全集与补集
全集和补集的符号
全集和补集的符号1. 前言在集合论中，全集和补集是两个重要的概念。
全集是指给定问题中所涉及的所有元素的集合，而补集则是相对于某个集合而言，包含了不属于该集合的所有元素的集合。
全集和补集的符号在数学和逻辑推理中经常被使用，本文将详细介绍全集和补集的符号及其含义。
2. 全集的符号在集合论中，全集是指一个集合中的所有元素的集合。
全集的符号可以使用不同的表示方法，下面是常用的几种符号表示：•大写字母U：全集通常用大写字母U表示。
例如，如果我们考虑一个整数集合，那么全集可以表示为U={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}，其中省略号表示整数集合的无穷性。
•大括号{}：全集也可以用大括号表示。
例如，如果我们考虑一个英文字母的集合，那么全集可以表示为{a,b,c,…,z}，其中省略号表示英文字母的无穷性。
•特定集合：在某些情况下，全集可以是一个特定的集合。
例如，在一个数学问题中，如果我们只考虑正整数的集合，那么全集可以表示为正整数集合。
在使用全集的符号时，需要根据具体问题来确定全集的范围和元素。
3. 补集的符号补集是相对于某个集合而言，包含了不属于该集合的所有元素的集合。
补集的符号也可以使用多种表示方法，下面是常用的几种符号表示：•小写字母c：补集通常用小写字母c表示。
如果A是一个集合，那么A的补集可以表示为Ac。
例如，如果A={1,2,3,4,5}，那么A的补集可以表示为Ac={x | x不属于A}，即Ac为所有不属于A的元素的集合。
•求反斜杠符号：补集也可以用求反斜杠符号。
如果A是一个集合，那么A的补集可以表示为A’。
例如，如果A={a,b,c}，那么A的补集可以表示为A’={x | x不属于A}，即A’为所有不属于A的元素的集合。
•特定集合：在某些情况下，补集可以是一个特定的集合。
例如，在一个数学问题中，如果我们考虑的是一个整数集合，那么该整数集合的补集可以是其他类型的数集。
需要注意的是，补集的符号的选择应根据具体问题和约定来确定。
第四讲集合的运算补集
有理数
无理数
实 数
例3 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x＞5 }，求 ， ＞
U A＝
{ x | x ≤ 5 }． ．
UA
练习 (1) 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x＜1 }，求 ， ＜ ， (2) 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x≤1 }，求 ， ≤ ，
集合B可以认为是集合 中除去集 集合 可以认为是集合S中除去集 可以认为是集合 之后余下来的集合。 合A之后余下来的集合。 之后余下来的集合
全集
在研究集合与集合之间的关系时， 在研究集合与集合之间的关系时， 这些集合往往是某个给定集合的子集， 这些集合往往是某个给定集合的子集， 这个给定的集合叫做全集. 这个给定的集合叫做全集 全集常用符号U表示. 全集常用符号U表示. 全集含有我们所要研究的这些集 合的全部元素. 合的全部元素.
