概率论第一章第三节课堂ppt
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处在1,2位置的是一对夫妻,3,4位置的是一对夫妻,等等. 第一位可有2n种排法;第二位只有一种取法,第三位有 2n-2种排法,第四位也只有一种排法,如此类推.故有利 场合的排列总数为2n(2n-2) …2=2nn!
2 n! P= (2n)!
n
例7 一袋中装有N-1只黑球及1只白球,每次从袋中
随机地摸出一球,并换入一只黑球.这样继续下去,问第
() = 5- 0 = 5
A
= [2 , 3]
( A) = 3-2 = 1
1 2 0 3 4
( A) 1 P( A) = = ( ) 5
几何概型的计算：两人能会面吗
甲乙二人相约在6：00-6：30在预定地点会 面，先到的人要等候另一人，经过10分钟后方 可离开。求甲乙二人会面的概率，假定他们在6： 00-6：30内的任一时刻到达是等可能的。 y 设甲乙二人到达预定地 点的时刻分别为 x 及 y, 则 30 y x = 10 0 x 30 0 y 30
12!/ (4! 4! 4!) 种，
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：
3[12! /( 4! 4! 4!)] !
于是所求的概率为：
3 !12 ! 15 ! 3 !12 ! 4! 4! 4! 25 p1= / = = = 0.2747 . 4! 4! 4! 5! 5! 5! 15 ! 5! 5! 5! 91
A 的几何度量 ( A) P ( A) = = 的几何度量 ( )
几何概型 Geometric Probability
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概型。
特点 有一个可度量的几何图形Ω，作为样本空间 试验E看成在Ω中随机地投掷一点 事件A就是所投掷的点落在Ω中的可度量图形A中
k次摸到黑球的概率是多少? 解 A表示“第k次摸到黑球”，则 A 到 表示“第k次摸
P( A)
白球”，先求 . A 等价于“前k-1次均摸到黑球,第k次摸到白 球” k 1 k 1 ( N 1) 1 1 1 P( A) = = 1 k N N N
1 P( A) = 1 P( A) = 1 1 N
k 1
1 N
例8 从6个字母u,v,w,x,y,z中任取3个相异字母,试
求下列各事件的概率: (1) u与v至少有一个被取到; (2) x与y全都被取到; (3) u与v二者或x与y二者全都被取到; (4) w与z都没被取到. 解 记U:“取到u”, V:“取到v”, W:“取到w”, X:“取到 X”, Y:“取到y”, Z:“取到z”.
n N
生日问题
某班有50个学生，求他们的生日无重复的概率 （设一年365天） 分析 此问题可以用分房问题模型来模拟 50个学生 365天
50 365
50个人 365间房子
C 50! P( A) = 0.03 50 365
即生日重复 的概率
0.97!!!
练习 设有n 个球，每个球都等可能地落入N个盒子 中的一个，假设 n N .求下列事件的概率： 事件A: 某指定的n个盒子中各落入一球； 事件B: 恰有n个盒子各落入一球； 事件C: 某个指定的盒子中落入m个球； 事件D: 恰好n-1个盒子里有球。
例 1 将一枚硬币抛掷三次。设：
事件 A1为“恰有一次出现正面”，
事件 A2为“至少有一次出现正面”，
求 P (A1 ), P (A2 )。 解：E的样本空间 Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT},
n = 8，即Ω中包含有限个元素，且由对称性
知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。 A1为“恰有一次出现正面”， A1={HTT, THT, TTH},
例4(相邻问题) n个男孩,m个女孩(m≤n+1),随机
地排成一列.求任意两个女孩都不相邻的概率. 解:设事件A为“任意两个女孩都不相邻”. 基本事件总数为 (n+m)! 事件A的有利场合数为 事件A的概率为
n ! C m ! m n ! C m ! Cn 1 P( A) = = m (n m)! Cn m
二人会面
2
x y 10
2
2
10
10
p=
30 (30 10) 30
5 = 9
x y = 10 x
30
作业 习题一 P26
10,12,14
4 1 P(W Z ) = P(W Z ) = 1 P(W Z ) = 1 = 5 5
几何概型 Geometric Probability
定义 设样本空间是一个有限的区域.若样本 点随机落在 内任何子区域G的可能性与G的测度 （长度，面积，体积等）成正比，而与G的形状， 点 位置无关，则事件A = M落入G 内 的概率定义 为
相等（即 P{1} = P{2 } = = P{n } = 1/ n, ），若E下
的事件A是由m个不同的基本事件组成，即
A = {i1 , i2 im 1 i1 , i2 ,, im n},
则定义A的概率为
事件A包含的基本事件数 m P( A) = = 试验的基本事件总数 n
m2 7 P (A 2) = = , n 8
例2 从6双不同的鞋子中任取4只，求： （1）其中恰有2只成双的概率； （2）至少有2只成双的概率。
例3 (分房问题) 有n个人,每人都可以同样的概率1/N 被分在N(n≤N)间房中的每一间中(每间容量不限).试 求下列各事件的概率:
(1)A:某指定n间房中各有一人;
mA = n !
