第6讲 微分方程模型之战争模型
第6讲 微分方程模型之战争模型
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
x cxy
y
bx
cy 2 2bx n n cy02 2bx0
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
g bx, b rx px
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x&(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y&(t)
g(x,
y)
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型
y(t)
n 0,乙方胜
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y0 x0
2rx px sx ry sry x0
n 0,平局 n 0,甲方胜
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
战争模型
第一问：在分析战局时忽略非战斗减员因素，并且假设双方都没有支援，可得到方程（1）：0000;;(0);(0);;4.dx ay dt dy bx dt x x y y x y a b⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪===⎪⎪=⎪⎩ （1） 双方的兵力都是随着时间的增加而减少，故可认为兵力先为零的为失败一方，为了得到乙方取胜时的剩余兵力，可利用相平面讨论相轨线的变化规律，由方程（1）得：4d x y d y x= （2） 其解为224y x k -= （3） 再由初始条件22200043k y x y =-= （4）由（3）式确定的相轨线是双曲线，如图O )(t y )(t x 4kk - 如果k>0,轨线将与y 轴相交。
此时，说明甲方的兵力为0，乙方取胜，乙方取胜时的兵力为02023434)(y y k t y ===，从而可求得乙方的剩余兵力为0.1340y 。
第二问：甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援 ，同样我们在分析时忽略非战斗减员因素，据此可得到方程：0000();;(0);(0);;4.dx ay u t dt dy bx dt x x y y x y a b⎧=-+⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪===⎪⎪=⎪⎩ （5） 由于甲方的兵力以不变的速率r 增援，那甲方的增援率)(t u 为rt 。
设整个战争战斗的时间为n 天，对（5）式两边积分，并用求和来近似代替积分，有111()(0)();()(0)().n n t t n t x t x a y t rt y t y b x t ===⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∑∑∑ （6） 由（6）式可得出：111()()()().n n nt t t y t x t b x t a y t rt ===-=-+-∑∑∑令)()(t x t y sl -=,根据sl 在t 时刻与0相比较，若大于0，则乙胜，若小于0，则甲胜。
数学建模微分方程模型
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
< >
模型4
SIR模型
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
< >
传染病有免疫性——病人治愈 模型4 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t ) 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
无法求出 i(t ), s(t ) 的解析解 在相平面 s ~ i 上 研究解的性质
< >
模型4
1 di di ds s 1 si i dt i s s i0 ds si 相轨线 dt 1 s i (0) i0 , s (0) s0 i ( s) ( s 0 i0 ) s ln s0 i i ( s ) 相轨线 的定义域 1
<
>
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038
（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
微分方程模型(全)
例5 作战模型
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
例4 黄灯时间
对于这个刹车距离问题，显然与“速度” 有关，速度要从 v0 变到 0，从而用到导数.
涉及的量为： “距离”（米），“时间”（秒）， “速度”， “加速度”，摩擦力等；
有（待定）函数关系的两个量定为： 距离 x， 时间 t；
涉及的原则或物理定律： 力学定律 F=ma.
例4 黄灯时间
设汽车重量为 W，摩擦系数为 f. 根据定义， 对汽车的制动力为 fW，其方向与汽车行进方 向相反（见图4-2）.
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 4
200(个细菌).
#
例3 溶液浓度
例3 溶液浓度
所以确定浓度的“变化率”与“酸性浓度”， “清水的量”的关系是解决问题的关键。
涉及的量为： “清水的总量”，“酸性浓度”（用纯量单位 :1）. “酸性浓度变化率”，体积（常数），其中 都使用题目中的纯量单位; 有（待定）函数关系的两个量定为： 酸性浓度 S，清水的总量 x； 涉及的原则或物理定律： 导数＝变化率，溶液保持均匀，体积 V 不变.
战争模型
美军在控制菲律宾后，于1945年1月3日开始， 对硫磺岛实施轰炸。 2月16日开始硫磺岛战役，美军出动舰艇200 多艘次，飞机400多架次，对硫磺岛日军3个机场 和滩头阵地进行炮击和轰炸。 19日，美海军陆战第4师和第5师在600多架 次飞机和舰炮火力掩护下，以250多艘登陆艇和 500多辆水陆坦克、装甲车组成5个登陆波，在硫 磺岛东南部登陆。经过两周激战，残余的3000多 日军退进山洞死守。 3月8日，日军师团长栗原中将与800余名残 兵在山洞内集体自杀。 此战役日军被击毙2.2万人，被俘1000人；美 军为攻占该岛阵亡7000人，负伤1.9万人。
6
游击战争模型 双方都用游击部队作战. 甲方士兵在乙方士兵看不到的面积为sx 的 隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵 开火，而是向这个隐蔽区域射击，并且不知 道杀伤情况. 这时甲方战斗减员率不但与乙 方兵力有关，而且随甲方兵力的增加而增加. 这样可假设f = cxy，且乙方战斗有效系数c可 表为c = rysry/sx，其中ry仍为射击率，而命中 率py 等于乙方一次射击的有效面积sry 与甲方 活动面积sx之比. 类似地有g = dxy, d = rxpx = rxsrx/sy.