补集 设U是全集 是U的一个子集 即A⊆U), 是全集,A是 的一个子集 的一个子集(即 是全集 中所有不属于A的元素组成的集合 则U中所有不属于 的元素组成的集合 中所有不属于 的元素组成的集合, 叫做 U中子集 的补集 或余集 中子集A的补集 或余集). 中子集 的补集(或余集 记作: 记作 即:
． ．
UA
设全集为R,A={x|x<5},B={x|x>3}.求: 例4:设全集为 设全集为 求 (1)A∩B; (2)A∪B; ∪ (3) CRA, CRB;
(4)(CRA) ∩ (CRB); (5) (CRA) ∪ (CRB);
(6) CR(A∩B); (7) CR(A ∪ B);
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
读作： 读作：“A并B”
x∈A或x∈B｝ 即： A∪B ＝｛x | x∈A或x∈B｝ ∪
全集、补集
全集丶补集基础知识扫描： 1、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。
2、补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集，记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∉A} 读作：3、Venn 图：用平面上 曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．补集的Venn 图表示：4、补集与全集的性质(1)∁U U ＝____；(2)∁U ∅＝____；(3)∁U (∁U A )＝____；知识点一 补集的概念及运算例1．已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∁U A 等于( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}例2.已知全集{}8,5,2=U ，且{}2=A C u ，则集合A 的真子集个数为 Ａ 3 Ｂ 4 Ｃ 5 Ｄ 6例3.设全集{}60|,≤≤==x x A R U ，则A C R 等于 Ａ {}6,5,4,3,2,1,0 Ｂ{}60|><x x x 或 Ｃ {}60|<<x x Ｄ{}60|≥≤x x x 或知识点二 利用补集的概念求参数值例4.已知全集{}22,3,23,U a a =+-若{}{},2,5U A b C A ==,求实数a b 和的值.例5．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.知识点三 新运算定义型问题例6.定义集合间的一种运算“*”满足：A *B ＝{ω|ω＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }．若集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.巩固练习：1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}2．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是()A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．A P3．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.4．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题5．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.6．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？7.已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.1．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]2．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]3．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．4．∁U B∁U A解析画Venn图，观察可知∁U B∁U A.5．解因为B∪(∁U B)＝A，所以B⊆A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.①若x2＝3，则x＝±3.当x＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，3}，此时∁U B＝{3}；当x＝－3时，A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－3}，此时∁U B＝{－3}．②若x2＝x，则x＝0或x＝1.当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而∁U B＝{3}．综上所述，∁U B＝{3}或{－3}或{3}．6.解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．7.由题设条件知C ⊆{0,2,4,6,7}，C ⊆{3,4,5,7,10}，∴C ⊆{4,7}，∵C ≠∅，∴C ＝{4}，{7}或{4,7}．全集丶补集1.设Ｕ为全集,集合,M U N U N M ⊆⊆⊆且则 ( ) Ａ U U C N C M ⊆ Ｂ U M C ⊆N Ｃ U U C N C M = Ｄ ()U U C M C ⊆N2.设{}{}2,|20,U A x x x N +==<∈x|x 是不大于10的正整数,则U C A =＿＿＿＿. 3.已知全集为Ｕ,,,D C B B C A u u ==则A 与D 的关系是＿＿＿＿.4.已知全集{}{}{}22,4,1,1,2,7U U a a A a C A a =-+=+==则＿＿＿＿＿＿＿. 三.解答题5.设全集{}{}{}y A C A x x I I ,2,5,32,3,22==-+=，求x,y 的值.6.设全集R U =,{}m x m x A 213|<<-=，{}31|<<-=x x B ，若B C A u ⊂≠，求实数m 的取值范围.。
1.2子集、全集、补集
4、子集、真子集的一些简单性质： 、子集、真子集的一些简单性质： （1） A⊆A ） ⊆ ⊆ （2） A⊆B， B⊆C ⇒ A⊆C ） ⊆ ， ⊆ （3） A ） B， B ， C⇒A C
例1
(1)写出集合{a,b}的所有子集; (2)写出集合{a,b,c}的所有子集; (3)写出集合{a}的所有子集; (4)写出∅的所有子集. 请归纳出规律来!
若对任意x∊ ， 若对任意 ∊A，有x ∊B，则 A⊆B ， ⊆
若A不是B的子集，则记作：A⊈B（或B ⊉A）
注:图示法表示集合间的包含关系 图示法表示集合间的包含关系
A⊆B的图形语言： ⊆ 的图形语言 的图形语言：
用平面上封闭的 曲线的内部表示 集合这个图形叫 文氏图(韦恩图)
A B
2：集合相等 ：
一、子集
1、子集的概念 、 一般地，对于两个集合A 一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中任意一 如果集合A 个元素都是B中的元素，就说集合A包含于集合B 个元素都是B中的元素，就说集合A包含于集合B， 或集合B包含集合A 或集合B包含集合A， 记作：A⊆B（或B⊇A）。 记作： 读作： 包含于B 读作：A包含于B（或B包含A） 包含A 数学语言表示形式：
个元素， 中增加一个元素， 例 2、集合 A 中有 m 个元素，若 A 中增加一个元素， 则它子集的个数将增加 个
同时满足：（ ） 2 3 4 5 ；（2 a ∈ M, 则 例 3、同时满足：（ 1 M ⊆ {1，，，，} ） 6 - a ∈ M 的非空集合 M 有（ A.16 个 B.15 个 ） D.6 个 C.7 个
总结：元素个数与集合子集个数的关系: 总结：元素个数与集合子集个数的关系
集合 集合元素的个数 集合子集个数 0 1 1 2 3 4 … n个元素 个元素 2 4 8 16 … 2n
全集和补集
∁ A∪ ∁ B；（5）∁ （A∪B）。
例2：已知全集为R，A={x|-2≤ x < 3}，求∁A。
①A∩ （∁ A）=∅；
②A∪ （∁ A）=U；
③∁ （∁ A）=A；
④∁ U=∅；
⑤∁ ∅=U。
A∩B∩C
B∩C
3、已知全集U=R，集合A={x|-1< x < 1}，B={x|1≤ 4x ≤ 8}，
C={x|-4< x < 2a-7}.
