注意有效地利用2、及10的倍数去实现乘法运算.在侗族的“乘法”运算中，无论是20以内的“乘法”，还是30以内的“乘法”，或是更大的数的“乘法”运算都能继续用分段函数表示.例如，用公式表示20以内的“乘法”运算等.这样，古代侗族巧妙地实现了将乘法转化为加减法的运算，既克服了没有“九九表”的困难，又不陷入乘法意义中的连加运算.在义务教育基本普及的今天，仍然传承并使用上述方式进行运算的只有极少数老年文盲妇女.几何概念较为丰富，如三角形、多边形、圆、直线、平面等在侗语中都有，但抽象程度不高，远未达到“数学化”的程度，由此容易带来概念上的含混不清，这种现象是尚未进入现代数学文明的中华民族语言的共同特征.由于侗族没有文字，所以没有任何数学符号，数学概念、公式与运算方法全凭口传心授世代相传.3 以鼓楼为载体的侗族数学文化侗族聚居的村寨都有鼓楼，鼓楼是侗族所特有而其他民族所没有的建筑，是侗族全部精神性的文化结晶，是最具有象征性的文化符号[3].鼓楼雄伟、壮观，占地面积百余平方米，高数十米不等.如此高大的建筑，其整体以杉木做柱、枋，凿榫衔接，横穿斜套，纵横交错，结构严谨牢固，却不用一钉一铆，其中蕴涵着丰富的数学文化，也体现了侗族祖先的数学应用与思维特征.鼓楼主体结构对称和谐，其平面图通常是正方形，正六边形和正八边形，常见的八角鼓楼平面图通常由正方形和正八边形复合组成.如：从江县增冲鼓楼平面结构图内部是一个正方形，而外部是一个与正方形同心的正八边形组成等.所以，建筑师在建造鼓楼时大量地涉及与正多边形相关的计算.3.1 与正八边形相关的计算八角鼓楼的建造，涉及正八边形的边长a与半径R的计算.在今天可用公式a=2Rsin22.5°表示.显然，22.5°不是特殊角，计算结果无疑是取其近似值.但古代侗族对角度的概念并不十分清晰，对此，他们有自己的计算方法：图2是八角鼓楼楼冠（如图1）在平面上的正射影，已知正八边形半径OMi （OMi=ONi，i=1,2,3）的长度，则边长MiNi的确定是通过公式来实现（计算说明：例如，OMi=4市尺，代入（3）式，得MiNi=30市寸，即MiNi =3市尺）.古代侗族没有系统的三角函数知识，加上侗族语言难以表达纯小数的读法，他们巧妙地运用了10进制单位进行换算来实现公式（3）的计算.它显然是一个较好的近似计算，这是侗族鼓楼建筑师在长期的实践中总结得到的结果. 值得注意的是，八角鼓楼楼冠的屋面需要制作如图3的三角架，其中OBi（i=1,2,3,…）的长度为已知，角O的大小与AiBi长度的确定一般也是通过公式来实现.由此可见，侗族在三角形概念的分类中不是十分清晰，他们知道直角三角形与其它类三角形的区别，但在相关计算时，有时又容易出现这种含混不清的处理方式.因此，在侗族地区实施数学教育时应高度重视这个问题.图1 八角鼓楼楼冠图2 八角鼓楼楼冠正射影不过，没有文字的侗族，为了减轻鼓楼建筑师记忆的负担，也便于建筑工人的操作，在楼冠的屋面三角架（图3）的制作中他们类比公式（3）得到公式（3′）来实现这个计算，不失为明智之举.有意思的是，上述侗族鼓楼建筑师在直角三角形“已知邻边求对边”的问题上，类比正八边形的“已知半径求边长”的公式，得到图3中直角三角形OAiBi 的三边恰巧是“勾3、股4、弦5”的关系.图3 三脚架在复合型八角鼓楼中，通常第一、二层是四面倒水，从第三层起变为八面倒水，建造时还涉及如图4的相关计算，即若正方形边长AB=1，则图4中较大（与最外层正方形相接）的正八边形的边长A1E 是多少？点A1应在对角线OA上的什么位置？A2呢？第二个正方形的边长是多少？等等.这些计算显然都与有关（以下还将看到侗族常用不足近似值1.4去接近）.例如，由OA=，且O=，知，点到点A的距离为−等.当然，与八角鼓楼相关的计算还有很多，如有关角度的处理，等等，在此不再赘述.3.2 与正六边形相关的计算建造六角鼓楼，需要制作正六边形.进一步调查发现，黎平县境内有部分鼓楼建筑师用“九五分六角”的方法去近似地6“等分”圆周，这是古代侗族对角度概念尚未完全掌握的历史条件下6等分圆周的近似方法.即制作一个对边为9市寸（市尺、市寸是侗族至今仍然普遍使用的长度单位），邻边为5市寸的直角三角板（如图5），在这个直角三角板中，较大的一个锐角约为6055′° （接近60°），用这个较大的锐角当作60°角去“等分”圆周，得到正六边形，以实现6角鼓楼的建造.6“等分”圆周具体过程如下：（1）在圆柱形（实际上是不规则的）木料的一个底面（如图6）上作线段PQ及中点O，用如图5的三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与OQ边重合，AB与底面圆周交于点M，连接OM，得到∠MOQ≈6055′° .