概率论与数理统计第1章课件
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《新编概率论与数理统计》第二版课件
基本事件 Basic Event
——由一个样本点组成的单点集 {ω}
必然事件 Certain Event
——每次试验必定发生的事件. 例 全体样本点组成的事件,记为Ω
不可能事件 Impossible Event
——每次试验必定不发生的事件. 例 不包含任何样本点的事件,记为Φ
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 11
随机事件A发生——
随机试验中，当随机事件A的某个样本点出现
例 掷一颗骰子; Ω = {1,2,3,4,5,6}
设随机事件A={1，3，5}，即{出现奇数点} 当1，3，5中任一点数出现，则称事件A发生
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 10
1. 包含关系 Inclusion Relation
A ⊂ B —— A 包含于B
事件 A 发生 必导致事件 B 发生
Ω AB
A 是B的子事件 A ⊂ B
2. 相等关系 Equivalent Relation
A= B
A⊂ B且 A⊃B
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 13
§ 1.1 随机事件及其运算
Random Events and Operation
概率论与数理统计-绪论、第一章ppt课件
A B C
A B C A B C A B C AB C A BC A B C
B C A C A B
ABC
概率论与数理 A 6 “三人均未命中目标” : 统计课件
ABC
小
• 本节主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念；
结
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率
成功在于专注并不懈努力
• §1.1
随机事件
• §1.2
• §1.3 • §1.4
概率论与数理 统计课件
概率
条件概率 事件的独立性
§1.1 随机事件
成功在于专注并不懈努力
1.1.1 随机现象
现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那 样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
课程目标
成功在于专注并不懈努力
通过自学考试——以教材为基础，以考试大纲为中 心，达到考试要求，通过自学考试。 实际简单应用——在现实生活中简单应用概率论与 数理统计知识，学以致用，甚至研究学术问题。
概率论与数理 统计课件
目
录
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率(重点)
第二章 随机变量及其概率分布(重点)
解
(1) ABC
(4) A B C
——
(2) ABC
(3) ABC
概率论与数理 统计课件
( 5 ) A B CA B CA B C
成功在于专注并不懈努力
例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,
i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
概率论与数理统计教程-第五版-课件
先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现.
2021/3/10
讲解：XX
6
三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用或S表示。则中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 示。
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则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
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讲解：XX
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事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
2
第一章 事件与概率
2021/3/10
讲解：XX
3
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
2021/3/10
讲解：XX
4
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
2021/3/10
讲解：XX
5
二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
会出现.
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讲解：XX
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三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用或S表示。则中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 示。
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则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
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讲解：XX
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事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
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第一章 事件与概率
2021/3/10
讲解：XX
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1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
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讲解：XX
4
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
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二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
第一章--随机事件及其概率PPT课件
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结8束
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生
也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规 律性).
或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题 用大写 A,字 B,C母 ,表.示
随机事件 事件 必然事件 (记作U)
概率论与数理统计
主编：刘韶跃 李以泉 丁碧文 杨湘桃
湘潭大学出版社
概率论与数理统计教程（第四版）
.
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结1束
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的 概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一 扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打 开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽 车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打 开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊， 他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号 门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一 个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你 是坚持1号门还是改选2号门？
个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌
若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归
胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的
时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合
理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、
天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息
论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应
用都非常广泛。
概率论与数理统计教程（第四版）
设随机 A在 n次 事试 件验m 中 次 ,则 发比 生
m称为随机事 A的件 相对频率(简称频率). n
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
概率论与数理统计教程第一章精品PPT课件
A1,A2, ,An 的交，记作 A i i1
4.互不相容（互斥）事件 AB
5.事件的和（并） AB
A1,A2, ,An 的并，记作
n
A i.
i 1
6.对立事件(互逆事件)
若AB ,且AB ,
则B为A的对立事件，记A为 。
7.差事件 AB A B AAB
事件的运算(Operation of Events)
样本点简记为： wi ={直到第i次才击中目标}, i = 1,2,…。
则样本空间可记为 Ω={w1，w2，…} 。
随机事件(Random Events)
在随机试验中可能的结果称为随机事件， 简称事件. 如在掷色子试验中，观察掷出的点数 .
“掷出1点”
"掷出奇数点"
事件就是由样本点组成的某个集合.
（1）事件“A与B发生，C不发生”可表示成
ABC
（2）事件“A，B，C中至少有一个发生”可表示成
ABC
（3）事件“A，B，C中恰好有一个发生”可表示成
A B C A B C A B C
A={w2，w4，w6，w8 , w10}
85 1946 7 2 3 10
B~"取出的球号大于8" B={w9，w10} C~"取出的球号大于10" D~"取出的球号不大于10"
事件间的关系 (Relation of Events)
1.事件的包含 AB
2.事件的相等 AB
3.事件的积（交） AB
n
机事件吗？
两个特殊的事件：
然
即在试验中必定发生的事件，记为Ω ;
可
即在一次试验中不可能发生的事件，记为φ 。
4.互不相容（互斥）事件 AB
5.事件的和（并） AB
A1,A2, ,An 的并，记作
n
A i.
i 1
6.对立事件(互逆事件)
若AB ,且AB ,
则B为A的对立事件，记A为 。
7.差事件 AB A B AAB
事件的运算(Operation of Events)
样本点简记为： wi ={直到第i次才击中目标}, i = 1,2,…。
则样本空间可记为 Ω={w1，w2，…} 。
随机事件(Random Events)
在随机试验中可能的结果称为随机事件， 简称事件. 如在掷色子试验中，观察掷出的点数 .
“掷出1点”
"掷出奇数点"
事件就是由样本点组成的某个集合.