（1）求A∩（∁ B）；
（2）若A∩C=A，求实数a的取值范围。
答案：（1）{x|-1< x < 0}
（2）{a| a≥4}
第一章 集合
全集和补集
全集：一般的，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集，通常记作U。
思考：全集一定包含任何元素吗？
eg:在整数范围内研究问题，Z是全集；
在实数范围内研究问题，R是全集。
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成
的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集，记作
21人，都不赞成的学生有8人。
“容斥原理”：card（A∪ ）=card（A）+card
（B）-card（A∩ ）；
Card（A∪B∪ ）=card（A）+card（B）+card
（C）-card（A∩ ）-card（B∩C）-card（C∩A）
+card（A∩B∩C）。
A∩
C∩A
A
B
C
②补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算。求集合
1.2.2 补集、全集
思考：A {x 2 x 5}, B {x m 1 x 2m 1}, B A, 求m的取值范围 .
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一.全集： 1、定义： 如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这 时S可以看作一个全集。 2、符号：U
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二.补集：
1、概念：一般地，设U是全集，AU，由U中所有不属 于A的元素组成的集合，叫做U中集合A的补集.记作CUA， 读作“A在U中的补集”. 2、符号语言： 描述法：CUA={x| x U且x A}
例2：设集合A {1 ， 3，a}, B {1, a a 1} B A
2
求a的值.
练习：A {1 ， 3，x}，B {x 2 ,1}，且B A，求x的值.
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例3：若集合P {x x 2 x 6 0}, Q {x ax 1 0}, 且Q P， 求由实数a可以取的值组成的集合 ，并写出它的所有非空 真子集.
(4)全集不是固定的，而是由所研究的对象决定的. 若解决实数范围的问题，就可以把实数集看作是全集U； 若解决有理数范围问题，就可以把有理数集看作是全集 U。
（ 5）特殊集合 ，CU U .CUU .
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（ 6）CU (CU A) A, CU (CU ) .
U
2x 1 0 , 3x 6 0
的解集为A,U R, 试求A及
A, 并把它们分别表示在数 轴上.
解 A x | 2x 1 0 , 且3x 6 0 x | 1 / 2 x 2 , x | x 1 / 2, 或 x 2 , 在数轴上表示如下 . U A
全集与补集 课件
课堂笔记
1.全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个 相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究 方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随 着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的
B．{1,3,5}
D．{2,3,4}
4 .已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范 围． 解析：由题意得∁RA＝{x|x≥－1}． (1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.
1 (2)若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<a＋3，即 ≤a<3. 2 1 综上可得a≥ . 2
图形语言
3.常见结论
(1)∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2) 性质： A ∪ ( ∁ UA) ＝ U ， A∩( ∁ UA) ＝ ∅ ， ∁ U( ∁ UA) ＝ A ， ∁ UU ＝ ∅ ， ∁ U ∅ ＝ U ， ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的深阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．
人教版
必修一
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算 第二课时 全集与补集
教学目标
1.了解全集、补集的意义． 2.正确理解补集的概念，正确理解符号“∁UA”的涵义． 3.会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题．
全集与补集_课件
解 ∁UA＝{x|－1≤x≤3}， ∁UB＝{x|－5≤x<－1 或 1≤x≤3}， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|－5≤x≤3}， ∁U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}， ∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}， 相等的集合：(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)， (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
()
A．P∩Q∩(∁RH) C．P∩Q∩H
B．P∩Q D．P∩Q∪H
(2)50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的 有20
ห้องสมุดไป่ตู้
人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人， 则既会讲英
语又会讲日语的人数为
()
A．20 B．14 C．12 D．10
解析 (1)由 f2(x)＋g2(x)＝0 知，f(x)＝0 与 g(x)＝0 同 时成立，且 h(x)≠0.