图4 相关计算（2）作OM的反向延长线与底面圆周交于点N，得到∠NOP=∠MOQ.（3）用三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与OQ重合，AB与底面圆周交于另一点R，再用三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与ON重合，AB与底面圆周交于点S，在RS弧上找到中点T，连接OT.（4）作OT的反向延长线与底面圆周交于点W（如图6所示）.就这样，实现了6“等分”圆周的目的，每个角的误差都不超过55′.有时候他们干脆将上述的步骤（3）及（4）简化为：（3′）如图6，用三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与OQ重合，AB与底面圆周交于另一点R，连接OR，再作OR的反向延长线与底面圆周交于点D，以此实现6“等分”圆周.但这样做∠NOR和∠MOD的误差较大，接近150′° .以上说明，古代侗族在不完全掌握角度概念的情况下，通过长期的实践总结出了这种独特的“九五分六角”的近似计算方法，实现了6“等分”圆周的目的.同时也说明古代侗族早已掌握了“对顶角相等”这条古老的命题的应用.图5 三角板图6 辅助线3.3 鼓楼中的近似计算在鼓楼建筑中，无论是四角鼓楼、六角鼓楼或是八角鼓楼，近似计算都是无法回避的事实.例如，上述用“九五分六角”的方法得到正六边形，就属于近似计算问题.还有，运用公式（3）计算正八边形的边长就是一个取边长的不足近似值的近似计算，误差不超过0.015 5，这在半径不超过3 m的楼冠上误差不到4.65 cm；鼓楼建筑师处理这样的误差问题全凭长期的做工经验，并根据柱头的大小、正八边形半径的长短来估计误差大小，进而去弥补不足近似值，同时还利用杉木的忍性在连接两个柱头的木枋上做成如图7这样的两个“鱼尾”弥补其不足，同时“鱼尾”又起到了掩盖柱眼以增强建筑的美感和固定柱子位置的作用.真可谓是巧夺天工. 图7 鱼尾在鼓楼建筑中还经常遇到求正方形对角线长的问题.鼓楼建筑师通常采用的计算方法是：显然，它是公式“对角线长=×边长”的近似计算.连接两柱头的对角线木枋通常情况下也做成如图7那样的两个“鱼尾”以弥补不足近似值.侗族生活中没有无理数的概念，但以上说明他们如同其他民族或地区的文明一样利用了有理数做近似计算，而且无论是四角鼓楼、六角鼓楼或是八角鼓楼，在相关的长度计算中一般都取不足近似值，不足部分留给两个“鱼尾”去弥补，这是侗族鼓楼建筑中近似计算的基本特征.3.4 鼓楼中的黄金分割美的建筑一般都与黄金分割比例相关，鼓楼也不例外.带着问题，项目组对鼓楼的各部分结构进行了专门的测量，发现有为数不少的鼓楼在结构上十分接近黄金分割比例，内部结构中的主承柱、檐柱、瓜柱分拉枋的分点也都十分接近黄金分割点.例如，从江县增冲鼓楼高25 m，内有4根主承柱，高15 m.该鼓楼由楼体、楼颈和楼冠3部分构成，从远处眺望似人体一般形状，以楼颈为分点其楼体高（即为主承柱高度）15 m与楼高25 m之比是0.60，十分接近黄金分割比例，这恰似咽喉是人体结构中的一个黄金分割点一样[4]，鼓楼楼颈是其黄金分割点.再如，图8是从江县的则里鼓楼平面图[3]，A和D为檐柱，B和C为主承柱，其中AB=CD=265cm ，BC=410cm ，由此，BC≈0.6074AC=0.6074BD ，即点B （或点C）接近线段AC（或线段BD）的黄金分割点.图8 则里鼓楼平面图还有，图9为从江县小黄鼓楼的一排翘檐的结构图，经测量，A1A2=107cm，A2A3=57cm，A3A4=B2B3=65cm，A4A5=173cm，B1B2=95cm，B3B4=48cm，B4B5=125cm ；由此，A1A2≈0.6524A1A3，点A2较接近线段A1A3的黄金分割点；A3A5≈0.5920A1A5，点A3更接近线段A1A5的黄金分割点.而B1B2≈0.5938B1B3，点B2与线段B1B3的黄金分割点的误差较之更小；B1B4≈0.6246B1B5，点B4接近线段B1B5的黄金分割点的程度更好.此外，对其它鼓楼的翘檐等结构的实地测量，如黎平县纪堂鼓楼等，也得到类似的结果.黄金分割比例的应用，不仅仅是鼓楼造型美的需要，它还蕴涵着丰富的力学原理.