正规战争模型的相轨线
5
分析某一方，譬如乙方，取胜的条件. 由(6)式知乙方获胜的条件是 (y0/x0)2 > b/a = rxpx/(rypy), (7) 这说明双方初始兵力之比以平方关系影响 战争结局. 例如，当甲方兵力不变，乙方 的兵力增加到原来的2倍，则乙方影响战争 结局的能力增加到原来的4倍. 或者说，若 甲方的战斗力譬如射击率rx增加到原来的4 倍(px, ry, py)均不变，则为了与此抗衡，乙 方须将初始兵力增加到原来的2倍. 所以正 规战争模型称为平方律模型.
4.微分方程模型(战争模型)
美方投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天时美
军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军的战地记录 有按天统计的战斗减员和增援情况。日军没有后援，战地记
录则全部遗失。
微分方程模型实例3——战争模型
基本模型
用 A(t ) 和 J (t ) 表示美军和日军第 t 天的人数，忽略双方的非战 斗减员，则
假
设
微分方程模型实例3——战争模型
正规战争模型
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
• 乙方方战斗减员率只取决于甲方的兵力和战斗力
x ay x u (t ) y bx y v(t )
a ~ 乙方每个士兵的杀伤率 a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率 b ~ 甲方每个士兵的杀伤率 b=rx px, rx~射击率， px~命中率
(i) y 方士兵看不见 x 方士兵， 方士兵在某个面积为 S x x 的区域内活动。y 方士兵不是向 x 方士兵射击，而是向该区 域射击。 此时，x 方士兵的战斗减员不仅与 y 方兵力有关，而且 随着 x 方兵力增加而增加。因为在一个有限区域内，士兵人 数越多，被杀伤的可能性越大。可设，x 方的战斗减员率为 S ry cxy， 其中 c 为 y 方战斗效果系数，c ry p y ry S ， 其中 ry 仍 x 为射击率，命中率 p y 为 y 方一次射击的有效面积（ Sry ）与 x 方活动面积（ S x ）之比。 假设(ii)，(iii)同模型一的假设(ii)，(iii)。
微分方程模型实例3——战争模型
一. 正规战争模型-双方均以正规部队作战
(i) 双方士兵公开活动。x 方士兵的战斗减员仅与 y 方士兵人数有关。记双方士兵人数分别为 x(t), y(t)，则 x
关于战争的数学模型——兰彻斯特方程
关于战争的数学模型——兰彻斯特方程青少年的时候一直很喜欢看和战争相关的书籍和影视作品，再长大后也尝试的去了解下相关的军事理论书籍。
自己大致的感受就是那些成功的军事家或者将领都是运气加持的天才，在指挥千军万马时智慧和艺术都发挥到了极致。
像孙子兵法这样的经典军事著作也是赋予了文化和哲学的意义，和数学是似乎扯不到关系的。
直到前段时间碰巧看到了一篇网文提到了兰彻斯特平方法则（Lanchester's Squared Law），了解到几个简洁的方程式竟然可以漂亮的解释双方战斗中数量和质量对结果的影响。
以此为基础，近百年中学者们有进一步开发出了更加复杂的战争模型和计算机为基础的模拟战争系统。
作为一名数学模型爱好者，我忍不住继续探索了一下这个兰彻斯特法则的来源和含义。
兰彻斯特全名叫Frederick W. Lanchester，是20世纪英国的一位多才的工程师。
他在观察第一次世界大战后，对刚刚出现的空战产生了浓厚的兴趣。
他在自己的著作中不仅大胆的预测空军会成为一个重要的新型军事力量，还用数学公式推演出空中战斗单位的数量和质量对战斗结果的影响[1]。
这个数学公式也被称为兰彻斯特方程式，可以被看成现代各种战争或者战斗的数学模型的鼻祖。
兰彻斯特方程式最基本的微分形式如下[2]：dB/dt=-rRdR/dt=-bB其中R代表红军的数目，B代表蓝军的数目，r代表红军的单位战斗效率，b代表蓝军的单位战斗效率。
假设理想情况下，每一方的战斗单位力量可以直接连续攻击到对方的所有成员，而不受地形或者火力范围的限制，一方的损失速度就等于对方数目和单位战斗效率的乘积。
通过一些推演，这个方程式得到的通用解为：r[R(t)^2-R(0)^2]=b[B(t)^2-B(0)^2].如果两军力量旗鼓相当，战斗结果是同归于尽，那么所需要的初始条件要满足rR(0)^2=bB(0)^2这个关系是就是所谓的兰彻斯特平方法则，揭示战斗力量和单位战斗效率有着线形关系而和单位数量有着平方关系。
数学建模-战争模型
在战争模型中，设乙方与甲方战斗系数之比为a/b=4,初始兵力相同，则 （1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。
（2）若甲方在战斗开始时有后备部队以不变的速率r 增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解：（1）模型建立：（在没有增援的情况下）设()x t 为t 时刻甲方存活的士兵数，()y t 为t 时刻乙方存活的士兵数。
假设：（1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，()x t 和()y t 都是连续变量。
（2）乙方军队的一个士兵在单位时间内杀死甲方军队a 名士兵； （3）甲方军队的一个士兵在单位时间内杀死乙方军队b 名士兵； 则有x ay t y bx t∆=-∆∆=-∆令0t ∆→，得微分方程组模型：(0) (0)dxay a dtdy bx b dt⎧=->⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩ （1） 记bE a=，称为甲军与乙军的交换比。
对上式求解得 dy bx x E dx ay y== 分离变量并积分得22y Ex C -= （2）再设初始条件为0(0)(0)x x y y =⎧⎨=⎩从而2200C y Ex =- （3） 易知，式(2)表示一个双曲线，图形如下：由图可知：若0C >，乙军胜，且当yx 为零。
若0C =，平局。
且当y 减少到零时，x 也为零。
若0C <，甲军胜，且当x时，y 将为零。
第一个问题：若初始兵力相同，即00x y =，则2220034C y Ex x =-=，所以乙军02x =。
