第四章材料的变形
材料力学 第四章 扭转
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
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材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
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二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
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④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
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⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
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对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
第四章第一讲材料科学与工程基础(顾宜
幻灯片20
(1)纯弹性型
A陶瓷、岩石、大多数玻璃
B高度交联的聚合物
C以及一些低温下的金属材料。
(2)弹性-均匀塑性型
A许多金属及合金、
B部分陶瓷
C非晶态高聚物。
(3)弹性-不均匀塑性型
A低温和高应变速率下的面心立方金属，
B某些含碳原子的体心立方铁合金
C以及铝合金低溶质固溶体。
K=σ/(ΔV/V)=6.89Mpa/[1-0.9883]=193.7Mpa
E=σ/ε=516.8Kpa/2.1%=24.6Mpa
ν=0.5(1-E/3K)=0.48
幻灯片36
金属晶体、离子晶体、共价晶体等的变形通常表现为普弹性，主要的特点是：
A应变在应力作用下瞬时产生，
B应力去除后瞬时消失，
C服从虎克定律。
比例极限
弹性变形时应力与应变严格成正比关系的上限应力
p = F p / S 0
条件比例极限
tan’/tan=150%
p50
代表材料对极微量塑性变形的抗力
切线
幻灯片45
（条件）弹性极限最大弹性变形时的应力值。
弹性比功弹性应变能密度。材料吸收变形功而又不发生
永久变形的能力W=/2=2/2E
残留变形时的应力
高分子材料通常表现为高弹性和粘弹性
幻灯片37
幻灯片38
2.有机聚合物的弹性、粘弹性
Elasticity and Visco-elasticity of Polymers
⑴高弹性，即橡胶弹性(rubberlike elasticity)
①弹性模量小、形变大。
A一般材料，如铜、钢等，形
变量最大为1左右，
材料力学——精选推荐
材料力学第一章拉压一、构件设计应满足的要求：1、足够的强度：即抵抗破坏的能力；2、足够的刚度：即抵抗变形的能力；3、足够的稳定性：即保持平衡的能力；二、失稳：构件在一定外力的作用下，不能保持原有的平衡形式，称为失稳；细长杆件在压缩中容易产生失稳现象。
三、材料力学的基本假设：1、连续性假设：构件的整个体积内毫无空隙的充满了物质；2、均匀性假设：认为材料是均匀的，其力学性能与构件中的位置无关；（材料在外力作用下表现出来的性能，称为力学性能或机械性能）3、各项同性假设：沿各个方向均具有相同的力学性能；（相反，存在各向异性材料，常见的有碳纤维、玻璃纤维、环氧树脂、陶瓷等四、杆件变形的基本形式：拉伸或压缩、弯曲和扭转。
五、内力：外力作用下，构件内部相连两部分之间的相互作用力。
六、同一杆件在受力方式变化的情况下，即使只受轴向力作用，不同部分的轴向力大小也可能不同，如在杆端和杆中点均受力，切合力为0的情况。
七、设杆件的横截面积为A，轴力为N，且为均匀性材料，则横截面上各点处的正应力均为：Pa、Mpa、Gpa）。
八、圣维南原理：力作用于杆端的方式不同，只会使于杆端距离不大于杆横向尺寸的范围受其影响。
九、拉压杆上的最大剪应力发生在于杆轴成45°的斜截面上，其值为横截面正应力的一半。
十、单位长度的变形，称为正应变。
