二次函数经典题型(含答案)

二次函数经典题型（启东教育）

1.看图，解答下列问题．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；

（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．

2.已知函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当x >0时，求使y ≥2的x 的取值范围．

3.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2．

（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；

（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值．

4.如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．

（1）若二次函数y ＝－x 2

－2

5kx ＋（2＋2k －k 2

）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；

（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．

5.已知抛物线2

y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，． （1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值．

（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 的面积．

6.已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

(2)画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；

(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．

7.已知抛物线c bx ax y ++=2

与y

轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 y=-x+2 并且线段CM 的长为22

（1） 求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），

且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

A

M

y

x

N

Q O

(第6题)

y

x

O

二次函数经典题型答案（启东教育）

1．解：（1）由图可知A （－1，－1），B （0，－2），C （1，1） 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2

＋bx ＋c

依题意，得121a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，， 解得212a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，， ∴ y ＝2x 2

＋x －2．

（2）y ＝2x 2

＋x －2＝2（x ＋41）2－8

17

∴ 顶点坐标为（－

41，817），对称轴为x ＝－4

1 （3）图象略，画出正确图象

2．解：（1）函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2）

∴9+3b -1=2，解得b =-2 ． ∴函数解析式为y =x 2-2x -1

（2）y =x 2-2x -1=(x -1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2） （3）当x =3 时，y =2， 根据图象知，当x ≥3时，y ≥2 ∴当x >0时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3．

3．解： (I)设点Ａ（x 1，0），B (x 2，0) ， 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根．

∵x 1 ＋ x 2 ＝m ， x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2；

又AB ＝∣x 1 x 2

m 2－4m ＋3=0 ．

解得：m =1或m =3(舍去) ，∴m 的值为1 ． （II ）设M (a ，b )，则N (－a ，－b ) ．

∵M 、N 是抛物线上的两点，

∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②

①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 ． ∴a 2＝－m ＋2．

∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N ．

∴a =．

这时M 、N 到y

轴的距离均为

又点C 坐标为（0，2－m ），而S △M N C = 27 ，

∴2×1

2

×（2－m ）

． ∴解得m =－7 ．

4.解：（1）∵ α，β是Rt △ABC 的两个锐角，

∴ tan α·tan β＝1．tan α＞0，tan β＞0． 由题知tan α，tan β是方程

x 2＋2

5kx －（2＋2k －k 2

）＝0的两个根，

∴ tanx ·tan β＝（2＝2k －k 2）＝k 2－2k －2，∴ k 2

－2k －2＝1．

解得，k ＝3或k ＝－1． 而tan α＋tan β＝－

2

5

k ＞0， ∴ k ＜0．∴ k ＝3应舍去，k ＝－1． 故所求二次函数的解析式为y ＝－x 2

＋

2

5

x －1． （2）不在． 过C 作CD ⊥AB 于D ． 令y ＝0，得－x 2

＋

2

5

x －1＝0， 解得x 1＝21

，x 2＝2．

∴ A （21，0），B （2，0），AB ＝2

3

．

∴ tan α＝21，tan β＝2．设CD ＝m ．则有CD ＝AD ·tan α＝2

1

AD ．

∴ AD ＝2CD ．

又CD ＝BD ·tan β＝2BD ，

∴ BD ＝21

CD ．

∴ 2m ＋21m ＝23

．

∴ m ＝53．∴ AD ＝56

．

∴ C （1017，53

）．

当x ＝1017时，y ＝259≠5

3

∴ 点C 不在（1）中求出的二次函数的图象上．