对此，侗族鼓楼建筑师没有做任何解释，面对着这些百年以上的鼓楼，我们只能说这些人类早期文明的数学文化以鼓楼为载体通过侗族建筑师心传口授传承至今. 图9 小黄鼓楼的一排翘檐的结构图4 等差数列求和公式在侗族生活中的应用侗族长期过着自给自足的生活，男耕女织千年不变.图10是侗族家庭中常用的织布机.图11是图10中卷布筒的横截面示意图.调查发现，侗族妇女织布时通常能够根据图11中半径OB的大小估算出布匹的长度.例如，要织一匹长度为18m的布匹（不妨设布的厚度为0.1cm，卷布筒的半径OA=3cm），她们只需要看这卷布的外圈半径OB的大小约为8m就知道布匹长度基本达到要求.这是长期的实践经验告诉她们如何通过半径OB的大小估算其布匹的相应长度，其实她们的“估算”可作如下解读：依题意，假设绕在卷布筒上的第n圈的半径为an，显然，a1，a2，…，an，…，构成一个等差数列，其中a1=3+0.1，公差d=0.1；又设布匹的总长度为Sn，取b1=2π×3.05，由等差数列求和公式知：即n=51；此时布筒的外圈半径约为：本例与现行高中教材“铜片绕在圆盘上”的问题类似，它显然是高中教材的一个补充和拓展.图10 侗族织布机图11 织布机卷布筒的横截面侗族鼓楼建筑师在鼓楼的建造过程中，也经常用到等差数列知识去计算相关的问题使做工达到分毫不差的程度.图12是鼓楼楼冠侧面装饰图[5]，共有4个侧面，每个侧面的装饰图案自下而上、从左到右按一定的规律排列.图中每3个直角扇形为一组，每相邻的两个侧面的两组共由5个直角扇形构成（其中位于侧棱上的直角扇形为两组公共的扇形）.图中的每个侧面自下而上从第一层到第五层依次为6、7、8、9、10组，分别有18、21、24、27、30个直角扇形，而4个侧面的第一层到第五层的直角扇形依次是68、80、92、104、116个，4个侧面总共需要460个直角扇形.而且每一组直角扇形的中间一个都与另两个不同，即中间一个为图13中的阴影部分OPQ（为了叙述的方便我们也称它为直角扇形），另两个才是真正的直角扇形.形如图13的这种直角扇形共有160个，真正的直角扇形为300个.对如此繁杂的数据，鼓楼建筑师能在施工前准确无误地计算出来，他们是用等差数列及其求和公式实现的，尽管他们因没有文字而无法表达其计算公式，调查中，发现他们大多应用公式进行等差数列求和的运算.图12 鼓楼楼冠侧面装饰图13 直角扇形类似地，六角和八角鼓楼楼冠侧面装饰图的直角扇形的数目更大，他们同样能够运用等差数列求和公式进行计算.还有，鼓楼自下而上每层的正八边形的半径也呈等差数列[6].5 侗族生活中的平面镶嵌在侗族地区不仅仅保留侗族所特有而其他民族所没有的鼓楼，也保存着农耕文明时期的侗族民居，是中华本土建筑文化的“活化石”，同时，还传承着丰富的竹编等传统工艺，难能可贵的是这些建筑和传统工艺中蕴涵着丰富的数学文化.图14是侗族地区常见的竹编，显然，图中是由边长相等的正三角形和正六边形两种图形镶嵌成的一个平面.图15是侗族民居窗户的花格，显然，它也是由正三角形和正六边形两种图形镶嵌成的一个平面，所不同的是，此时的正三角形边长是正六边形边长的两倍.这为研究者研究当正三角形的边长是正六边形边长的n倍时能镶嵌成一个平面（图16）提供了现实模型.在侗族的传统工艺中，如上所述的窗户花格，还有服饰中的图案等都有丰富的镶嵌问题.而且正三角形、正四边形、正六边形，以及正三角形与正四边形、正三角形与正六边形镶嵌成一个平面的模型都有.图14 侗族地区竹编图15 侗族民居窗户花格图16 平面镶嵌模型6 侗族服饰中的数学文化侗族女性的服饰千姿百态，或款式不同，或装饰部位不同，或图案和工艺不同，或色彩和发型、头帕不同.服饰注重审美，朴素与华贵相得益彰，充分展示出侗族女子的聪慧和高超技艺，是民族文化之瑰宝.常见的侗族织锦，其图案分布规律性强，由大小相等的菱形依次相接排列而成，每个菱形内都有1朵花，每一朵花又由8个菱形的花瓣构成（如图17a），两个菱形之间的上下空白处分别绣有4个花瓣（如图17b）.按照规律，作出图17c，如果需要，还可以继续作出相关的图形.这除了是一个等差数列问题，还与平移变换、对称等数学知识相关.图17 侗族织锦再看图18，这是侗族女孩子经常穿戴的围腰，图形自上而下，围腰外围和里面的图案都有很多条弧线，图案优美、和谐大方.这里无疑蕴涵着丰富的数学文化，恕不一一列举.图18 侗族女孩子穿戴的围腰侗族服饰、刺绣，特别是挑花、数纱绣等工艺与图形的全等（包括图案的对称平移）、面积的大小和图案各线段的长短都有关系，它有着丰富的数学文化内涵.