（1）事件“A与B发生，C不发生”可表示成
ABC
（2）事件“A，B，C中至少有一个发生”可表示成
ABC
（3）事件“A，B，C中恰好有一个发生”可表示成
A B C A B C A B C
A={w2，w4，w6，w8 , w10}
85 1946 7 2 3 10
B~"取出的球号大于8" B={w9，w10} C~"取出的球号大于10" D~"取出的球号不大于10"
事件间的关系 (Relation of Events)
1.事件的包含 AB
2.事件的相等 AB
3.事件的积（交） AB
n
机事件吗？
两个特殊的事件：
然
即在试验中必定发生的事件，记为Ω ;
可
即在一次试验中不可能发生的事件，记为φ 。
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
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1.1.3 随机事件
在进行随机试验时,人们除了关心试验的结果,常常还关心试验 的结果是否具备某种指定的可观察的特性.例如,在例 1.1(1)中,抓 阄者关心的是抓到的阄能否表达“考试及格”这一信息,即抓到的阄
是否是{A, B,C, D}中的一个.随机试验中,类似这样的样本空间的 子集,称之为随机事件,简称事件.通常用大写字母 A , B , C， 表
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
1.1.2 随机试验与样本空间
要对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行 重复观察.对随机现象的一次观察称为一个试验.
如果这个试验具有如下特点： (1)可重复性 试验可以在相同条件下重复进行； (2)可观察性 每次试验的可能结果不止一个,但能事先明确试 验的所有可能结果； (3)不确定性 每次试验前不能确定哪个结果将出现.
(3) 3 件产品中两件正,1件次品,(i)依次取出两件；(ii)同时取出
两件,观察结果.
(4)从一批电脑中,任取一台,(i)观察无故障运行的时间 t ；(ii)若电
脑无故障运行1 000 小时以上为合格品,否则为不合格品,观察取出的电脑
是合格品还是不合格品.
(5)向坐标平面区域 D : x2 y2 100 内随机投掷一点 M （设点必落
在 D 上）,观察点 M 的坐标.
随机试验 E 的每一种可能的结果称为一个样本点,它们的全体
称为 E 的样本空间,记为 S (或 ).
例 1.2 写出例 1.1 中各随机试验的样本空间.
(1) S {A, B,C, D, E}.
(2) S {(i, j) | i, j 1, 2,3, 4,5, 6} ,其中 (i, j) 表示第一颗
1.1.4 事件的关系与运算
在实际问题中, 我们往往要在同一个试验中同时研究几个事件, 这些事件是相互联系的, 因而我们不能只是孤立地研究单个事件, 还要考虑它们之间的关系和运算性质.分析事件之间的关系和运算, 不仅能帮助我们更深入地认识事件的本质,还可以大大简化一些复 杂事件的计算.
下面的讨论总假设在同一样本空间中进行.事件作为样本空间 的一个子集,它们之间的关系和运算与集合之间的关系和运算是完 全类似的.
本点相同.
(3)事件的和（或并） 事件 A B {x | x A 或 x B} 称为
示.
在一次试验中,当且仅当这一子集中的某个样本点出现时,我们 称这一事件发生.随机事件是概率论研究的主要对象.
特别地,
(1)基本事件 由样本空间 S 中单个样本点组成的单点集称为 基本事件,常用 e 或 表示.
(2)复合事件 由样本空间 S 中两个或两个以上样本点组成的
集合称为复合事件.
(3)必然事件 样本空间 S 作为自身的子集,它在每次试验中必 然发生, 称之为必然事件,用 S 表示.
下面给出这些关系和运算在概率论中的含义.
(1)包含关系 若 A B ,称事件 B 包含事件 A ,或事件 A 包 含于事件 B ,或 A 是 B 的子事件.其含义为：如果事件 A 发生必然 导致事件 B 发生.
注：不可能事件 因不含有任何样本点,因而对于任意事
件 A ,有 A.
(2)相等关系 若 A B ,称事件 A 与事件 B 相等.其含义为: 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,同时若事件 B 发生也必然导致 事件 A 发生,即 A B 且 B A .此时事件 A 与事件 B 所包含的样
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
称这样的试验为随机试验, 通常用字母 E 表示.
例 1.1 下列试验都是随机试验:
(1)考试结束后,某个学生做了这样几个阄： A “ 90 分以上”, B “ 80 - 89 分”, C “ 70 - 79 分”, D “ 60 - 69 分”, E “不及格”,从中
抓一个,观察出现的结果. (2)掷两颗骰子, 观察骰子朝上的点数.
(4)不可能事件 样本空间 S 的最小子集（即空集）,它在每次 试验中必然不发生,称之为不可能事件,用 表示.
例 1.3 掷一颗骰子的样本空间为 S {1, 2,3, 4,5, 6}. 记 A { 出现1点} , A 为基本事件； B {出现奇数点} , B 为复合事件； C {出现的点数不超过 6 } , C 为必然事件； D {出现8 点} , D 为不可能事件.
骰子朝上的点数为 i ,第二颗骰子朝上的点数为 j . (3) (i) S1 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 ),( 次品,正品 )} ;
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1, 0), (1,1), (0,1)} ；(ii) S2 {(1, 0), (1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1, 0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
注：①对于同一个随机试验,试验的样本点和样本空间可能不 一样,这要根据需要观察的内容来确定,如上例中(4).
②有时，同一个样本空间可概括各种实际内容完全不同的问题. 例如, 只包含两个样本点的样本空间,既可以作为抛硬币出现 “正”、“反”面的模型,也可表示学生成绩“及格”或“不及格” 的模型,还可表示产品验收中“合格”与“不合格”的模型等.