(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习_第21讲_直角三角形与勾股定理课件
第21讲┃ 回归教材
2． 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系， 其中蕴含 着丰富的科学知识和人文价值．图 21－5 是一棵由正方形和含 30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树， 树主干自下而上 第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 S1，第二个正 方形和第二个直角三角形的面积之和为 S2，…，第 n 个正方形 和第 n 个直角三角形的面积之和为 Sn.设第一个正方形的边长为 1.
图 21－1 A．3 cm B．6 cm C．3 2 cm D. 6 2 cm [解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝ 2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝ 2 AB＝ 6 2(cm)．
第21讲┃ 归类示例
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12， 则点 C 到 AB 的距离是 ( ) A 36 12 9 3 3 A. B. C. D. 5 25 4 4
图 21－5
第21讲┃ 回归教材
请解答下列问题：
3 1＋ (1)S1＝________ 8 ；
(2)通过探究，用含 n 的代数式表示 Sn，则 Sn＝ 3n －1 3 (n 为整数) 1＋ 8 · 4 ____________________________.
图 21－4
第21讲┃ 回归教材
1 [解析 ] 第 1个三角形的面积为 ，第 2个三角形的面积 2 1 1 2 为 × ( 2) ＝ 1，第 3个三角形的面积为 × 22＝ 2，第 4个三角 2 2 1 1 2 形的面积为 × ( 8 ) ＝ 4，第 5个三角形的面积为 × 42＝ 8， 2 2 1 故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ＋ 1＋ 2＋ 4 2 31 ＋ 8＝ . 2
第21讲┃ 归类示例
判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判 断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
第21讲┃ 回归教材
回归教材
巧用勾股定理探求面积关系
教材母题 北师大版八上P26知识技能第4题 在图21－3中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12 厘米．求正方形CDEF的面积．
第21讲┃ 归类示例
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1到 C′1，爬过的路径的长是 l1＝ 42＋（ 4＋ 5）2 ＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1到 C1，爬过的路径的长是l2＝ （4＋4） 2＋52＝ 89. l1>l2，最短路径的长是 l2＝ 89. B1C1 4 20 (3)作B1E⊥ AC1于 E，则 B1E＝ ·AA1＝ · 5＝ AC1 89 89 89.
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
定义
直角三角形的概念、性质与判定
直角 的三角形叫做直角三角形 有一个角是________
(1)直角三角形的两个锐角互余
性质
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 ____________ 斜边的一半
斜边的一半 (3)在直角三角形中，斜边上的中利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所 在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之三 勾股定理逆定理的应用
命题角度： 勾股定理逆定理.
已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1， 3， 2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长， 构成直角三 D 角形的有 ( ) A．② B．①② C．①③ D．②③
第21讲┃ 考点聚焦 考点4 命题、定义、定理、公理
在日常生活中，为了交流方便，我们就要 定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确 的规定，也就是给他们下定义 定义 判断一件事情的句子叫做命题 分类 正确的命题称为________ 真命题 命题 假命题 错误的命题称为________ 组成 每个命题都由______ 条件 和______ 结论 两个部分组 成 公理 公认的真命题称为________ 公理 除公理以外，其他真命题的正确性都经过 定理 推理的方法证实，推理的过程称为 定理 ________ 经过证明的真命题称为________ 证明 ．
拓展
第21讲┃ 考点聚焦 考点2 勾股定理及逆定理
勾股 直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边 a2＋b2＝c2 定理 c 的平方．即：____________ 如果三角形的三边长 a、b、c 勾股 逆定理 有关系： ____________ a2＋b2＝c2 ，那么 定理 这个三角形是直角三角形 的逆 (1)判断某三角形是否为直角三 定理 用途 角形； (2)证明两条线段垂直； (3) 解决生活实际问题 勾股 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 数 称为勾股数
第21讲┃ 回归教材
中考变式
1． [2013· 扬州] 如图 21－4， 已知等腰 Rt△ABC 的直角 边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个 等腰 Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰 Rt△AFG， 则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 31 ________ ． 2
图21－3
第21讲┃ 回归教材
解：在 Rt△ ABC中， ∵∠ B＝ 90°， BC＝ 3厘米， AB＝ 4厘米， ∴ AC＝ 32＋ 42＝ 5(厘米 )． 在 Rt△ AFC中， ∵∠ FAC＝ 90°， AC＝ 5厘米， AF＝ 12厘米， ∴ FC＝ 52＋ 122＝ 13(厘米 )． ∴正方形 CDEF的面积为 13× 13＝ 169(厘米2)．
第21讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
第21讲┃ 归类示例
[2013· 四川] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在 一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 21 －1，则三角板的最大边的长为 ( D )
图 21－ 2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝ 4， BC＝ 4， CC1＝ 5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点 B1到最短路径的距离．
第21讲┃ 归类示例
解： (1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC1′D1， 和ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1和AC1.
