概率论与数理统计练习题第一章答案

概率论与数理统计练习题 (公共)

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第一章 随机事件及其概率（一）

一．选择题

1．对掷一颗骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中

3．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ]

（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销

4．在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，设

(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增排列的温度值，则事件E 等于 (考研题

2000) [ C ]

（A ）(1)0{}T t ≥ （B ）(2)0{}T t ≥ （C ）(3)0{}T t ≥ （D ）(3)0{}T t ≥ 5．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是

[ B ] （A ）

1

36

（B ）118 （C ）112 （D ）111

6．A 、B 为两事件，若()0.8,()0.2,()0.4P A B P A P B ?===，则

[ B ]

（A ）()0.32P A B = （B ）()0.2P A B = （C ）()0.4P B A -= （D ）()0.48P B A =

7．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是

[ D ] （A ）

4!6!10!? （B ）710 （C ）410 （D ）4!7!

10!

?

二、填空题：

1．设1()()()4P A P B P C ===

，1

()0,()()8

P AB P AC P BC ===，则A 、B 、C 全不发生的概率为 1/2 。

2．设A 和B 是两事件，B A ?，()0.9,()0.36P A P B ==，则()P AB = 。 3．在区间(0,1)内随机取两个数，则两个数之差的绝对值小于1

2

的概率为 3/4 。(考研题 2007)

三、计算题：

1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：

（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。

(1){(,)|,,1,2,3,4};(2){(,)|,1,2,3,4};(3){(,)|,,1,2,3,4}

i j i j i j i j i j i j i j i j ≠==<=

2．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率； （2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。

3831221843

1238312

338433

121214(1);

5528(2);55

41(3)1;55

3(4).11

C C C C C C C

C C C C ==-

=

+=

3．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少.

解：设X 表示甲到时刻，Y 表示乙到时刻，则应满足

02402412

X Y Y X X Y ≤≤??≤≤?

?

-≥??-≥? 11

23232222220.8792424

??+??=?

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（二）

一、选择题：

1．设A 、B 为两个事件，()()0P A P B ≠>，且A B ?，则下列必成立是 [ A ]

（A ）(|)1P A B = （D ）(|)1P B A = （C ）(|)1P B A = （D ）(|)0P A B = 2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A 表示“取到蓝色球”，B 表示“取到玻璃球”，则

P (B |A )=[ D ]。

（A ）610 （B ）616 （C ）47 （D ）411

二、填空题：

1．设()0.6,()0.84,(|)0.4P A P A B P B A =?==，则()P B = 2．若()0.6,()0.8,(|)0.5===P A P B P B A ，则(|)P A B =

3．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 4

．

已

知

123

,,A A A 为一完备事件组，且

121()0.1,()0.5,(|)0.2P A P A P B A ===2(|)0.6P B A = 3(|)0.1P B A =，则1(|)P A B = 1/18

5．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则(2)P Y == 13/48 (考研题 2005)

三、计算题：

1．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求： （1）任取一件产品是正品的概率；

（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。

解：设A 1 =“甲车间生产的产品” A 2 =

” B =“正品”

（1）121122()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A p B A =+=+ 060904095092.....=?+?=

（2）222204005

025008

()()(|)..(|).()().P A B P A P B A P A B P B P B ?=

===

2．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为，系统B 为，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为，求：

（1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解：（1）11()()()P A B P A B P AB ?=-?=-

11008015100120988()(|)....P A P B A =-=-?=-= （2）()()()()()

(|)()()()()

P AB P A AB P A B B P A B P B P A B P B P B P B P B -?-?-=

===

0988093

082857007

....-==

四、证明题

1．设A ，B 为两个事件，(|)(|),()0,()0P A B P A B P A P B =>>，证明A 与B 独立。 证： 由于()

(|)()

P AB P A B P B =

1()()()(|)()()P AB P A P AB P A B P B P B -==-

已知 (|)(|)P A B P A B =

有

()()

P AB P B 1()()