十一、材料的应力——应变曲线：工程中常用的材料的应力应变曲线分成以下几个阶段：1、线性阶段：在拉伸的初始阶段，应力——应变为一直线；此阶段的应力最高点，为材料的比例极限；2、屈服阶段：超过比例极限之后，应力和应变之间不再保持正比例关系。
此阶段内，应力几乎不变，但变形却极具增长，材料失去抵抗继续变形的能力，此种现象称为屈服。
相应的应力称为材料的屈服应力或屈服极限。
3、强化阶段：经过屈服阶段之后，材料又增强了抵抗变形的能力，此种现象称为强化。
强化节点最高点对应的应力称为材料的强度极限。
如果材料表面光滑，当材料屈服时，试样表面将出现于轴线成45°的线纹，作用有最大剪应力。
第四章 屈服准则
第四章 屈服准则§ 4-1屈服准则的意义：屈服是弹性变形的终了，塑性变形的开始。
屈服点是一个方向性的从量变到质变的转折点，屈服点以下为弹性变形区，在该区域，随着应力增加，变形量也不断增加，应力和应变的量不断积累，如果积累的量不超过屈服点，一旦卸载，应力和变形又回到原处。
如果积累的量超过了屈服点，材料性质则发生了质的变化，卸载之后，应力和变形都不会回到原处。
材料内部有残余应力，也有不可回复的塑性变形。
屈服点是材料性能上的一个转折点或者说分界点。
屈服点以下的变形特点是线性、单值、可逆，屈服点以上的变形特点恰恰相反，非线性、非单值、不可逆。
因此，屈服点以下是弹性力学研究的范围，而屈服点以上是塑性力学研究的范围。
从弹性方面说，它是弹性变形的极限，是强度的最高峰，由此构成了强度理论，从事结构研究的人绝对不能接近这一值，他们的活动范围是小于该值。
从塑性加工讲，屈服仅仅是塑性变形的开始，一切塑性加工必须从这一点开始，由此构成了屈服准则。
因此可以说，强度理论和屈服准则是同一事物的两个不同的侧面，必须联系起来看，质点处于单向应力状态下，若s σσ=1，对于结构而言，构件已经失效。
对于塑性加工，例如拔丝加工刚刚开始。
我们已 经学过第三][31σσσ≤-、第四强度理论])()()[(21213232221σσσσσσ-+-+-0≤，将第三、第四强度理论综合起来，可以写成C f ij ≤)(σ；和这两个理论相对应的屈服准则可以写成C f ij =)(σ，由此可见，屈服准则可以定义为：当各应力分量之间符合一定关系时，质点才进入塑性状态。
因为它是在解塑性力学问题时，除力学、几何、物理方程之外的补充方程，故又称塑性方程。
屈服准则是各应力分量之间的一种组合关系，这种关系是无限的，所发不能用有限的实验去穷属它，而只能在理想化的理论分析的基础上，用有限的实验支验证它，在逻辑学上叫有限归纳，所以，到目前为止，屈服准则的本质仍然是分析（推理）型的。
材料力学第四版刘鸿文编第04章弯曲内力
FA a F
b
A x1 C x2
l
+
b l
F
FS图
－
Fab
l
M图
+
FB
B
(4)内力图特征
在集中力作用的地方，
剪力图有突变，外力F向
下，剪力图向下变，变化
值=F 值；弯矩图有折角。
a l
F
[例6] 求梁的内力方程并画出内力图。
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FS(x1)FA
M(x1)F1x
1 2
qax
1
F S (x 2 )F q (x 2 a )q2aq(x2 a)
M (x2)F2x 1 2q(x2a)2 12qa2x12q(x2a)2
A x1 B x2
a
F qa 2
FS
qa
2
+
M
q
C 2a
(2)根据方程画内力图
FS
(x1)
qa 2
q2aq(x2a)
FS(x2)
极值点： 令FS(x2)0
即：q2aq(x2a)0
得：
x
0
3 2
a
M 0 85qa2
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
取一微段dx， 进行平衡分析。
q(x)
Fy 0 ,
FS(x) q(x)dxF S(x)dF S(x)0
a
2 qa qa 1 qa
3
3
MO0,FA2a1 2q2aM0,
q
第四章晶体的塑性形变
MB／DDW的取向可以是晶体学的(即平行于滑移面)和非晶体
学的。根据晶粒原始取向不同导致开动的滑移系数目不同，使得
MB／DDW的取向不同。 如果开动的滑移系属于一个或两个滑移面，则MB／DDW倾向
于平行于滑移面{111)，即它的取向是晶体学的； 如果开动的滑移系属于3个和4个滑移面，则MB／DDW是非晶
原因：位 错群集降 低能量。