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据直角三角形的判定，只要两边的平方和等 于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小 的数的平方和是否等于最大数的平方即可． ①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故 不符合题意； ②∵32＋42＝52 ， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意； ③∵12＋( 3)2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意． 故构成直角三角形的有②③.故选 D.
第21讲┃ 考点聚焦 考点3 互逆命题
互逆 命题 互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其 中一个叫做 ________ 原命题 ，那么另一个叫做它的 ________ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 逆定理 ，称这两个定理为互逆定理 个定理的 ________
第21讲┃ 归类示例
[解析 ] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在 Rt△ ABC中， AC＝ 9， BC＝ 12， 根据勾股定理得： AB＝ AC2＋BC2＝ 15，过 C作 CD⊥ AB，交 AB于点 D， 1 1 又 S△ ABC＝ AC· BC＝ AB· CD， 2 2 AC·BC 9× 12 36 ∴ CD＝ ＝ ＝ ， AB 15 5 36 则点 C到AB的距离是 . 5 故选 A.
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题．
第21讲┃ 归类示例
►
类型之二
实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
如图 21－ 2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙 )，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面 爬到柜角 C1处．
判定 (1)两个内角互余的三角形是直角三角形 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 1 1 (1)SRt△ABC＝ ch＝ ab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 2 2 a＋b－c c (2)Rt△ABC 内切圆半径 r＝ ，外接圆半径 R＝ ，即等于斜边的一半 2 2
中考数学总复习第四章第21课时解直角三角形的应用课件
解：如图，连接 AB，取 AB 中点 D，连接 CD. ∵AC＝BC，点 D 为 AB 中点. ∴中线 CD 为△ABC 的角平分线，
CD⊥AB，AD＝BD＝12AB. ∴∠ACD＝∠BCD＝21∠ACB＝50°.
在Rt△ACD中， sin∠ACD＝AADC， ∴sin 50°＝A1D0 . ∴AD＝10×sin 50°≈7.66. ∴AB＝2AD≈15.3(m). ∴A，B 两点间的距离大约是 15.3 m.
仰角与俯角
1.如图，小丽为了测旗杆 AB 的高度，小丽眼睛距地面 1.5 米， 小丽站在 C 点，测出旗杆 A 的仰角为 30°，小丽向前走了10米到 达点 E，此时的仰角为 60°，求旗杆的高度.
解：由题意，∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，DF＝10， ∴∠DAF＝∠AFG－∠ADG＝30°. ∴∠FAD ＝∠FDA.∴DF＝AF＝10.
∴tan∠B＝CBFF， ∴BF＝tanC∠F B＝4.35＝92 3.
3
∵AD 的坡度 i＝1∶1.2，
∴tan∠A＝DAEE＝56， ∴AE＝tanD∠E A＝tanC∠F A＝45.5＝257，
6 ∴AB＝AE＋EF＋BF＝257＋2.5＋92 3＝79＋1405 ∴坝底 AB 的长约为 15.7 m.
