2018年湖北咸宁市中考数学试卷(含解析)
2018年湖北省咸宁市初中毕业、升学考试
数学学科
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（湖北省咸宁市，1，3）咸宁冬季里某一天的气温为- 3℃?2 ℃，则这一天的温差是( ) A．1℃B．-1℃C．5℃D．-5℃
【答案】C
【解析】解：根据“温差=最高气温 最低气温”，2℃－（－3℃）=2℃+3℃=5℃，故选C．
【知识点】有理数的减法运算
2．（湖北省咸宁市，2，3）如图，已知a∥b，l与a、b相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于( ) A．120°B．110°C．100°D．70°
【答案】B
【解析】解：如图所示，∠3=∠1=70°.
∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°－70°=110°，故选择B．
【知识点】平行线的性质；对顶角
3．（湖北省咸宁市，3，3）2017年，咸宁市经济运行总体保持平稳较快增长，全年GDP约123 500 000 000元，增速在全省17个市州中排名第三.将.123 500 000 000用科学记数法表示为( )
A．123.5×109B．12.35×1010C．1.235×108D．1.235×1011
【答案】D
【解析】123 500 000 000的整数数位有12位，所以a×10n中，a的值为1.235，n的值为12－1=11，即123 500 000
000=1.235×1011，故选D．
【知识点】科学记数法
4．（湖北省咸宁市，4，3）用4个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体，该几何体的( )
A．主视图和左视图相同B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同D．各种视图都相同
【答案】A
【解析】从正面看，其主视图有两层小正方体，其中底下一层有2个小正方体，上面一层左侧部分有1个小正方体；从左面看，其左视图两层小正方体，其中底下一层有2个小正方体，上面一层左侧部分有1个小正方体；从上面看，其俯视图两层小正方体，其中底下一层有1个小正方体，上面一层有2个小正方体，所以主视图和左视图相同，故选A ． 【知识点】三视图 5．（湖北省咸宁市，5，3）下列计算正确的是( )
A ．3332a a a =g
B ．224
a a a += C ．623
a a a ÷= D ．23
6
(2)8a a -=-
【答案】D
【解析】根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可得336
a a a =g ，故A 错误；“合并同类项的法则：把同
类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”可得2
2
2
2a a a +=，故B 错误；根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得6
2
4
a a a ÷=，故C 错误；根据积的乘方运算法则可得D 正确 【知识点】合并同类项；同底数幂的除法；幂的乘方；积的乘方运算
6．（湖北省咸宁市，6，3）已知一元二次方程2
2210x x +-=的两个根为12x x ，且12x x <，下列结论正确的是
( )
A ．121x x +=
B ．121x x =-g
C ．12x x <
D ．2
1112
x x +=
【答案】D
【解析】由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝212-
=-，121122
x x -==-g ，故A 、B 错误；由x 1＋x 2＜0，120x x
2210x x +-=的一个根，∴
2112210x x +-=，∴2111
2
x x +=
，故D 正确 【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解 7．（湖北省咸宁市，7，3）如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别为∠AOB ，∠COD ，若∠
AOB 与∠COD 互补，弦CD =6，则弦AB 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．52 D ．53
【答案】
【解析】解：作OF ⊥AB 于F ，作直径BE ，连接AE ，如图， ∵∠AOB+∠COD=180°， 而∠AOE+∠AOB=180°， ∴∠AOE=∠COD ，
∴?