全集与补集
自学导引
1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集 合的子集 ，这个给定的集合叫作全集，常用符号 U 表 示．全集含有我们所要研究的这些集合的 全部 元素．
2．设 U 是全集，A 是 U 的一个子集(即 A⊆U )，则由 U
中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫作 U 中子集 A 的补集 (或余集 )，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U,且x∉A．} 3．补集与全集的性质 (1)∁UU＝ ∅ ；(2)∁U∅＝ U ；(3)∁U(∁UA)＝ A； (4)A∪∁UA＝U ；(5)A∩∁UA＝ ∅ . 4．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，
(A )
A．∁UA＝B C．∁UA⊇C
B．∁UB＝C D．A⊇C
补集全集的知识点
补集全集的知识点补集全集是集合论中的一个重要概念，它是指在给定的全集中，除去另一个集合中的所有元素后所得到的集合。
补集全集的知识点主要包括补集的定义、性质以及与其他集合运算的关系等。
一、补集的定义补集是指在给定的全集中，除去另一个集合中的所有元素后所得到的集合。
用符号表示为A的补集，记作A'或complement(A)。
补集的元素包括全集中不属于集合A的所有元素。
二、补集的性质1. 补集的元素属于全集中，但不属于原集合A中的元素。
2. 如果A是全集的子集，那么A的补集是空集。
3. 如果A是空集，那么A的补集是全集。
4. 补集运算满足德摩根律，即(A并B)'=A'交B'，(A交B)'=A'并B'。
5. 补集运算满足交换律和结合律。
三、补集与其他集合运算的关系1. 并集：A并B的补集等于A'交B'。
2. 交集：A交B的补集等于A'并B'。
3. 差集：A减去B的补集等于B'减去A'。
4. 对称差：A对称差B的补集等于A'对称差B'。
四、补集的应用1. 补集可以用来求解集合的包含关系。
若A是B的子集，则B的补集是A的补集的子集。
2. 补集可以用来求解集合的交集、并集、差集和对称差等运算。
3. 补集可以用来判断集合的相等关系。
若A和B的补集相等，则A 和B也相等。
4. 补集可以用来求解集合的互斥关系。
若A和B的交集为空集，则A和B互为补集。
五、补集的应用举例1. 在概率论中，补集可以用来计算事件的概率。
若事件A的概率为P(A)，则事件A的补集的概率为1-P(A)。
2. 在数据库查询中，补集可以用来排除某些元组或记录。
通过查询某个属性的补集，可以得到不符合条件的记录。
3. 在逻辑推理中，补集可以用来证明否定命题。
若命题P成立，则其补命题非P不成立。
补集全集的知识点包括补集的定义、性质以及与其他集合运算的关系等。
第1章 3.2 全集与补集
3．2 全集与补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一 全集(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素． (2)记法：全集通常记作U .知识点二 补集思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？ 答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x ∈R |x ≤1}． 梳理 补集的概念1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．( √ ) 2．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )3．设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x≤1.( × ) 4．设全集U ＝{}(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，则∁U A ＝{(x ，y )|x ≤0且y ≤0)}.( × )类型一求补集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案 C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．考点补集的概念及运算题点无限集合的补集解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案{(x，y)|xy≤0}类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝∅，(∁A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．U跟踪训练2如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案{x|0≤x≤1或x＞2}解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．命题角度2补集性质在解题中的应用例3关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x 2＋2ax ＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围． 考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 假设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <－1，－2<a < 2.解得－2<a <－1，∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤 (1)把已知的条件否定，考虑反面问题． (2)求解反面问题对应的参数的取值范围． (3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 假设集合A 中含有2个元素， 即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98且a ≠0，则集合A 中含有2个元素时，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <98且a ≠0. 在全集U ＝R 中，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a <98且a ≠0的补集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥98或a ＝0， 所以满足题意的实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥98或a ＝0.类型三集合的综合运算例4(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(∁U P)∪Q等于() A．{1} B．{3,5}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 C解析∵∁U P＝{2,4,6}，∴(∁U P)∪Q＝{1,2,4,6}．(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案{a|a≥2}解析∵∁R B＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁R B)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.即实数a的取值范围是{a|a≥2}．反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．跟踪训练4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁U B)＝{4,9}，则B等于()A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 B解析根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}.1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}考点补集的概念及运算题点有限集合的补集答案 C2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于() A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 D3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 C4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()A．