(1)求 BC 的长. (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件， 求旗杆 AB 的高度. 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角α 为 54.46°. (参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58， tan 54.46°≈1.40)
h _(_坡__比__)_，记作 i，即 i＝____l ____.
h 4.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α，tan α＝___l_____＝ ____i____.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
中考数学 第21讲 解直角三角形复习讲义 苏科版
第21讲解直角三角形基础知识：一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作4、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数说明：锐角三角函数都不能取负值。
0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜l；5、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB6、三角函数值的变化规律（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
7、同角三角函数关系公式（1）；（2） tanA＝8．一些特殊角的三角函数值二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系：（l）；（2）∠A十∠B＝90°；（3）；；；所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。
说明： 1、解直角三角形的基本方法：当已知或求解中有斜边时，常选用正弦或余弦；无斜边时常选用正切或余切；当所求的元素即可用乘法也可用除法时，宜用乘法；即可用已知数据也可用中间量时，宜用原始数据。
2、非基本类型的解直角三角形，可通过解方程组转化为基本类型求解；通过作高可把斜三角形分解成两个直角三角形。
【典型例题】1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（）A． B．3 C． D．2．RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值3. 在△ABC中，∠C ＝90°，tan A ＝，则sin B ＝4．若，则下列结论正确的为（）A．0°<∠A <30° B．30°<∠A <45° C．45°<∠A < 60° D．60°<∠A < 90°5. 在中，，，，则．6.计算的值是 . 已知．6．△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小．7. 矩形ABCD中AB＝10，BC＝8， E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．8.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)9．建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自制测角仪测得正南方向商店A点的俯角为60，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为30（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）．10．如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.（1）求证:～；(2) 求的值；（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，求的度数.11．小明在某风景区的观景台O处观测到北偏东的P处有一艘货船,该船正向南匀速航行,30分钟后再观察时,该船已航行到O的南偏东40,且与O相距2km的Q处.如图所示. 求: (1)∠OPQ和∠OQP的度数;(2)货船的航行速度是多少km=cos=0.7660,cos=sin=0.6428, tan=1.1918, tan=0.8391, 供选用.)。
中考专题复习：第21课时 直角三角形与勾股定理
[解析] 交换原命题的条件和结论，可得到其逆命题．举一 个反例，可说明这是一个假命题，如“－2 是整数，但－2 不是 自然数”，可知该命题为假命题．
回归教材
考点聚焦
考向探究
第四单元┃ 三角形
2．[七下 P165 复习题第 3 题改编] 下列命题中，是真命题的 ④ 是________ ．(填序号) ①如果 a>b，那么|a|>|b|；②一个角的补角大于这个角；③ 偶数能被 4 整除；④等角的补角相等．
2
2
2
2
2
回归教材
考点聚焦
考向探究
第四单元┃ 三角形
4． [八下 P88 习题第 1 题] 已知： 如图 21－1， 在△ABC 中， ∠ACB＝90°，D、E、F 分别是 AC、AB、BC 的中点．求证：CE ＝DF.
图 21－1三角形
5．[八上 P88 习题第 4 题] 如图 21－2，以 Rt△ABC 的三边 为直径的 3 个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．
回归教材
考点聚焦
考向探究
第四单元┃ 三角形 考点3 互逆命题及互逆定理
在两个命题中， 如果第一个命题的条件是第二个 命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个命 题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题． 其中 互逆命题 一个命题是另一个命题的逆命题． (1)把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆 命题，所以每个命题都有逆命题． (2)原命题成立，其逆命题不一定成立 互逆定理 若一个定理的逆定理是正确的， 那么它就是这个 定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理
图 21－2
回归教材
考点聚焦
考向探究
第四单元┃ 三角形
考 点 聚 焦
考点1 直角三角形的概念、性质与判定 直角 的三角形叫做直角三角形 定义 有一个角是________ 互余 (1)直角三角形的两个锐角________
(新课标)中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第21讲 直角三角形与勾股定理课件 北师大
第21讲┃ 归类示例
如图21－2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面 爬到柜角C1处．
图21－2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点B1到最短路径的距离．
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
第21讲┃ 归类示例
[2013·四川] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在
一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，
测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 21
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 直角三角形的概念、性质与判定
定义 性质 判定 拓展
有一个角是__直__角____的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 _斜__边__的__一__半___
中考变式
1．[2013·扬州] 如图 21－4，已知等腰 Rt△ABC 的直角 边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个 等腰 Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰 Rt△AFG， 则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 __3_1_____．
若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 个定理的_逆__定__理___，称这两个定理为互逆定理
第21讲┃ 考点聚焦
第21课时 直角三角形与勾股定理复习课
斜边的 一半；
∠ACB=90°，点D是AB边上的
中点, 则CD= AB .