mB = C n !
n N
(2)B:恰有n间房,其中各有一人;
m mC = Cn ( N 1)nm (3)C:某指定房间中恰有m(m ≤ n)人.
解 每一个人都可以被分到N间房中任意一间,所以事
件总数为Nn . n! P( A) = n N
m Cn ( N 1) n m C n! P( B) = P(C ) = n N Nn
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：
12 ! 15 ! 3 12 ! 5! 6 p2=3 / = = = 0.0659 . 2! 5! 5! 5! 5! 5! 2! 15 ! 91
三名优秀生分配 其余12名新生，一个班级分2名， 在同一班级内 另外两班各分5名
例6(配对问题) n对新人参加婚礼,现进行一项游戏:随 机地把人分为n对,问每对恰 为夫妻的概率是多少? 解 把这2n个人从左到右排成一排,总共有(2n)!种排法.
第三节 古典概率模型
生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个；
每个基本事件发生的可能性相同。
比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。
我们把这类试验称为等可能概型，考虑到它在概
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
设 Ω={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得
A 的几何度量 ( A) P ( A) = = 的几何度量 ( )
几何度量--------指长度、面积或体积
几何概型的计算
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有(0 , 5]
上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。
= [0, 5)
(1) u与v至少有一个被取到;
3 C6 = 20 ,U和V均包含 C52 = 10 个基本 基本事件总数为
1 C4 = 4 事件,而事件UV包含的样本点数为
10 10 4 4 P(U V ) = P(U ) P(V ) P(UV ) = = 20 20 20 5
(2) x与y全都被取到;
m n 1 m n 1
若这n+m个孩子不是排成一直线,而是排在一个圆圈 上,则事件A有概率是多少?
例5 (分组问题)
将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
P{e1} = P{e2 } = L =P { en }.
又由于基本事件两两互不相容；所以
1 = P{} = P{e1} P{e2 } P{en },
1 P{ei } = , n i = 1,2, L, n.
定义
设随机试验E的样本空间
= {1 , 2 ,, n }
n为有限正整数，且每个基本事件 i 发生的可能性
C C C
5 15 5 10
5 5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 15 ! = = , 5! 5! 5! 5 !5 !5 !
(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级 都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新 生平均分配到 3 个班级中的分法共有
ຫໍສະໝຸດ Baidu m=3 ，
m 3 P (A 1) = = , n 8
事件 A2为“至少有一次出现正面”， A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }
m2 =7 ，
m A2 1 另解 : 由于 A 2 ={T T T}, m A 2 =1 ，P( A 2)= = , n 8
1 7 P ( A2 ) = 1 P ( A2 ) = 1 = . 8 8
1 C4 4 1 P( XY ) = 3 = = C6 20 5
(3) u与v二者或x与y二者全都被取到;
P(UV XY ) = P(UV ) P( XY ) P(UVXY )
不可能事件,概率为0
4 4 2 = P(UV ) P( XY ) = = . 20 20 5
(4) w与z都没被取到
2 n! P= (2n)!