?AE DC ， ∴AE=DC=6，
∵OF ⊥AB ， ∴BF=AF ， 而OB=OE ，
∴OF 为△ABE 的中位线， ∴OF=
1
2
AE=3． 由勾股定理可得AF=4，∴AB=8，故选择B ．
【知识点】圆周角定理；垂径定理；三角形中位线性质 8．（湖北省咸宁市，8，3）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟.在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分； ③乙用16分钟追上甲；
②乙走完全程用了32分钟； ④乙到达终点时，甲离终点还有300米 其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
t /分
y /米
O
240
4 16
E
F
【答案】A
【思路分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题
【解题过程】解：由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷
（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④错误，故选A ． 【知识点】一次函数的应用
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（湖北省咸宁市，9，3）如果分式1
2
x -有意义，那么实数x 的取值范围是__________. 【答案】x≠2 【解析】因为分式
1
2
x -有意义，所以分母x －2≠0，解得x≠2，故答案为x≠2. 【知识点】分式的有意义的条件
10．（湖北省咸宁市，10，3）因式分解：2
ab a -=__________. 【答案】(1)(1)a b b +-
【解析】先提公因式，再运用平方差公式分解2
2
(1)(1)(1)ab a a b a b b -=-=+-，故答案为(1)(1)a b b +- 【知识点】分解因式 11．（湖北省咸宁市，11，3）写出一个比2 大比3 小的无理数(用含根号的式子表示) __________. 【答案】5(答案不唯一)
【解析】无理数是无限不循环小数，在初中阶段常见的无理数包括三种情况：①含有根号，被开方数不是完全平方数；②含有π的式子；③人为构造的且有一定规律的数，且后面要加上省略号，如1.010010001…（后面每2个1之间多一个0），故答案为5等
【知识点】无理数 12．（湖北省咸宁市，12，3）—个不透明的口袋中有3 个完全相同的小球，它们的标号分別为1,2,3.随机摸出一个小球然后放冋，再随机摸出一个小球.两次摸出的小球标号相同的概率是__________. 【答案】
【解析】列表分析所有可能的结果如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） 3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
第 一 次
结
果
第 二
次
从表中可以看出共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同的结果有3种，其概率
31
93
P==，，故答案
为1 3
【知识点】概率
13．（湖北省咸宁市，13，3）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部的仰角为45 °，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_________m.( 结果
保留整数，3 1.73
≈)
【答案】300
【解析】在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110 m，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝110 m
∴CD＝AD tan601103
??=，∴BC＝BD +CD=110+1103≈300 m
【知识点】解直角三角形的应用
14．（湖北省咸宁市，14，3）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点E的坐标为(2,3)，则点F的坐标为__________.
【答案】（-1，5）
【解析】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（-3，2）．∴O′（
1
2
-，
5
2
）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐
标为（-1，5）．故答案是：（-1，5）．
【知识点】
15．（湖北省咸宁市，5，3）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：1111
,,,,,
261220
g g g则这个数列的前2018
个数的和为__________.
【答案】2018 2019
【解析】11111111
,,,,,
21262312342045
====
????
g g g则第2018个数为
1
20182019
?
则这个数列的前2018个数的和为
11111 1223344520182019 +++++
?????
g g g
=
111111111 1
223344520182019 -+-+-+-++-
g g g
=
1 1
2019 -
=2018 2019
【知识点】探究规律
16．（湖北省咸宁市，16，3）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA OB a
==,将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α(0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD。有下列结论：
①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD的面积的最大值为2
3a
其中正确的是_____________(把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【思路分析】连结OC，先根据对称性及求出∠ACD的大小为定值，再对四个结论逐一进行判断
【解题过程】连结OC，∵点A关于直线OM′的对称点C，由对称性可得OA=OC，CD=AD，故①正确；
∵OA=OC ∴∠COD=∠AOD=α
由对称性可OM′垂直平分AC ∴∠OCA=90°-α
∵OA=OB，OA=OC ∴OB=OC
∵∠BOC=120°-2α∴∠BCO=30°+α
∴∠BCA=90°-α+30°+α=120°
∴∠ACD=180°-120°=60°
故②错误；
∵CD=AD ∴△ACD为等边三角形
当α=30°时，∠AOC=60°∴△ACO为等边三角形
∴OA=OC=CD=AD ∴四边形OADC为菱形
故③正确；
要使△ACD的面积的最大值即AC要最大
当α＝90°，A 、O 、C 在一条直线上AC 最大 ∴△ACD 的面积的最大值为21
2332
a a a ??= 故④正确
【知识点】轴对称的性质；等边三角形的性质和判定；等腰三角形的性质；菱形的判定
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（湖北省咸宁市，17(1)，4）计算：2-38-123+
；
【思路分析】分别根据二次根式的化简、开立方、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可
【解题过程】原式＝232233-+-= 【知识点】二次根式性质与化简；开立方；绝对值
17．（湖北省咸宁市，17(2)，4）化简：()()().123---+a a a a
【思路分析】先利用多项式乘以多项式的法则将()()32a a +-乘出来，再利用单项式乘以多项式的法则将a （a －1）乘出来，合并同类项，完成整个化简过程
【解题过程】解：原式＝(
)
2
2
22
2362362 6.a a a a a a a a a a a -+---=-+--+=- 【知识点】单项式与多项式的乘法；多项式乘以多项式的乘法
18．（湖北省咸宁市，18，7）已知：AOB ∠.