在民族地区实施数学教育，若能注意参考这些民族文化，创设必要的数学情境，对提高少数民族女童对数学的认识和理解，其效果不言而喻.7 “二分法”是侗族常用的数学方法“二分法”是基本的数学方法，是新一轮数学课程改革中新增加的教学内容.其实，在侗族数学活动中早就有“二分法”的应用.如前所述，侗族生活中的乘法运算公式（1）就有效地运用了2和的倍数将乘法转化为加减法的运算，这里充分体现了“二分法”在乘法运算中的应用.“二分法”在侗族的生活实践中也有着广泛的应用.图19是古代侗族传承下来的碾米房的水轮车.该水轮车依靠水的冲力使其转动，形成动能，并通过轴心的立柱带动上一层石巢轨道的石轮转动，以实现碾米功能.这个水轮车主要由两个同心圆和连接同心圆的木板和木枋构成，这本身就蕴涵着丰富的数学和力学原理.制作时，首先运用前述“九五分六角”的方法获得6个圆心角约为60°的“全等”扇环，然后分别在每个扇环中插入1片叶片，将扇环分为两个全等的扇环，用同样的方法依次将扇环“一分为二”，使每个圆心角为60°的“全等”扇环插入7片叶片，在圆弧上实现了水轮车叶片的加密.克服了在对角度概念还不清晰的情况下n等分圆弧带来的困难.图19 碾米房的水轮车研究者还注意到，如前所述，鼓楼楼冠的屋面需要制作如图3的三角架，AiBi长度的确定一般也是通过公式（3′）来实现的.而鼓楼楼冠以下的各层翘檐也要制作如图3的三角架，角O的大小与B长度的确定是将公式（3′）中的7i改为5而实现（如图20）：图20 鼓楼楼冠以下的翘檐测量AiBi(单位：市寸)=5×OBi(单位：市尺) （3′′）即，直角三角形的“对边是邻边的一半”.需要说明的是，图20是对鼓楼楼冠以下的翘檐测量的结果，单位是cm，而侗族所用的工具是市尺，且侗族测量或计算到市寸以后的数字通常忽略不计，所以，数据有误差.但如果转换为市尺并按照侗族的这一习惯的方式进行测量和计算，那么125 cm=3.75市尺，其中第二位小数中的5是市寸以后的数字忽略不计，他们只记为3.7市尺，将OBi=3.7市尺代入公式（3′′）得到AiBi=18.5市寸，而这里第一位小数中的5是市寸以后的数字又忽略不计，故取18市寸（即60 cm），这正好是测量的结果[3].侗族民居中的屋面三角架一般也是应用公式（3′′）制作成为“对边是邻边的一半”的直角三角形.这让研究者再一次地看到了“二分法”这一基本的数学方法在侗族生活中的广泛应用.8 结束语综上所述，侗族特有的鼓楼、民居、民间工艺、服饰及刺绣等都是侗族数学文化的重要载体，侗族从日常生活中的基本运算到生产实践的数学应用所表现出来的古朴的数学思想方法具有鲜明的文化特征，这说明古代侗族对经典数学有了较好的理解和应用，她再现了中国古代数学应用之一斑.古老的侗族传承着人类古老的数学文化.研究侗族数学文化的根本目的在于弄清侗族学生学习数学的文化基础，以适时地在侗族地区实施跨文化数学教育，为全面提高侗族地区的数学教育质量发挥积极作用. ［参考文献］【相关文献】[1]薛永应.揭秘千年[M].北京：中央编译出版社，2003.[2]罗永超.侗族数学文化中的2与及相关计算[J].凯里学院学报，2008，26（3）：13-15.[3]罗永超.鼓楼人类文明“童年时期”数学文化的结晶[J].数学通报，2007，（11）：9-11.[4]张雄.黄金分割的美学意义及其应用[J].自然辩证法研究，1999，15（11）：5-8.[5]欧明杰.侗族鼓楼中的数学知识[J].凯里学院学报，2008，26（3）：8-12.[6]张和平，罗永超，肖绍菊.研究性学习与原生态民族文化资源开发实践——以黔东南苗族服饰和侗族鼓楼蕴涵数学文化为例[J].数学教育学报，2009，18（6）：70-73.。
控制测量学名词解释
1.1985国家高程基准: 1985年，国家测绘部门以青岛验潮站1953年至1979年的观测资料为依据，重新确定修正后的水准零点高程（72.2604 米），称为“1985国家高程基准”2.正高高程系:正高系统以大地水准面作为高程基准面，点的正高为：点沿铅垂方向到大地水准面的距离3.控制测量学:研究精确测定和描绘地面控制点空间位置及其变化的学科4.水准面:静止的水面称为水准面，水准面是受地球表面重力场影响而形成的，是一个处处与重力方向垂直的连续曲面，因此是一个重力场的等位面5.大地水准面的差距:从大地水准面沿法线到地球椭球体面的距离6.水准标尺分划面弯曲差：通过分划面的两端点的直线中点至分划面的距离7.方向观测法：在一测回内把测站上所有观测方向，先盘左位置依次观测，后盘右位置依次观测，取盘左、盘右平均值作为各方向的观测值8电子经纬仪：利用光电技术测角，带有角度数字显示和进行数据自动归算及存储装置的经纬仪9.测站偏心：有时为了观测的需要，如觇标的橹柱挡住了某个照准方向。