n
例7 一袋中装有N-1只黑球及1只白球,每次从袋中
随机地摸出一球,并换入一只黑球.这样继续下去,问第
() = 5- 0 = 5
A
= [2 , 3]
( A) = 3-2 = 1
1 2 0 3 4
( A) 1 P( A) = = ( ) 5
几何概型的计算：两人能会面吗
甲乙二人相约在6：00-6：30在预定地点会 面，先到的人要等候另一人，经过10分钟后方 可离开。求甲乙二人会面的概率，假定他们在6： 00-6：30内的任一时刻到达是等可能的。 y 设甲乙二人到达预定地 点的时刻分别为 x 及 y, 则 30 y x = 10 0 x 30 0 y 30
12!/ (4! 4! 4!) 种，
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：
3[12! /( 4! 4! 4!)] !
于是所求的概率为：
3 !12 ! 15 ! 3 !12 ! 4! 4! 4! 25 p1= / = = = 0.2747 . 4! 4! 4! 5! 5! 5! 15 ! 5! 5! 5! 91
A 的几何度量 ( A) P ( A) = = 的几何度量 ( )
几何概型 Geometric Probability
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概型。
特点 有一个可度量的几何图形Ω，作为样本空间 试验E看成在Ω中随机地投掷一点 事件A就是所投掷的点落在Ω中的可度量图形A中
k次摸到黑球的概率是多少? 解 A表示“第k次摸到黑球”，则 A 到 表示“第k次摸
P( A)
白球”，先求 . A 等价于“前k-1次均摸到黑球,第k次摸到白 球” k 1 k 1 ( N 1) 1 1 1 P( A) = = 1 k N N N
1 P( A) = 1 P( A) = 1 1 N
k 1
1 N
例8 从6个字母u,v,w,x,y,z中任取3个相异字母,试
求下列各事件的概率: (1) u与v至少有一个被取到; (2) x与y全都被取到; (3) u与v二者或x与y二者全都被取到; (4) w与z都没被取到. 解 记U:“取到u”, V:“取到v”, W:“取到w”, X:“取到 X”, Y:“取到y”, Z:“取到z”.
n N
生日问题
某班有50个学生，求他们的生日无重复的概率 （设一年365天） 分析 此问题可以用分房问题模型来模拟 50个学生 365天
50 365
50个人 365间房子
C 50! P( A) = 0.03 50 365
即生日重复 的概率
0.97!!!
练习 设有n 个球，每个球都等可能地落入N个盒子 中的一个，假设 n N .求下列事件的概率： 事件A: 某指定的n个盒子中各落入一球； 事件B: 恰有n个盒子各落入一球； 事件C: 某个指定的盒子中落入m个球； 事件D: 恰好n-1个盒子里有球。
例 1 将一枚硬币抛掷三次。设：
事件 A1为“恰有一次出现正面”，
事件 A2为“至少有一次出现正面”，
求 P (A1 ), P (A2 )。 解：E的样本空间 Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT},
n = 8，即Ω中包含有限个元素，且由对称性
知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。 A1为“恰有一次出现正面”， A1={HTT, THT, TTH},
例4(相邻问题) n个男孩,m个女孩(m≤n+1),随机
地排成一列.求任意两个女孩都不相邻的概率. 解:设事件A为“任意两个女孩都不相邻”. 基本事件总数为 (n+m)! 事件A的有利场合数为 事件A的概率为
n ! C m ! m n ! C m ! Cn 1 P( A) = = m (n m)! Cn m
二人会面
2
x y 10
2
2
10
10
p=
30 (30 10) 30
5 = 9
x y = 10 x
30
作业 习题一 P26
10,12,14
4 1 P(W Z ) = P(W Z ) = 1 P(W Z ) = 1 = 5 5
几何概型 Geometric Probability
定义 设样本空间是一个有限的区域.若样本 点随机落在 内任何子区域G的可能性与G的测度 （长度，面积，体积等）成正比，而与G的形状， 点 位置无关，则事件A = M落入G 内 的概率定义 为
相等（即 P{1} = P{2 } = = P{n } = 1/ n, ），若E下
的事件A是由m个不同的基本事件组成，即
A = {i1 , i2 im 1 i1 , i2 ,, im n},
则定义A的概率为
事件A包含的基本事件数 m P( A) = = 试验的基本事件总数 n
m2 7 P (A 2) = = , n 8
例2 从6双不同的鞋子中任取4只，求： （1）其中恰有2只成双的概率； （2）至少有2只成双的概率。
例3 (分房问题) 有n个人,每人都可以同样的概率1/N 被分在N(n≤N)间房中的每一间中(每间容量不限).试 求下列各事件的概率:
(1)A:某指定n间房中各有一人;
mA = n !