求作：,'
''B O A ∠使'''AO B AOB ∠=∠
作法：
(1)如图1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；
(2)如图2，画一条射线'
'A O ,以点'
O 为圆心OC 长为半径画弧，交于点'
'A O 于点'
C ； (3)以点'C 为圆心，
D C ,长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点'
D ；
(4)过点 '
D 画射线'OB ，则 '''
AO
B AOB ∠=∠. 根据以上作图步骤，请你证明AOB B O A ∠=∠'
''.
【思路分析】由画一条射线''A O ,以点'O 为圆心OC 长为半径画弧，交于点''A O 于点'C 可得OC =O′C′，由以点
'C 为圆心，D C ,长为半径画弧，与第 2 步中所画的弧交于点'D 可得OD =O′D ′，CD =C ′D ′，从而
'''.COD C O D ???
【解题过程】证明：由作图步骤可知， 在COD ?和'''D O C ?中，
''''
''OC O C OD O D CD C D ?=?=??=?
, '''().COD C O D SSS ∴???
COD D O C ∠=∠∴'''.
即AOB B O A ∠=∠'''.
【知识点】三角形全等；尺规作图 19．（湖北省咸宁市，19，8）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行” 方式之一，自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车.某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表. 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数
11
15
23
28
18
5
(1)这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是____________，众数是____________ 该中位数的意义是____________；
(2)这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？（结果保留整数）
(3)若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3 次）的学生有多少人？ 【思路分析】（1）根据中位数和众数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的公式列式计算即可；（3）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生所占比例即可得． 【解题过程】（1）∵总人数为11+15+23+28+18+5=100， ∴中位数为第50、51个数据的平均数，即中位数为
33
2
+=3次，众数为3次， 其中中位数表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3次以上（或3次），
故答案为：3、3、表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3次以上（或3次）； （2）01111522332841855
2100x ?+?+?+?+?+?=
≈（次），
答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车约3次； （3）1500×
28185
100
++=765（人），
答：估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有765人．
【知识点】中位数；众数；平均数；利用样本平均数估计总体
20．（湖北省咸宁市，20，8）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4,2)，直线2
5
21+-
=x y 与边AB ，BC 分别相交于点M ，N ，函数)0(>=
x x
k
y 的图象过点M
(1) 试说明点N 也在函数)0(>=
x x
k
y 的图象上； (2) 将直线MN 沿y 轴的负方向平移得到直线M′N′,当直线M′N′与函数)0(>=
x x
k
y 的图象仅有一个交点时，求直线M′N′的解析式.
【思路分析】（1）根据矩形OABC 的顶点B 的坐标可得点M 的横坐标及点N 的纵坐标代入直线2
521+-=x y 可求点M 的坐标及点N 的坐标），根据待定系数法可求函数)0(>=
x x k
y 的解析式，再把N 坐标代入即得作出判断；（2）由平移的性质可设直线M'N ′的解析式为12y x b =-+再与函数)0(>=x x
k
y 联列方程组，再根据
判别式即可求解．
【解题过程】解：（1）∵矩形OABC 的顶点B 的坐标为（4，2）， ∴点M 的横坐标为4，点N 的纵坐标为2，
把x=4代入25
21+-
=x y ，得y=12，∴点M 的坐标为（4，12）， 把y=2代入25
21+-=x y ，得x=1，∴点N 的坐标为（1，2），
∵函数)0(>=x x k
y 的图象过点M ，
∴k=4×1
2=2，
∴2
(0)y x x
=>，
把N （1，2）代入2
y x =，得2=2，
∴点N 也在函数)0(>=x x
k
y 的图象上；
（2）设直线M'N ′的解析式为1
2
y x b =-+，
由122y x b y x ?=-+????=??