仪器也必须偏离通过标石中心的垂线进行观测。
10. 水准面的不平行性：重力加速度随纬度的不同而变化的，在赤道g较小，而在两极g值较大，因此水准面相互不平行，且为向两极收敛的、接近椭圆的曲线。
重力异常，不规则的变化。
1、控制测量学的基本任务：①在设计阶段建立用于测绘大比例尺地形图的测图控制网②在施工阶段建立施工控制网③在工程竣工后的运营阶段，建立以监视建筑物变形为目的的变形观测专用控制网控制测量学的主要研究内容（1）研究建立和维持高科技水平的工程和国家水平控制网和精密水准网的原理和方法，以满足国民经济和国防建设以及地学科学研究的需要。
（2）研究获得高精度测量成果的精密仪器和科学的使用方法。
（3）研究地球表面测量成果向椭球及平面的数学投影变换及有关问题的测量计算。
（4）研究高精度和多类别的地面网、空间网及其联合网的数学处理的理论和方法、控制测量数据库的建立及应用等。
照相机的三脚架原理
照相机的三脚架原理
照相机的三脚架是一种用于固定相机的支架装置。
其原理是利用稳定的三脚支撑结构，提供相机固定的支撑平台，以减少相机在拍摄过程中因手持或者放置不稳造成的抖动，从而获得更稳定、清晰的照片。
三脚架的结构一般由三根脚杆和相机支架组成。
每根脚杆都分为多个可伸缩的节段，通过旋转锁定装置连接，从而可根据需求调整脚杆的长度。
三根脚杆通过交叉连接构成一个稳固的三角形支撑结构，稳定性很高。
脚杆的末端通常配备有一种叫做脚垫的装置，脚垫的设计使其能够提供更好的摩擦力，从而增加三脚架的稳定性。
一些脚垫还可以调整角度，以适应不同地形的使用需求。
相机支架位于三脚架的顶部，用于承载相机并将其固定在上面。
相机支架的设计通常具备可调节的角度，以实现不同拍摄角度的需要。
同时，相机支架通常配备一个快拆装置，方便用户快速固定或取下相机。
使用三脚架时，只需将其稳固地放置在地面或其他支撑物上，并调整脚杆和相机支架的角度，使相机正对拍摄对象。
然后将相机固定到相机支架上，通过相机的快门按钮进行拍摄。
通过使用三脚架，可以最大程度地减少摄影过程中的抖动和晃动，提高图片的清晰度和稳定性。
此外，三脚架还可提供更多
的拍摄自由度，使得拍摄者能够更好地选择不同的拍摄角度和构图。
全站仪极坐标法测量方法
全站仪极坐标法测量方法一、概述全站仪极坐标法是一种常用的测量方法，适用于各种建筑工程、土木工程、测绘工程等领域。
本文将从全站仪的原理、使用、校准等方面对全站仪极坐标法进行全面、详细、完整地探讨。
二、全站仪的原理与构成2.1 全站仪的原理全站仪是一种综合了测角仪、测距仪和自动水平仪等功能的现代化测量仪器。
它通过激光束发射器和接收器的相互作用，利用三角测量原理来确定目标物体的位置。
2.2 全站仪的构成全站仪由测量仪器、测量杆和三脚架组成。
测量仪器包括主机、显示屏、键盘等部分，用于操作和显示测量结果。
测量杆用于支撑测量仪器，并能对其高度进行调整。
三脚架用于稳定全站仪的位置，确保测量的准确性。
三、全站仪极坐标法的测量步骤3.1 设置全站仪1.将三脚架稳定地放置在测量点上，并使用水平仪调整其水平。
2.将全站仪安装在三脚架上，并进行水平校准。
3.2 设置目标点1.在需要测量的目标点上设置参考点，可以使用标杆等工具。
2.使用全站仪的激光瞄准器将瞄准线对准目标点的参考点。
3.3 进行测量1.使用全站仪的观测模式，对目标点进行观测。
2.通过观测仪器上的显示屏和键盘，记录下测量结果。
3.4 计算测量结果1.将观测得到的角度、距离等数据输入到计算机中。
2.利用三角函数等数学方法，进行测量结果的计算。
3.5 结束测量1.对全站仪进行关机等操作，结束测量过程。
2.对测量结果进行整理和分析，生成相应的测量报告。
四、全站仪极坐标法的优点与应用场景4.1 优点•测量准确性高，精度可达毫米级。
•操作简便，快速高效。
•可以在复杂地形中进行测量。
•数据可以轻松导入计算机，方便数据处理和分析。
4.2 应用场景•建筑工程中的地基测量。
•道路工程中的线路测量。
•桥梁工程中的结构测量。
•测绘工程中的地形测量等。
