数字图像处理第三章图像变换

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《数字图像处理》习题参考答案

《数字图像处理》习题参考答案第1 章概述连续图像和数字图像如何相互转换答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。

这样，数字图像可以用二维矩阵表示。

将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像（连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。

图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。

在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。

#采用数字图像处理有何优点答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1．具有数字信号处理技术共有的特点。

（1）处理精度高。

（2）重现性能好。

（3）灵活性高。

2．数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。

3．数字图像处理技术适用面宽。

4．数字图像处理技术综合性强。

数字图像处理主要包括哪些研究内容答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的图像。

]讨论数字图像处理系统的组成。

列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。

答：如图，数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的信息系统。

图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。

图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机）、图像存储器、图像输出设备等组成。

软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。

$图数字图像处理系统结构图1常见的数字图像处理开发工具有哪些各有什么特点答．目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++（面向对象可视化集成工具）和MATLAB 的图像处理工具箱（Image Processing Tool box）。

两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。

Microsoft 公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来的Win 32 程序有着运行速度快、可移植能力强等优点。

【精选】数字图像处理第3章

设定加权因子 ai 和 bi 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定
a2 b1 切。
1 ，b2

0.1
，a1

a0
b0

0
，该情况是图像剪切的一种列剪
（a）原始图像
Digital Image Processing
（b）仿射变换后图像
3.1 图像的几何变换
◘透视变换 :
把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为:

a2

b2
a1 b1
a0
b0

y

1
平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。
仿射变换具有如下性质：
（1）仿射变换有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能
保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。
1D-DFT的矩阵表示：
F (0)

F (1)

WN00 WN10

F (2)

WN20

F (N 1)
W
(N N
1)0
WN01 WN11 WN21
WN(N 1)1

W
0( N
N
1)
WN1(N 1)

第3章图像变换
◆ 3.1 图像的几何变换 ◆ 3.2 图像的离散傅立叶变换 ◆ 3.3 图像变换的一般表示形式 ◆ 3.4 图像的离散余弦变换 ◆ 3.5 图像的离散沃尔什－哈达玛变换 ◆ 3.6 K-L变换 ◆ 3.7 本章小结

3-1图像变化-傅立叶变换

1 3 1 F (0) f ( x ) exp[0] [ f (0) f (1) f (2) f (3)] 4 x 0 4 1 [2 3 4 4] 3.25 4 f(x)全部值对FT 1 3 都产生影响；反 F (1) f ( x ) exp[ j 2x / 4] 4 x 0 之，全部变换系 1 1 数对反变换也产 [2e0 3e j / 2 4e j 4e j 3 / 2 ] [2 j ] 4 4 生影响。 1 3 F (2) f ( x ) exp[ j 4x / 4] 4 x 0 1 1 [2e0 3e j 4e j 2 4e j 3 ] [1 j 0] 4 4 1 3 F (3) f ( x ) exp[ j 6x / 4] 4 x 0 1 1 [2e0 3e j 3 / 2 4e j 3 4e j 9 / 2 ] [2 j ] 4 4

f e ( x) g e ( x) f e (m) g e ( x m), x 0,1,2,...,M 1
m 0
M 1
定理：f(x,y)g(x,y) F(u,v)G*(u,v), f(x,y) g *(x,y) F(u,v) G(u,v), ―*‖表示复共轭。
快速傅立叶变换
DFT与FFT计算量比较
基本思想
基本思想
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
FFT特性
FFT思想
例题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
算法实现
算法实现
算法实现
例题
用傅立叶变换和FFT分别求F(u).

医学图像处理第3章图像变换3.2 医学图像的灰度变换

在此基础上对x进行一维傅立叶变换
F(u,v) 1 N1
f
(x,

v)e
j 2
ux N
u,
v

0,1,2,,
N
1
N x0
变量分离步骤如图所示先沿列的方向，然后沿行的方向
若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应。
f (x, y)
1
N 1 N 1
傅立叶变换提出 • 傅立叶（Fourier）：法国数学家，1768年生 • 1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅立叶级数 • 傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和 • 傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分 • 逆变换可以重建原函数
N x0
y0
u, v 0,1,2,, N 1
二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换
F(x,v) N[ 1 N1
j2 vy
f (x, y)e N ]
x,v 0,1,2,, N 1
N y0
F (u, v)e j 2 (uxvy) / N
N u0 v0

1
N 1
N 1
e j 2ux/ N F (u, v)e j 2vy / N
N u0
v0
x, y 0,1,2,, N 1
逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换。
2、平移性
f (x, y)e j2 (u0xv0y)/ N F(u u0, v v0 )
三. 二维离散傅立叶变换的性质

数字图像处理 03图像变换(DCT&DWT变换)