()P A P AB P B -=-

即 ()()()P AB P A P B = 所以 A 与B 独立

2．n 张签中有(0)k k n <<张是好的。三人按顺序抽签，甲先，乙次，丙最后。证明三人抽到好签的概率相等。

证：P(甲抽到好签)=k/n P(乙抽到好签)= 111k k n k k k

n n n n n

--?+=-- P(

丙

抽

到

好

签

)=

12111112121212k k k k n k k n k n k k n k k k k

n n n n n n n n n n n n n

---+---+--?+?++=--------

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（三）

一、选择题：

1．某人打靶的命中率为，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ] （A ）3

2

2.08.0? （B ）2

8.0 （C ）28.05

2

? （D ）22350.80.2C ? 2．设A ，B 是两个相互独立的事件，已知11(),()23

P A P B =

=，则()P A B ?= [ C ] （A ）

12 （B ）56 （C ）23 （D ）3

4

3．设,A B C 和是两两独立，则事件,,A B C 相互独立的充要条件是(考研题 2000) [ A ]

（A ）A 和BC 独立 （B ）?AB 和A C 独立 （C ）AB 和BC 独立 （D ）??和独立A B B C

4．将一枚硬币独立掷两次，设1{A =掷第一次出现正面2},{A =掷第二次出现正面

3},{A =正

反面各掷出一次4},{A =掷二次都出现正面}.则事件 (考研题 2003) [ C ]

（A ）123,,相互独立A A A （B ）234,,相互独立A A A （C ）123,,两两独立A A A （D ）234,,两两独立A A A 5

．

对

于

任

意

两

个

事

件

A 和

B (考研题 2003)

[ B ]

（A ）若AB φ≠，则A ，B 一定独立 （B ）若AB φ≠，则A ，B 有可能独立 （C ）若AB φ=，则A ，B 一定独立 （D ）若AB φ=，则A ，B 一定不独立 6．设事件A 与事件B 互不相容，则 (考研题 2009)

[ D ]

（A ）()0P AB = （B ）()()()P AB P A P B = （C ）()1()P A P B =- （D ）()1P A B ?=

二、填空题：

1．设A 与B 是相互独立的两事件，且()0.7,()0.4P A P B ==，则()P AB = 2．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件ABC φ=，1

()()()2

P A P B P C ==<

，且已知 9

()16

P A B C ??=

，则()P A = 1/4 (考研题 1999) 三、计算题：

1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为1

9

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求A 发生的概率()P A 解：已知 1

9

()()()P AB P A P B ==

又()()P AB P BA = 而 ()()()P AB P A P AB =- ()()()P BA P B P AB =- 所以，有()()P A P B = 1

3

()P A = 故 23

()P A =

2．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为

p 。

（1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）；

（2）求缺陷在第n 个过程结束之前被查出的概率；

（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率；

注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。

（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；

（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设0.5p =）。

解：以(1,2,,)i A i n =L 记事件“缺陷在第i 个过程被检出”。按题设()(1,2,,)

i P A p i n ==L

且1A 2,,n A A L 相互独立。

（1）按题意所讨论的事件为，缺陷在第一个过程就被查出或者缺陷在第一个过程未被查出但在第二个过程被查出，即112A A A ?，因而所求概率为

211212()()()()(1)2.P A P A A p P A P A p p p p p +=+=+-=-

（2）与（1）类似可知所求概率为

112123121()()()()n n P A p A A P A A A P A A A A -++++L L

2

1

(1)(1)(1)

1(1).n n p p p p p p p p -=+-+-++-=--L

（3）所求概率为3

123123()()()()(1).P A A A P A P A P A p ==-

（4）以B 记事件“元件是有缺陷的”，所求概率为 (P 元件有缺陷且3次检查均未被查出?元件无缺陷)

123123123()()()(|)()()P BA A A B P BA A A P B P A A A B P B P B =?=+=+ 3

(1)0.10.9.p =-?+ （5）所求概率为

33

(|)()

(|)()

(1)0.10.0137(0.5)(1)0.10.9

P P P P p p p =

-?===-?+通过有缺陷有缺陷有缺陷通过通过其中