五、全站仪极坐标法的注意事项和常见问题5.1 注意事项•在使用全站仪之前，需要对仪器进行校准，确保测量的准确性。
•在测量过程中，需要注意保护好全站仪，防止发生意外损坏。
暑期备课笔记-高一物理第14讲：物体受力平衡的应用(教师版)
第13讲物体受力平衡（教师版）处理平衡问题的几种方法常用数学方法一．菱形转化为直角三角形：如果两分力大小相等，则以这两分力为邻边所作的平行四边形是一个菱形．而菱形的两条对角线相互垂直，可将菱形分成四个相同的直角三角形，于是菱形转化成为直角三角形．二．相似三角形法：如果在对力利用平行四边形定则运算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解．三．正交分解法: 建立直角坐标系，将各力分解到x轴和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件。
多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。
值得注意的是：对x、y轴的方向的选择，尽可能使落在坐标轴上的力多，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。
常用物理方法一．隔离法：为了弄清系统（连接体）内某个物体的受力和运动情况，一般可采用隔离法．运用隔离法解题的基本步骤是：（1）明确研究对象或过程、状态；（2）将某个研究对象或某段运动过程、或某个状态从全过程中隔离出来；（3）画出某状态下的受力图或运动过程示意图；（4）选用适当的物理规律列方程求解．二．整体法：当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可采用整体法．运用整体法解题的基本步骤是：（1）明确研究的系统或运动的全过程；（2）画出系统整体的受力图或运动全过程的示意图；（3）选用适当的物理规律列方程求解．应用物体受力平衡分析物体受力利用数学方法分析物体受力利用物理方法分析物体受力1.合成分解法【例1】如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？【解析】以小球为研究对象，将重力按效果进行分解，作出力分解图，如图1．球对斜面的压力等于F2= mg/cosθ。
球对挡板的压力等于F1=mgtanθ．【答案】mgtanθ，mg/cosθ2.三角形相似法【例2】如图4所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。
【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)
【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ [提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么 图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分？ 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
证明：若EF、GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
（三）典型例题
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
2024年神奇的三脚架大班科学教案
2024年神奇的三脚架大班科学教案一、教学内容本节课选自《幼儿园大班科学活动教材》第四章“力的探索”，详细内容为“神奇的三脚架”。
通过学习三脚架的稳定性原理，让幼儿了解三角形在生活中的应用，培养幼儿的观察力、思考力和动手操作能力。
二、教学目标1. 了解三脚架的稳定性原理，知道三角形在生活中的应用。
2. 能够通过实践操作，探索三脚架的稳定性，培养动手操作能力。
3. 增强对科学现象的好奇心，激发幼儿探索科学的兴趣。
三、教学难点与重点重点：三脚架的稳定性原理，三角形的特征。
难点：让幼儿理解三角形在生活中的应用，培养幼儿的观察力和思考力。
四、教具与学具准备1. 教具：三脚架模型、三角形物品（如三明治、自行车三脚架等）、图片、实验器材。
2. 学具：画纸、彩笔、剪刀、胶水、三角板、积木。
五、教学过程1. 实践情景引入：出示三脚架模型，让幼儿观察并讨论其在生活中的应用。