3.3.1 一维离散余弦变换
正变换： f (x)为一维离散函数， x = 0，1，"，N −1
∑ F (0) =
1
N −1
f (x) ,
N x=0
u=0
∑ F (u) =
2 N
N −1 x=0
f
(
x)
cos
⎡ ⎢⎣
π
2N
(2x
+
1)u
⎤ ⎥⎦
,
u = 1,2,", N −1
反变换：
∑ f (x) =
+ 1)u
⎤ ⎥⎦
∑ +
2 N
N −1 v=1
F
(0,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y +1)v⎥⎦⎤
∑ ∑ +
2 N
N −1 u =1
N −1 v=1
F
(u,
v)
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2x
+ 1)u ⎥⎦⎤
cos⎢⎣⎡
π
2N
(2 y
+ 1)v ⎥⎦⎤
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.3离散余弦变换（DCT）
23
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
S
滤波器组
低通
高通
A
D
图3-19 小波分解示意图
24
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.4 小波变换简介
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。

数字图像处理 03图像变换(沃尔什变换)

6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.2.2 Walsh函数
WW (0,t) = 1 WW (1, t ) = R (1, t ) WW (2, t ) = R (2, t ) ⋅ R (1, t ) WW (3, t) = R (2, t)
W W ( 0 , t ) +1
-1 W W (1, t ) +1
t 1
WaWlsWh(序7,的t ) W= Ral(s3h,函t ) 数的特点: R(数1(1)的,是t )是完+-11偶备函的数正,交序函号数为,奇序数号1的为t是偶
WW (4,t) WW (5, t)
t 1 1t
R奇( 2函, t )数+1;可用于正交变换。 t
-1
1
WW (6,t)
1t
R(2(3),一t ) 个+1周期内,过零点数与序号
WW (0, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t ) 0 = 1
5 101 111
WW (1, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t )1 = R (1, t )
6 110 101 7 111 100
WW ( 2, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t )1 ⋅ R (1, t )1 = R ( 2, t ) ⋅ R (1, t )
WW (0,t) =1 WW (1,t) = R(1,t) WW (2,t) = R(2,t)⋅ R(1,t) WW (3,t) = R(2,t) WW (4,t) = R(3,t)⋅ R(2,t) WW (5,t) = R(3,t)⋅ R(2,t)⋅ R(1,t) WW (6,t) = R(3,t)⋅ R(1,t) WW (7,t) = R(3,t)

遥感数字图像处理第三章图像变换

u=2时, u=3时, 在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为 F(u)= =Af(x)
2.二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)= (3.2—20) 式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。 f(x，y)= (3.2—21) 式中 x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它变换
从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
2傅立叶变换
在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数其复数形式为其中可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。
第三章图像变换
1
2
图像变换的目的、要求和应用傅立叶级数、频谱分析概念及其意义一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、性质及其应用
讲解内容
熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法
目的
从感性理解傅立叶变换，一幅数字图像里面包含有各种信号，有变化缓慢的背景，有变换激烈的边缘和噪声部分，而傅立叶变换就像光学中的三棱镜，在三棱镜的作用下，一束自然光光信号可以分为无数的单色光信号，单色光信号从频谱中心开心频率逐渐增加，那么一幅图像经过一个类似三棱镜的系统（傅里叶变换）就把源图像中的信号给分开了，这样我们就可以做各种处理就更为方便。

数字图像处理：第3章图像处理中的正交变换第一讲

132离散傅里叶变换的性质1线性如果时间序列xn2对称性如果3时间移位如果序列向右或向左移动k4频率移位如果3405周期性如果6偶函数如果奇函数如果卷积定理如果相关定理如果10帕斯维尔定理如果14快速傅里叶变换fft随着计算机技术和数字电路的迅速发展在信号处理中使用计算机和数字电路的趋势愈加明显
数字图像处理
F (u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
(u, v) arctg I (u, v)
R(u, v)
E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
(3—11) (3—12)
(3—13)
式中： F(u,v) 是幅度谱； (u,v) 是相位谱； E(u,v) 是能量谱。
N n0
(3—48) (3—49）
将正变换式（3—48）展开可得到如下算式
X (0) x(0)W00 x(1)W01 x( N 1)W0(N 1)
X (1) x(0)W10 x(1)W11 x( N 1)W1(N 1)
X (2) x(0)W20 x(1)W21 x( N 1)W2(N 1)
F * (u,v) 是 f (x, y) 傅里叶变换的
共轭函数，那么
F(u, v) F * (u,v)
（４）旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在变
换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即
f (r, 0 ) F(k , 0 )
（５）比例变换特性
如果 F(u, v) 是 f (x, y) 的傅里叶变换。a和b分别为两个标量，那么
叫相位谱。
傅里叶变换广泛用于频谱分析。
例：求图3—1所示波形 f(x) 的频谱。
f(x) A
X
-