mB = C n !
n N
(2)B:恰有n间房,其中各有一人;
m mC = Cn ( N 1)nm (3)C:某指定房间中恰有m(m ≤ n)人.
解 每一个人都可以被分到N间房中任意一间,所以事
件总数为Nn . n! P( A) = n N
m Cn ( N 1) n m C n! P( B) = P(C ) = n N Nn
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：
12 ! 15 ! 3 12 ! 5! 6 p2=3 / = = = 0.0659 . 2! 5! 5! 5! 5! 5! 2! 15 ! 91
三名优秀生分配 其余12名新生，一个班级分2名， 在同一班级内 另外两班各分5名
例6(配对问题) n对新人参加婚礼,现进行一项游戏:随 机地把人分为n对,问每对恰 为夫妻的概率是多少? 解 把这2n个人从左到右排成一排,总共有(2n)!种排法.
第三节 古典概率模型
生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个；
每个基本事件发生的可能性相同。
比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。
我们把这类试验称为等可能概型，考虑到它在概
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
设 Ω={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得
A 的几何度量 ( A) P ( A) = = 的几何度量 ( )
几何度量--------指长度、面积或体积
几何概型的计算
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有(0 , 5]
上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。
= [0, 5)
(1) u与v至少有一个被取到;
3 C6 = 20 ,U和V均包含 C52 = 10 个基本 基本事件总数为
1 C4 = 4 事件,而事件UV包含的样本点数为
10 10 4 4 P(U V ) = P(U ) P(V ) P(UV ) = = 20 20 20 5
(2) x与y全都被取到;
m n 1 m n 1
若这n+m个孩子不是排成一直线,而是排在一个圆圈 上,则事件A有概率是多少?
例5 (分组问题)
将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
P{e1} = P{e2 } = L =P { en }.
又由于基本事件两两互不相容；所以
1 = P{} = P{e1} P{e2 } P{en },
1 P{ei } = , n i = 1,2, L, n.
定义
设随机试验E的样本空间
= {1 , 2 ,, n }
n为有限正整数，且每个基本事件 i 发生的可能性
C C C
5 15 5 10
5 5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 15 ! = = , 5! 5! 5! 5 !5 !5 !
(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级 都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新 生平均分配到 3 个班级中的分法共有
ຫໍສະໝຸດ Baidu m=3 ，
m 3 P (A 1) = = , n 8
事件 A2为“至少有一次出现正面”， A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }
m2 =7 ，
m A2 1 另解 : 由于 A 2 ={T T T}, m A 2 =1 ，P( A 2)= = , n 8
1 7 P ( A2 ) = 1 P ( A2 ) = 1 = . 8 8
1 C4 4 1 P( XY ) = 3 = = C6 20 5
(3) u与v二者或x与y二者全都被取到;
P(UV XY ) = P(UV ) P( XY ) P(UVXY )
不可能事件,概率为0
4 4 2 = P(UV ) P( XY ) = = . 20 20 5
(4) w与z都没被取到