2. 例题讲解：讲解三脚架的稳定性原理，引导幼儿了解三角形的特征。
b. 演示三脚架稳定性实验，让幼儿观察并思考原因。
3. 随堂练习：发放画纸、彩笔等材料，让幼儿动手绘制三角形，并尝试搭建三脚架模型。
六、板书设计1. 板书神奇的三脚架2. 板书内容：a. 三角形的特征：三边、三个角、稳定不易变形。
b. 三脚架稳定性原理：三角形结构，稳定性强。
七、作业设计1. 作业题目：找一找生活中的三角形，并记录下来。
2. 答案示例：自行车三脚架、三明治、衣架、三角形积木等。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课幼儿对三脚架的稳定性原理和三角形的特征有了初步的认识，但在动手操作过程中，部分幼儿对三角形的绘制和搭建存在一定困难。
2. 拓展延伸：a. 鼓励幼儿在家庭和学校中寻找三角形物品，加深对三角形特征的理解。
b. 组织一次“三角形创意画”活动，让幼儿运用所学知识进行创作。
c. 结合其他学科，如数学、美术等，开展三角形相关教学活动，提高幼儿的综合运用能力。
重点和难点解析：1. 教学难点与重点的确定。
三角形的稳定性(教案)-四年级下册数学北师大版
教案：三角形的稳定性教学目标：1. 理解三角形的稳定性，能够判断三角形是否稳定。
2. 学会利用三角形的稳定性解释生活中的现象。
3. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 理解三角形的稳定性。
2. 学会利用三角形的稳定性解释生活中的现象。
教学难点：1. 理解三角形的稳定性。
2. 学会利用三角形的稳定性解释生活中的现象。
教学准备：1. 教学课件。
2. 三角形模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察三角形的模型，提问：你们知道三角形有什么特性吗？2. 学生回答后，教师总结：三角形有三条边和三个角，是一种稳定的图形。
二、探究三角形的稳定性（15分钟）1. 教师出示一个三角形模型，让学生观察并思考：为什么三角形具有稳定性？2. 学生回答后，教师总结：因为三角形的三个角都是固定的，所以三角形具有稳定性。
3. 教师引导学生思考：在生活中，有哪些地方利用了三角形的稳定性？4. 学生回答后，教师总结：例如，自行车的三角架、照相机的三脚架等都是利用了三角形的稳定性。
三、巩固练习（10分钟）1. 教师出示一些图形，让学生判断哪些是稳定的三角形，哪些是不稳定的三角形。
2. 学生回答后，教师进行点评和讲解。
四、拓展延伸（5分钟）1. 教师引导学生思考：除了稳定性，三角形还有哪些特性？2. 学生回答后，教师总结：三角形还有角度和边长的关系，如直角三角形、等边三角形等。
五、总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：你们学到了什么？2. 学生回答后，教师总结：我们学习了三角形的稳定性，了解了三角形在生活中的应用，希望大家能够运用所学的知识解决生活中的问题。
教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和探究，使学生理解了三角形的稳定性，并能够运用所学的知识解释生活中的现象。
在教学过程中，教师注重启发学生的思维，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
同时，通过巩固练习和拓展延伸，使学生对三角形有了更深入的了解。
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三脚架的数学原理
四川省南部中学蒲筱平
三脚架是主要由三条杆材连接而成的支撐结构。
作为承重工具，更重要的是作为在空间中固定物体位置的固定工具，三脚架在生产和生活的各个领域都有广泛的应用。
关于三脚架的数学原理，我看到已有两种解释。
一种解释说其原理是利用三角形的稳定性，使架于其上的物品获得一个稳定的支撑，而不易翻倒。
另一种解释说其原理是利用经过不在同一条直线上的三个点, 有且只有一个平而。
也称为不在同一条直线上的三个点确定一个平而。
此说法我设想其典型化的解释：把3个球放在地面上，使它们不在同一条直线上（3个球视为不在同一条直线上的三个点），放一块平板
（视为平而）在这3个球上（即经过这三个点有一个平而），这3个
球能支撑住平板（即经过这三个点只有一个平面）一一虽然如此，但并不唯一地确定被支撐物的位置。