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式中，
F(x,v)1N1f(x,y)ej2πvy/N Ny0
结论：（1）二维变换可以通过先进行行变换再进行列变换的两
次一维变换来实现。（2）也可以通过先求列变换再求行变换得到二维傅里叶变换。
A
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图3.3 用两次一维DFT计算二维DFT
A
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2．周期性、共轭对称性及频谱中心化
傅里叶变换和余弦变换。
方波型变换：
沃尔什-哈达玛变换。
基于特征向量的变换：
K-L变换。
从哈尔变换、短时傅里叶变换到小波变换。各种变换的定义和有关快速算法及实现方法。
A
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3.1 二维离散傅里叶变换（DFT）
3.1.1 二维连续傅里叶变换
定义：设 f (x, y) 是独立变量x和y 的函数，且在 ±∞ 上绝对可积，则定义积分
F (u ,v)R (u ,v)jI(u ,v)
幅度谱 |F (u ,v )| [R 2(u ,v ) I2(u ,v)]1 /2
相位谱
(u,v)arctanRI((uu,,vv))
A
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DFT幅度谱的特点
① 频谱的直流成分说明在频谱原点的傅里叶变换F(0, 0)等于图像的平均灰度级。
A
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图3.6 图像频谱的中心化
（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱
A
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（a）原始图像
（b）图像的频谱图图3.7 傅里叶变换
（c）中心化的频谱图
u X
π vY
其幅度谱为
F(u,v)AXYsin(πuX) sin(πvY) πuX πvY
图3.1 二维信号f (x, y)
A
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二维信号的频谱图
（a）信号的频谱图
（b）图（a）的灰度图
图3.2 信号的频谱图
A
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3.1.2 二维离散傅里叶变换
尺寸为M×N的离散图像函数的DFT
F ( u N /2 ) 1 N 1 f(x ) e j2 N π x (u N /2 ) 1 N 1 ( 1 )xf(x ) e j2 N π x u
N x 0
N x 0
（a）幅度谱
（b）原点平移后的幅度谱图3.4 频谱图
A
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用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有：
D [ f( x F ,y ) 1 ( ) T x y ] F ( u M /2 ,v N /2 )
原点F(0,0)被设置在 u = M/2和v = N/2上。
如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换 F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。
A
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3．离散卷积定理
设f (x, y)和g(x, y) 是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为
D F T [ f ( x ,y ) * g ( x ,y ) ] F ( u ,v ) G ( u ,v )
卷积定理
M 1 N 1
f(x ,y )* g (x ,y ) f(m ,n )g (x m ,y n ) m 0n 0
%计算二维傅里叶变换
figure, imshow(log(abs(F1)+1),[0 10]);
%显示对数变换后的频谱图
F2 = fftshift(F1); %将直流分量移到频谱图的中心
figure, imshow(log(abs(F2)+1),[0 10]);
%显示对数变换后中心化的频谱图
第3章图像变换
A
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内容提要
主要介绍图像处理中常用的二维离散变换的定义、性质、实现方法及应用。
经典变换——离散傅里叶变换（DFT）离散余弦变换（DCT）离散沃尔什-哈达玛变换（DWT） K-L变换（KLT）离散小波变换（DWT）及其应用
A
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知识要点
余弦型变换：
周期性和共轭对称性来了许多方便。首先来看一维的情况。
设有一矩形函数,求出它的傅里叶变换：
A, 0≤x≤X f(x)0, 其他
F(u)AXsinπuXejπuX πuX
F(u) AX sinπuX πuX
A
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在进行DFT之前用输入信号乘以（-1）x，便可以在一个周期的变换中求得一个完整的频谱。
∞ ∞ |f(x,y)|dxdy∞ ∞∞
为二维连续函数 f (x, y) 的傅里叶变换，并定义
f(x ,y )∞∞ F (u ,v )ej2 π (u x v y)d u d v ∞ ∞
为F (u, v) 的反变换。 f (x, y) 和F (u, v) 为傅里叶变换对。
A
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A
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【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。
为了增强显示效果，用对数对频谱的幅度进行压缩，然后将频谱幅度的对数值用在0～10之间的值进行显示。
【解】MATLAB程序如下：
I = imread('pout.tif'); %读入图像
imshow(I);
%显示图像
F1 = fft2(I);
【例3.1】求图3.1所示函数的傅里叶变换。
A, xX, yY f(x,y)0, 其他
解：F (u ,v)∞∞ f(x,y)ej2π(u x vy)d xd yAXej2π u xd xYej2π vyd y
∞ ∞
0
0
A X Ysin (π u X )ejπ u xsin (π vY )ejπ vy
F (u,v)1M 1N 1f(x,y)ej2(u/x M v/y N ) Mx N 0y 0
反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得
M 1N 1
f(x,y) F(u,v)ej2(u/x M v/yN ) u0v0
A
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F(u, v)即为f (x, y)的频谱，通常是复数：
② 幅度谱|F(u, v)|关于原点对称。 ③ 图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化
，傅里叶变换的性质
1．变换可分离性
二维DFT可以用两个可分离的一维DFT之积表示：
F (u ,v)M 1M x 0 1ej2π u x/MN 1N y 0 1f(x,y)ej2π vy/NM 1 M x01F(x,v)ej2πux/M