《两角差的余弦公式》三角函数ppt课件
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311两角差的余弦公式共23张PPT
cos cos( ) sin sin( )
例4 已知cos = 1，cos( )=- 3，0 , ,
2
5
2
求 cos.
提示：拆角思想:cos cos[( ) ].
解： 由cos = 1，0 , 得sin 3 ,
2
2
2
由cos( )=- 3，0 , 5
得sin(+)= 4 . 5
22 2 2
4
题后小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.
1
两角差的余弦公式的变通
思考：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求
cos 的值？ cos cos[( ) ]
cos( )cos sin( )sin 思考：利用α－(α－β)＝β可得 cos 等于什么
cos cos[ ( )]
5
【例】 已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13， 求 cos (α－β)的值．
【解析】将 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13 分别平方得，
cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝1， 4
sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝1. 9
B. 7 0
D. 7 2 10
解析：∵ ( , ), (3 , 5 ),cos( ) 4 ,
2
4 44
45
cos cos[( ) ]
44
cos( ) cos sin( ) sin
44
44
4 2 3 2 2. 5 2 5 2 10
3
cos cos( )
cos( ) cos sin( ) sin
（ 3 ） 1 4 3 3 4 3 .
例4 已知cos = 1，cos( )=- 3，0 , ,
2
5
2
求 cos.
提示：拆角思想:cos cos[( ) ].
解： 由cos = 1，0 , 得sin 3 ,
2
2
2
由cos( )=- 3，0 , 5
得sin(+)= 4 . 5
22 2 2
4
题后小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.
1
两角差的余弦公式的变通
思考：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求
cos 的值？ cos cos[( ) ]
cos( )cos sin( )sin 思考：利用α－(α－β)＝β可得 cos 等于什么
cos cos[ ( )]
5
【例】 已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13， 求 cos (α－β)的值．
【解析】将 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13 分别平方得，
cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝1， 4
sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝1. 9
B. 7 0
D. 7 2 10
解析：∵ ( , ), (3 , 5 ),cos( ) 4 ,
2
4 44
45
cos cos[( ) ]
44
cos( ) cos sin( ) sin
44
44
4 2 3 2 2. 5 2 5 2 10
3
cos cos( )
cos( ) cos sin( ) sin
（ 3 ） 1 4 3 3 4 3 .
两角差的余弦公式PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
16
1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
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1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
两角差的余弦公式-PPT课件
2
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
3
4
探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能 判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成 立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
cosβ
y
P1
sinβ
A
P
O
x
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ 11
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角 函数值可以直接写出，利用诱导公式还 可进一步求出150°，210°，315°等角的 三角函数值.我们希望再引进一些公式， 能够求更多的非特殊角的三角函数值， 同时也为三角恒等变换提供理论依据.
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原 理吗？
14
思考10：如图，设角α，β的终边与单
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB=(cosβ,sinβ)
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
3
4
探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能 判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成 立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
cosβ
y
P1
sinβ
A
P
O
x
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ 11
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角 函数值可以直接写出，利用诱导公式还 可进一步求出150°，210°，315°等角的 三角函数值.我们希望再引进一些公式， 能够求更多的非特殊角的三角函数值， 同时也为三角恒等变换提供理论依据.
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原 理吗？
14
思考10：如图，设角α，β的终边与单
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB=(cosβ,sinβ)
人教版新课程第三章高中数学两角差的余弦公式(共19张PPT)教育课件
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
变式2：求 1 cos15+ 3 sin15 的值.
2
2
例
思路分析： 比较已知的角与所求的角之间的关系，
注意构造角以及研究角的范围.
变式训练
已知 cos(600)1,00900,
10
求 cos,sin
思考
对于两角差的余弦公式，适当
变换两角的形式，例如将 换
成 ,或将 换成 ,你能得
到哪些结论？
新人教A版 数学必修4 第三章 三角恒等变换
复习引入
三角函数 sin 30 sin 45 sin 60
人教版高中数学第三章1两角差的余弦公式(共17张PPT)教育课件
2
2
15
课 堂
1、
已
知
cos＝
－
5， 13
，3 2
，
则
练 习
cos
＋
6
的
值
是
＿
＿
＿
＿
；
2 、c o s 2 1 5 - s i n 2 1 5 _ _ _ _ _ _ _ ；
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
3.1.1两角差的余弦公式课件
0
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
分析： cos
cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、余 弦来表示cos(α -β )？
思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ； 2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O X
两个向量的数量积
a b a b cosθ 其中θ
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 论 归 纳
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式
C
αβ
∈[0，π
]
a x1 , y1
b x2 , y2
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
分析： cos
cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、余 弦来表示cos(α -β )？
思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ； 2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O X
两个向量的数量积
a b a b cosθ 其中θ
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 论 归 纳
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式
C
αβ
∈[0，π
]
a x1 , y1
b x2 , y2
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(