以上两种解释分别用初中数学的平面几何中三角形的稳定性，高中数学的立体几何中关于平而的公理解释三脚架的原理。
看似有理，其实是不相关的：三脚架的原理其实是用3条线段（即三脚）及3个点（即脚的着地点）确定一个点（被支撐物）的位置，而不是用3条线段的长度确定三角形的形状和大小（三角形的稳定性），也不是用3个点确定一个平而。
从数学的角度说，三脚架的原理（不妨称为三脚架定理）是：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球个球而
④两个球面：设两球而a, a的半径分别为T, r,两球心的距2211离为d。
当d> r+r时,称球面a , a夕卜离;当d= r+r时，称球面a , 1122211
a ?<d <r?时称-r=? r a相交？;当r-r；当0<d , +T时称球面a外切2122122H?时称球面a ?-r r<?, a内切；当0=d=?r-r重合；当d球面a , a 21212121时称球而a , a内含；当d=0时称球面a , a同心O 2121
⑤圆与球面：
,平面a与球面B的位置有且只有3种：设圆&所在的平面为a切点与圆&的位置有与球而0相切时，相离，相交，相切；平面a且只有3种：切点在圆外，切点在圆上，切点在圆内：平面a与球面B相交时，公共部分组成一个圆（不妨称为交圆），圆&与交圆的位置按照初中数学中的方法分外离，外切，相交（此时可称圆&与球面B相交），内切，内含（包括同心），重合（此时可称圆&在球面B上或称球面0经过圆&）等6种。
这样可以一一对应地确定出圆与球面的10种位置关系。
二、定理
定理1、两球面a, a :外离时，公共点数为0；外切时，公共21点
（可称外切点）数为1,该点与两个球心在同一条直线上；相交时，有无数个公共点，所有公共组成一个圆，过两球面a, a的球心的21 直线经过该圆的圆心并且垂直于该圆所在的平面；内切时，公共点（可称内切点）数为1,该点与两个球心在同一条直线上；重合时，所有公共组成一个球面，此时3个球而重合；内含时，公共点数为0。
那么圆与球而相交，如果圆与球而有且只有两个公共点，、2定理. 当球心在圆确定的平而上时，这两个公共点关于圆心与球心确定的直线对称；当球心不在圆
确定的平而上时，这两个公共点连线段的中点、圆心、球心不在同一条直线上，它们确定一个平面（记为平面「），这两个公共点关于平而r 成镜而对称。
定理3、如果圆与球面有3个公共点，那么它们有无数个公共点，所有公共点组成的图形就是该圆。
定理4、球心不在同一条直线上的3个球面的公共点的数量只能为0 或1或2；当只有一个公共点时，该公共点与3个球而的球心在同一个平而内；当有两个公共点时，这两个公共点位于3个球面的球心确定的平而之外，分居该平而的两侧，且关于该平面成镜面对称.
由定理4立即可得
定理5 （三脚架定理）：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球而的公共点，在3个球面的球心所在平面的某一侧，有且只有一个。
三、三脚架定理的解释
三脚架使用其3脚（线段）与3个落脚点（不在同一条直线上）来固定3脚的交汇点（下面简称交汇点）。
实质是用不在同一条直线上的3个点和3条线段，在3个点确定的平面的一侧决定一个点的位置。
三脚架一脚的长度及其落脚点都确定时，交汇点到该落脚点（定点）的距离等于相应的脚的长度（定长），因此交汇点在以落脚点为即交汇对三脚架的每一脚都如此，球心以脚的长度为半径的球面上；
点是分别以3个落脚点为球心，相应的脚的长度为半径的3个球而的公共点。
三脚架工作时任何两脚都不在同一条直线上，它们的落脚点与交
汇点形成一个三角形，根据三角形三边长度的不等关系，两落脚点（球心）之间的距离大于两脚长度（半径）之差，且小于两脚长度
（半径）之和，因此两球而相交。
于是，该3个球而是两两相交的, 即三脚架的的交汇点是球心不在同一条直线上的两两相交的3个球面的公共点。
由三脚架定理知，当3个落脚点不在同一条直线上时, 在它们确定的平而的一侧一一通常取平面的上方（这是由万有引力确定的），上述3个球面的公共点必定是唯一固定的，即交汇点的位置是被唯一固定的。
因此，当三脚架3脚的长度与3个落脚点（不在同一条直线上）固定时，三脚架上被支撐物的位置就固定不变了。
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