Z∪(∁U N) B．N∩(∁U N)C．∁U(∁U∅) D．∁U Q考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 A5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于() A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 B1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A，求A.一、选择题1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 C解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B等于()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}考点并交补集的综合问题题点有限集合的并交补运算答案 A解析因为集合A＝{x|x＞－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2D ．2考点 补集的概念及运算 题点 由补集运算结果求参数的值 答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB ) B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )考点 交并补集的综合问题题点 用并交补运算表示Venn 图指定区域 答案 B解析 阴影部分表示集合B 与集合A 的补集的交集． 因此阴影部分所表示的集合为B ∩(∁U A )．5．已知U 为全集，集合M ，N ⊆U ，若M ∩N ＝N ，则( ) A ．∁U N ⊆∁U M B ．M ⊆∁U N C ．∁U M ⊆∁U ND ．∁U N ⊆M 考点 交并补集的综合问题题点 与集合运算有关的子集或真子集 答案 C解析 由M ∩N ＝N 知N ⊆M ，∴∁U M ⊆∁U N .6．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5} 考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 B解析 因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．7．设U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{2,3}，则实数p的值为() A．－4 B．4 C．－6 D．6考点补集的概念及运算题点与补集运算有关的参数问题答案 B解析∵∁U M＝{2,3}，∴M＝{1,4}，∴1,4是方程x2－5x＋p＝0的两根．由根与系数的关系可知p＝1×4＝4.二、填空题8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______，(∁U A)∩(∁U B)＝________.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案{x|0<x<1}{x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．∁U A＝{x|x>0}，∁U B＝{x|x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|0<x<1}．9．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁U A.(填“∈”或“∉”)考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案∈解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，∴(－1,1)∈∁U A.10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案{x|x≤1或x>2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．11．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则(∁U A )∩B ＝________.考点 交并补集的综合问题题点 无限集合的交并补运算答案 {(2,3)}解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ≠2}，∴∁U A ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}∪{(2,3)}． 又B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，∴(∁U A )∩B ＝{(2,3)}．三、解答题12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪(∁U A )＝R ，B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .考点 交并补集的综合问题题点 无限集合的交并补运算解 ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x <1或x >2}．又B ∪(∁U A )＝R ，A ∪(∁U A )＝R ，可得A ⊆B .而B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B .借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题解 (1)当m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，又A ＝{x |－1<x ≤3}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x ＞3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m ，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ， 当B ≠∅时，使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＞3或m ≤－12. 四、探究与拓展14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(∁I A ∩B )∩CB ．(∁I B ∪A )∩CC ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．(A ∩∁I B )∩C考点 Venn 图表达的集合关系及运用题点 Venn 图表达的集合关系答案 D解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .15．设全集U ＝{x |x ≤5，且x ∈N ＋}，其子集A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，且(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，求实数p ，q 的值．考点题点解 由已知得U ＝{1,2,3,4,5}．(1)若A ＝∅，则(∁U A )∪B ＝U ，不合题意；(2)若A＝{x0}，则x0∈U，且2x0＝5，不合题意；(3)设A＝{x1，x2}，则x1，x2∈U，且x1＋x2＝5，∴A＝{1,4}或{2,3}．若A＝{1,4}，则∁U A＝{2,3,5}，与(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}矛盾，舍去；若A＝{2,3}，则∁U A＝{1,4,5}，由(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}知3∈B，同时可知B中还有一个不等于3的元素x，由3x＝12得x＝4，即B＝{3,4}．综上可知，A＝{2,3}，B＝{3,4}，∴q＝2×3＝6，p＝－(3＋4)＝－7.。
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3.不等式组
2 x
3
x
1 6
0 0
的解集为A,
U=R,试求A及CUA，并把它们分别表 示在数轴上。
课堂练习 教材P9 练习T4.