LED
纯镍经20%形变量冷轧的显微组织
滑移系开动的数目为3-5个
稠密位错墙DDW “碎化” 胞块
显微带MB
几何必须边界GNB
（胞壁）伴生位错
边界IDB
36
所以，GNB和IDB两侧的取向差都随应变量加大而增大，而 它们间的间距都随应变量加大而减小，但GNB两侧的取向差增 加量和间距的减小量比较大，而IDB两侧的取向差增加量和间距 的减小量比较小，如图所示。
形变时晶界保持应变连续而 不产生空洞或张开(形变连续)。 不足之处是应力不连续。
不协调时，出现空洞和重叠
25
实现任一变形的条件：要使晶粒间的变形连续，必须有5个独立的 滑移系开动。
原因：描述任一应变状态用6个分量，但形变体积不变，即3个 正应变之和不变，因此只有5个是独立的。
为检查所提出的模型是否和实际相符，通常是对比由单晶拉伸 的σ-ε曲线导出多晶拉伸σ-ε 曲线，与实际的多晶σ-ε曲线，看它们符 合的程度。
Schmid 定律
外加拉伸应力s和滑移面 内沿着滑移方向分切应力t之 间的关系。
6
m-取向因子，又称Schmid因子
实验看出：滑移系开 动所需要的分切应力 是一个常数，和外加 力的取向无关。滑移 系开动所需要的最小 分切应力称为临界分
切应力tc。
第四章轴向拉伸与压缩
4.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用在等截面直杆上的外力（或者外力合力）的 作用线和杆轴重合时，杆件的主要变形是轴向拉伸 或者压缩。
经历轴向拉伸（压缩）的等截面直杆称为拉（压） 杆。
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
O
B
C
4F 3F
D 2F
2A
2A
A
FN 3F
+ A
2F
B
+
+
–
C
D
F
4.3 拉（压）杆的应力
1. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
横截面积 A 成反比。即
l Fl A
引入比例常数E，可有
l Fl F
EA
EA
这一关系称为胡克定律。
E 称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征 材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。
在拉压杆中，有
F FN
l Fl FN l FN
EA EA
EA
※ “EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也 相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。
d
向缩短。若拉杆为圆截面，原始
直径为d，变形后直径为d1，
高分子材料加工原理(第四章)
从动态实验不仅能表征粘弹流体的频率依赖性 粘度，而且能表征其弹性。测定值是复数粘度。
* () i ()
( )
G ( )
G ( ) ( )
——非牛顿流体粘性的表征 ——弹性的表征
第一节 聚合物流体的非牛顿剪切粘性
第一节 聚合物流体的非牛顿剪切粘性
（3）可预示某些聚合物流体的可纺性
d lg a d 1 / 2
2 10
结构黏度指数▣可用来表 征聚合物浓溶液结构化的 程度。▣越大，表明聚合 物流体的结构化程度越大。
第一节 聚合物流体的非牛顿剪切粘性
第一节 聚合物流体的非牛顿剪切粘性
②切力增稠的原因： 增加到某数值时，流体中有新的结构的形成。 大多数胀流型流体为多分散体系，固体含量较多，且浸润 性不好。静止时，流体中的固体粒子堆砌得很紧密，粒子 间空隙小并充满了液体，这种液体有一定的润滑作用。 较低时，固体粒子就在剪切力的作用下发生了相对滑 当 动，并且能够在原有堆砌密度大致保持不变的情况下，使 得整个悬浮体系沿力的方向发生移动，这时候表现为牛顿 流动； 增加到一定值时，粒子间碰撞机会增多，阻力增大； 当 同时空隙增大，悬浮体系总体积增加，液体已不能再充满 空隙，粒子间移动时的润滑作用减小，阻力增大，所以 a 增大。
点；
3、掌握聚合物流体切力变稀的原因；
本节作业
1、P118-1（1、2、3、5、9）、2、4、7
第一节 聚合物流体的非牛顿剪切粘性
【教学内容导读】 流体的粘性和牛顿粘性定律 非牛顿流体的流动行为及粘性表征
影响聚合物流体剪切粘性的因素
【课时安排】4课时