令4,1a b ==，求解(1)式，得2200220031()2231()44t t t tx t x e x e y t x e x e --⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩令()0x t =或0()y t x =得取胜时间为1ln 30.27t =≈(2)有增援的情况下，模型变为(0) (0)dxay r a dtdy bx b dt⎧=-+>⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩ （4） 解之得222ay bx ry C --= （5）配方得222()r r a y bx C a a--=+ （6）即 2222()r C r y Ex a a a--=+显然(6)仍然是一个双曲线，类似于前面的讨论。
常微分方程在数学建模中的应用之战争模型
常微分方程在数学建模中的应用之战争模型高 瑜 高 艺 王 伟本文详细介绍了以微分方程为基础的正规战争、游击战争、混合战争等三种战争模型的建立，求解，得出三种战争的胜负与初始兵力的关系。
1 引言微分方程作为数学学科的一个中心学科，经过三百余年的不断发展，不论在求解方法上还是在定性理论分析方面日臻完善，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性与非常丰富的数学内涵。
在高等数学教学中，常微分方程也在不断的被研究与探索，并且融入数学建模思想提高学生的学习兴趣,在现实世界中，能够通过建立微分方程模型研究的实际问题非常之多。
如物理学中的振动现象、化学中物质间反应的酶促作用、生态学中单种群的增长模型、多种群间相互作用的数学模型、经济学中研究经济规律的动态模型、艾滋病防治的数学模型、传染病模型与战争模型。
本文以战争模型为例做简要研究。
第一次世界大战Lanchester 提出预测战役结局的模型，战争分为正规战争，游击战争，混合战争三种类型。
为了便于分析，本文只考虑双方兵力多少和战斗力强弱，并假设兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加，战斗力与射击次数及命中率有关。
2 模型分析设一场战争中有甲乙两方部队。
甲方的兵力为()x t （初始兵力0(0)x x =），增援率为()u t ，乙方兵力为()y t （初始兵力0(0)y y =），增援率为()v t 。
假设每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，且每方非战斗减员率与本方兵力成正比。
即有00()(,)(), >0()(,)(), >0(0), (0)x t f x y x u t y t g x y x v t x x y ya ab b ××ì=-+ïï=-+íï==ïî（1） 其中,f g 取决于战争类型。
下面具体分析三种:2.1正规战争若双方均以正规部队作战，甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力，则(,)f x y ay =（其中a 为乙方每个士兵的杀伤率），y y a r p =，（y r 为射击率，y p 为命中率），(,), x x g x y bx b r p =-=，代入（1）式得：()()()()x t ay x u t y t bx x v t a b ××ì=--+ïíï=--+î （2） 假设没有增援，忽略非战斗减员，则（2）式可简化为()()x t ay y t bx ××ì=-ïíï=-î （3） 由方程（3）得：22ay bx k-=，代入初值得，2200=k ay bx -，此方程为双曲线，如下图：若0k>可得：当0x =时0y >，乙方胜利。
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y(t)
n 0,乙方胜
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y0 x0
2rx px sx ry sry x0
n 0,平局 n 0,甲方胜
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
( y / x )2 100 00
0
x(t) 乙方必须10倍于甲方的兵力
k 0
2
ka
k 0
y 0
x0
b
r x
p x
a ry py
平方律 模型
k 0 甲方胜
0
k b
x(t)
k 0 平局
游击战争模型 双方都用游击部队作战
• 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py ry~射击率 py ~命中率
py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型
x ay
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
dy bx dx ay
ay2 bx2 k k ay02 bx02
y(t)
k 0
k 0 x 0时y 0 乙方胜
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
g bx, b rx px
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
正规战与游击战
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加
战斗力与射击次数、命中率及战争类型有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
一般战争
g(x, y) dxy, d rx px rxsrx / sy
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
游击战争模型
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
Байду номын сангаасx cxy
y
bx
cy 2 2bx n n cy02 2bx0
x(0) x0 , y(0) y0
模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x&(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y&(t)
g(x,
y)
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型