作业布置 教材P10 T3,4
南师大附校 陆春怀
观察集合A,B,C与D的关系: A={菱形} B={矩形} C={平行四边形} D={四边形}
定义
在研究集合与集合的关系时, 如果一些集合是某个给定集合
的子集,则称这个集合为全集.
全集常用U表示.
A={菱形} B={矩形} C={平行四边形} D={四边形}
云翻三百六十度外加乱转三十六周的古朴招式。最后晃起修长的屁股一嗥，快速从里面射出一道奇影，他抓住奇影虚幻地一抖，一组青虚虚、黑森森的功夫『蓝雨荡圣 鳞片爪』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边狂舞，一边发出“哧哧”的猛响……。猛然间Ｓ．妃卡契思郎中急速地让自己褐黄色海马一样的提琴圣祖琥滢衫摇出 褐黄色的积木声，只见他丰盈的活似粉笔形态的手臂中，轻飘地喷出九片手掌状的雪花，随着Ｓ．妃卡契思郎中的旋动，手掌状的雪花像柿子一样在双臂上时尚地调弄 出片片光罩……紧接着Ｓ．妃卡契思郎中又连续使出二招蓝狼乱麻扑，只见他碳黑色铁锚款式的戒指中，飘然射出九团甩舞着『紫风疯精钉子矛』的龟妖状的脑袋，随 着Ｓ．妃卡契思郎中的甩动，龟妖状的脑袋像珍珠一样，朝着壮扭公主憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇斜冲过来……紧跟着Ｓ．妃卡契思郎中也翻耍着功夫像地灯 般的怪影一样朝壮扭公主斜冲过来壮扭公主突然耍动震地摇天、夯锤一般的金刚大脚一嗥，露出一副奇妙的神色，接着旋动浑圆饱满、力如河马般的霸蛮屁股，像亮蓝 色的金毛雪原驴般的一耍，怪影的饱满亮润如同红苹果样的脸瞬间伸长了五十倍，弯弯亮亮的力神戒指也忽然膨胀了四十倍。接着憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇 不断变形狂舞起来……活像蝌蚪般的粗眉毛射出淡蓝色的片片神光……如同红苹果样的脸窜出锅底色的隐使了一套，变体虎晕凌霄翻三百六十度外加疯转十三周的苍茫招式……最后抖起圆圆的极像紫金色铜墩般的脖子一笑，狂傲地从里面跳 出一道神光，她抓住神光离奇地一耍，一组黄澄澄、明晃晃的功夫¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤，一边发出“嘀嘀”的异音！。猛然间 壮扭公主急速地让自己透着青春粉嫩色泽的光滑皮肤睡出墨蓝色的转椅声，只见她如同天边小丘一样的鼻子中，快速窜出九团扭舞着¤飞轮切月斧→的脑袋状的铁锹， 随着壮扭公主的转动，脑袋状的铁锹像金钵一样在双臂上时尚地调弄出片片光罩……紧接着壮扭公主又连续使出七门晨蛇跳蚤赶，只见她长长的如同明黄色飘带一样的 宽大围巾中，变态地跳出九组摇舞着¤飞轮切月斧→的肥肠状的眉毛，随着壮扭公主的摇动，肥肠状的眉毛像弯月一样，朝着Ｓ．妃卡契思郎中矮小的粉红色海蜇一般 的嘴唇斜冲过去……紧跟着壮扭公主也翻耍着功夫像地灯般的怪影一样朝Ｓ．妃卡契思郎中斜冲过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青兰花色的闪光 ，地面变成了白
优游 优游
定义
A是S的一个子集,则由S中所有 不属于A的所有元素组成的集合 叫作S中子集A的补集
记作 CSA
即
A S
性质
(1)
S
(2)
Φ
例题讲解
1. 设全集为R,A {x x 5},
B {x x 3}. 求 CR Aa2 a 1}, 求实数a的值.