得x 2-2bx+4=0， ∵直线12y x b =-
+与函数)0(>=x x
k
y 的图象仅有一个交点， ∴（-2b ）2-4×4=0，
解得b=2，b 2=-2（舍去）， ∴直线M'N ′的解析式为1
22
y x =-
+． 【知识点】用待定系数法求反比例函数的解析式；一次函数与反比例函数的交点问题；矩形的性质 21．（湖北省咸宁市，21，9）如图，以△ABC 的边AC 为直径的⊙O 恰为△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，过 点D 作AC DE // 交BC 的延长线于点E .
(1) 求证DE 是⊙O 的切线；
(2) 若,5,52==BC AB 求DE 的长.
【思路分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE 是⊙O 的切线；（2）首先过点C 作CG ⊥DE ，垂足为G ，则四边形ODGC 为正方形，得出ABC CGE V :V ，CG AB
GE BC
=
，即可求出答案． 【解题过程】（1）证明：连接OD ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=45°， ∴∠AOD=90°， ∵DE ∥AC ，
∴∠ODE=∠AOD=90°， ∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：在Rt △ABC 中，AB=25，BC=5， ∴AC=22AB AC +=5，
∴OD=
52
， 过点C 作CG ⊥DE ，垂足为G ， 则四边形ODGC 为正方形，
A B C
D
E O
∴DG=CG=OD=
52
， ∵DE ∥AC ，
∴∠CEG=∠ACB ， ∵∠ABC=∠CGE=90° ∴ABC CGE V :V ∴
CG AB GE BC =，即2.525
5
GE =
， 解得：GE=
5
4
， ∴DE=DG+GE=15
4
．
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质 22．（湖北省咸宁市，22，10）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书木知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动。在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4 个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 30
42 租金（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师. （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2 名老师，可知租用客车总数为_____辆； （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由. 【思路分析】（1）找出题目中的等量关系：每位老师带17个学生的学生人数＝学生总人数－12人，每位老师带18个学生的学生人数＝学生总人数+4人，把未知数代入数量关系得到方程组；（2）由（1）问得出的老师人数及师生人数都有车坐可得结果；（3）设乙种客车租x 辆，则甲种客车租（8－x ）辆，由租车总费用不超过3100元列不等式，再由所有师生都有车坐列不等式，求出的取值范围再找出租车方案，最后得出最省钱的租车方案 18. 【解题过程】解 ：（1）设老师有x 人，学生有y 人，依题意得
??
?+=-=4
1812
17y x y x ， 解得??
?==284
16
y x
答: 此次参加研学旅行活动的老师有16人，学生有284人.
（2）由（1）得出老师有16人，要保证每辆客车上至少要有2 名老师，租用客车总数最多8辆.
A B C
D
E O
G
（3）设乙种客车租x 辆，则甲种客车租（8－x ）辆. Θ租车总费用不超过3100元，
∴,3100)-300(8400x ≤+x 解得7≤x .
为使300名师生都有车座，
300)8(3042≥-+∴x x ，解得.5≥x x x (75≤≤∴为整数） ∴共有3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用2900元； 方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用3000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆，租车费用3100元；
∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆.
【知识点】二元一次方程组的应用；不等式的应用 23．（湖北省咸宁市，23，10）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这
两个三角形相似（不全等．．．),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”. 理解：
（1）如图1，已知ABC Rt ?在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，ο
ο
140,80=∠=∠ADC ABC ，对角线BD 平分ABC ∠. 求证： BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用：
(3)如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，ο30=∠=∠HFG EFH .连接EG ，若EFG ?的面积为32，求FH 的长.