(5)勾股定理：a2＋b2=c2(在 Rt△ABC中，∠C=90°).
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB= ， AC=1， BC= 2 .
直角三角形和勾股定理
• 考点分类二 直角三角形的判定 知识考点
对应精练
直角三角形的判定
直角三角形和勾股定理 -----复习课
直角三角形和勾股定理
• 知识考点•对应精练
• 考点分类一 直角三角形的性质 知识考点
对应精练
直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余； 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则
∠A+∠B= 90° .
(2)在直角三角形中，如果有一个 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于( C )Βιβλιοθήκη A. cmB．2cm
C．3cm
D．4cm
提示：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED， ∵AE=6cm，∴ED=3cm， ∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm．
4.(2014•西宁)如图21-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说 法错误的是( D )
提示：设旗杆高度为xm， 则AC=AD=xm，AB=(x－2)m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， 即(x－2)2+82=x2， 解得：x=17， 即旗杆的高度为17m．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
图21-2
中考数学(苏科版 全国通用)复习课件：第21课时 直角三角形与勾股定理(共25张PPT)
图 21－1
考点聚焦
归类探究
回归教材
第21课时┃ 直角三角形与勾股定理
过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE ＝CD，AC＝AE.又∵CD＝2，∴DE＝2. 在 Rt△DBE 中，∵∠E＝90°，DE＝2，BD＝4，∴BE＝ 2 3.在 Rt△ABC 中， 设 AC＝x， 又∵AC＝AE， 则 AB＝2 3＋x， ∴x2＋62＝(x＋2 3)2，x＝2 3，∴AB＝2 3＋2 3＝4 3，故答 案为 4 3.
解 析
考点聚焦
归类探究
回归教材
第21课时┃ 直角三角形与勾股定理
方法点析
通过等量代换把要求的边转化为含有已知的边是求 线段的长的有效手段，利用勾股定理来构建方程解决问 题，是解答此类问题的常用方法．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第21课时┃ 直角三角形与勾股定理
探究二
实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1．求最短路线问题； 2．求有关长度问题．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第21课时┃ 直角三角形与勾股定理
例 2 [2014· 潍坊] 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一 根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达 其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图 21－2 所示，把枯木看 作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周 长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达 点 B 处．则问题中葛藤的最短长度是________ 尺． 25
考点聚焦 归类探究 回归教材
第21课时┃ 直角三角形与勾股定理
中考数学总复习第四单元三角形第21课时直角三角形及勾股定理课件
课前考点过关
8.[2018·哈尔滨] 在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=100°,点 D 在
BC 边上,连接 AD,若△ABD 为直角三角形,则∠ADC 的度数
为
90°或 130°
.
【答案】90°或 130° 【解析】分两种情况:(1)如图①,当 ∠ADB=90°时,∠ADC=90°;(2)如图 ②,当∠BAD=90°时 ∠ADC=∠BAD+∠B=90°+(180°100°)÷2=130°.
得:AC=
������������2 + ������������2=
32
+
(3π )
2
2
=
3 4+π2.故选 C.
2
课前考点过关
7.[2018·成都] 如图 21-3,在矩形 ABCD 中,按以下步骤作 图:①分别以点 A 和 C 为圆心,以大于12AC 的长为半径作 弧,两弧相交于点 M 和 N;②作直线 MN 交 CD 于点 E, 若 DE=2,CE=3,则矩形的对角线 AC 的长为 ������������ .
D.12
图 21-4
【答案】A 【解析】由于∠ACB=90°,D 为 AB 的
中点,依据“直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半”可得 DC=12AB=4.5. 由 CF=1CD 可得 DF=3.由 D 是 AB
3
的中点,BE∥DC 可知 DF 是△ABE 的
中位线,因此 BE=2DF=6.