【思路分析】（1）先求出AB ，BC ，AC ，再分情况利用相似比求出CD 或AD ，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC ，即可得出结论；（3）先判断出△FEH ∽△FHG ，得出FH 2=FE ?FG ，再判断出EQ=
3
2
FE ，继而求出?FE=8，即可得出结论． 【解题过程】解：（1）由图1知，AB=5，BC=25，∠ABC=90°，AC=5， ∵四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD=90°时，△ACD ∽△ABC 或△ACD ∽△CBA ，
∴
12AC AB CD BC ==或2AC BC
CD AB
==， ∴CD=10或CD=2.5
同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10， （2）证明：∵∠ABC=80°，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC=40°， ∴∠A+∠ADB=140° ∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°， ∴∠A=∠BDC ， ∴△ABD ∽△BDC ，
∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；
（3）如图3，
∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFG 与△HFG 相似， ∵∠EFH=∠HFG ， ∴△FEH ∽△FHG ， ∴
FE FH
FH FG
=
， ∴FH 2=FE ?FG ，
过点E 作EQ ⊥FG 于Q ， ∴EQ=FE ?sin60°=
3
2
FE ， ∵
1
2
FG ×EQ=23， ∴
1
2
FG ×32FE=23，
∴FG ?FE=8，
∴FH 2=FE ?FG=8， ∴FH=23．
【知识点】相似三角形的判定和性质；锐角三角函数
24．（湖北省咸宁市，24，12）如图，直线34
3
+-
=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ,抛物线c bx x y ++-=28
3
。经过B A 、两点，与x 轴的另一个交点为C .
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ,设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；
（3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接CD OD 、.设ODC ?外接圆的圆心为M ，当ODC ∠sin 的值最大
时，求点M 的坐标.
【思路分析】（1）根据直线解析式求得点A 、B 的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得； （2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，据此知△PEQ ∽△OBQ ，根据对应边成比例得y=1
3
PE ，由P （m ，-
38m 2+34m+3）、E （m ，-34m+3）得PE=-38m 2+3
2
m ，结合y=13PE 可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；
（3）设CO 的垂直平分线与CO 交于点N ，知点M 在CO 的垂直平分线上，连接OM 、CM 、DM ，根据∠ODC=1
2
∠CMO=∠OMN 、MC=MO=MD 知sin ∠ODC=sin ∠OMN=1
NO MO MO
=
，当MD 取最小值时，sin ∠ODC 最大，据此进一步求解可得． 【解题过程】解：（1）在y=-
3
4
x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3， ∴点A （4，0）、B （0，3）， 把A （4，0）、B （0，3）代入y=-
38
x 2
+bx+c ，得： 2
3440
8
3b c c ?-?++=???=?
， 解得：343
b c ?
=?
??=?，
∴抛物线解析式为y=-
38x 2+3
4
x+3； （2）如图1，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，
A B C
x
y
O
备用图
x
y
O
A B
C
P
Q
则△PEQ∽△OBQ，
∴PQ PE OQ OB
=，
∵PQ
y
OQ
=、OB=3，
∴y=1
3 PE，
∵P（m，-3
8
m2+
3
4
m+3）、E（m，-
3
4
m+3），
则PE=（-3
8
m2+
3
4
m+3）-（-
3
4
m+3）=-
3
8
m2+
3
2
m，
∴y=1
3
（-
3
8
m2+
3
2
m）=-
1
8
m2+
1
2
m=-
1
8
（m-2）2+
1
2
，
∵0＜m＜3，
∴当m=2时，y最大值=1
2
，
∴PQ与OQ的比值的最大值为1
2
；
（3）由抛物线y=-3
8
x2+
3
4
x+3易求C（-2，0），对称轴为直线x=1，
∵△ODC的外心为点M，
∴点M在CO的垂直平分线上，
设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，
则∠ODC=1
2
∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，
∴sin∠ODC=sin∠OMN=
1 NO
MO MO
=，
又MO=MD，
∴当MD 取最小值时，sin ∠ODC 最大， 此时⊙M 与直线x=1相切，MD=2， MN=223OM ON =-， ∴点M （-1，-3），
根据对称性，另一点（-1，3）也符合题意；
综上所述，点M 的坐标为（-1，3）或（-1，-3）．
【知识点】待定系数法求函数解析式；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的外心；圆的有关性质