课堂互动探究
课前考点过关
| 对点自评|
题组一 基础关
1.在 Rt△ABC 中,∠A=30°,则另一个锐角∠B= ( C )
A.40°
B.50°
C.60°
【2014中考复习方案】(河北专版)中考数学复习权威课件：21直角三角形与勾股定理
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第21课时┃直角三角形与勾股定理
考点4
定义 定 命 义 题 分 类 组 成 公理 定理
命题、定义、定理、公理
在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义 加以描述，作出明确的规定，也就是给它们下定义 判断一件事情的句子叫做命题 正确的命题称为________ 真命题 错误的命题称为________ 假命题
条件 和______ 结论 两个部分组成 每个命题都由______
公认的真命题称为公理 除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推 理的过程称为________ 证明 ．经过证明的真命题称为________ 定理
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第21课时┃直角三角形与勾股定理
冀 考 探 究
探究一 直角三角形性质的应用
探究二 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题． [2013· 山西] 如图 21－2，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝12，BC＝5，点 E 在 AB 上，将△DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A′处，则 AE 的长 10 为________．
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第21课时┃直角三角形与勾股定理
在应用直角三角形的性质解题时， 要灵活应用， 不能 只拘泥于定理所描述的特定形式， 比如： 直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半， 这句话也可以说成： 直角三角 形的斜边长等于斜边上的中线的 2 倍．
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第21课时┃直角三角形与勾股定理
冀考解读 考点聚焦 冀考探究
2014年中考数学一轮复习讲义：直角三角形
2014年中考数学一轮复习讲义：直角三角形【考纲要求】1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.【命题趋势】直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.【知识梳理】一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、直角三角形的判定1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．2．有两角互余的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．题型分类、深度剖析：考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB 于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.解：△MEF是等腰直角三角形．连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线，∴MA ＝MB ＝MC ，MA ⊥BC .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAE ＝45°.∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠AFD ＝∠AED ＝∠FAE ＝90°，∴四边形DFAE 是矩形，∴FD ＝EA .又∵FB ＝FD ，∴FB ＝EA ，∴△BFM ≌△AEM (SAS)，∴FM ＝EM ，∠BMF ＝∠AME .∵∠AMF ＋∠BMF ＝90°，∴∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝90°，∴△MEF 是等腰直角三角形．方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．触类旁通1 具备下列条件的△ABC 中，不能成为直角三角形的是( )A ．∠A ＝∠B ＝12∠C B ．∠A ＝90°－∠C C ．∠A ＋∠B ＝∠C D ．∠A －∠C ＝90°考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC .(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC ⊥BE .(1)解：图2中△ABE ≌△ACD .证明如下：∵△ABC 与△AED 均为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AE ＝AD ，∠BAC ＝∠EAD ＝90°.∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠EAD ＋∠CAE ，即∠BAE＝∠CAD.又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD.(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED.∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm.在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10(cm)．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4 (cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD的长为3 cm.方法总结1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．解：设E站应建在距A站x km处，根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6.所以E站应建在距A站6 km处．方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．。
中考数学一轮新优化复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第21讲 解直角三角形及其应用课件
2第0251页/12/13
第五页，共二十三页。
• 2．解直角三角形的常见(chánɡ jiàn)类型和解法
已知条件
图形
解法
一条直角边和一个锐角(a，∠ A)
∠B＝90°－∠A，c＝sinaA，b ＝taanA(或 b＝ c2－a2)
已知斜边和一个锐角(c，∠A)
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b ＝c·cosA(或 b＝ c2－a2)
a 正切：tanA＝∠∠AA的的对邻边边＝②___b_____.
2第021页/12/13
第二页，共二十三页。
角的度数
• 2．特殊 三角函数值
30° 45° 60°
角的三 (tèshū) 角函数
sinα
12Leabharlann 3222
cosα
3
2
1
2
2
2
tanα
3 3
1
3
2第032页1/12/13
第三页，共二十三页。
知识点二 解直角三角形的实际应用 1．解直角三角形的有关概念
2第01251页/12/13
第十五页，共二十三页。
• 类型2 方位角问题
• 例2(2018·钦州二模)王亮同学要测量广场内被 湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，它在A 处测得B在A的北偏西(piān xī)30°方向，他从A处 出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，这 时测得大树B在C的北偏西60°的方向．
第一 部 (dìyī) 分 教材(jiàocái)同步复习
第四章 三角形
第21讲 解直角三角形及其应用(yìngyòng)
2021/12/13
第一页，共二十三页。
知识要点·归纳
知识点一 锐角三角函数