集合的运算：全集和补集
第四讲集合的运算补集
有理数
无理数
实 数
例3 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x＞5 }，求 ， ＞
U A＝
{ x | x ≤ 5 }． ．
UA
练习 (1) 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x＜1 }，求 ， ＜ ， (2) 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x≤1 }，求 ， ≤ ，
集合B可以认为是集合 中除去集 集合 可以认为是集合S中除去集 可以认为是集合 之后余下来的集合。 合A之后余下来的集合。 之后余下来的集合
全集
在研究集合与集合之间的关系时， 在研究集合与集合之间的关系时， 这些集合往往是某个给定集合的子集， 这些集合往往是某个给定集合的子集， 这个给定的集合叫做全集. 这个给定的集合叫做全集 全集常用符号U表示. 全集常用符号U表示. 全集含有我们所要研究的这些集 合的全部元素. 合的全部元素.
补集 设U是全集 是U的一个子集 即A⊆U), 是全集,A是 的一个子集 的一个子集(即 是全集 中所有不属于A的元素组成的集合 则U中所有不属于 的元素组成的集合 中所有不属于 的元素组成的集合, 叫做 U中子集 的补集 或余集 中子集A的补集 或余集). 中子集 的补集(或余集 记作: 记作 即:
． ．
UA
设全集为R,A={x|x<5},B={x|x>3}.求: 例4:设全集为 设全集为 求 (1)A∩B; (2)A∪B; ∪ (3) CRA, CRB;
(4)(CRA) ∩ (CRB); (5) (CRA) ∪ (CRB);
(6) CR(A∩B); (7) CR(A ∪ B);
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
读作： 读作：“A并B”
x∈A或x∈B｝ 即： A∪B ＝｛x | x∈A或x∈B｝ ∪
集合的三种基本运算
集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。
（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。
（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。
补集及集合的运算综合
1.3 集合的运算
1.3.2 补集及集合的运算综合
1.全集：如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究
过程中，可以将这个集合叫作全集，一般用U来表示.
2.补集：如果集合A是全集U的子集，那么，由U中不属于A的所有元素
组成的集合叫作A在全集U中的补集，记作∁UA（读作：A在U中的补集），即
{xȁ < 0或 > 1} .
2.设全集U＝{0，2，a}，集合A＝{2}，∁UA＝{0，a2}，则实数a＝
1 .
二、解答题
1.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x≤2}，求∁UA.
解：∁ UA＝{xȁ ≤ −1或 > 2}
2.设全集U＝R，集合A＝{x｜x＞2}，集合B＝{x｜－1＜x＜4}，
求：（1）A∩（∁UB），
解：∁ UB＝{0，1}
∴A∩（∁ UB）＝{0，2}∩{0，1}＝{0}
（2）（∁UA）∪（∁UB）.
解：∁ UA＝{1，3，4}
∴（∁ UA）∪（∁ UB）＝{1，3，4}∪{0，1}＝{0，1，3，4}
一、填空题
1.设全集U＝R，集合A＝{xȁ0 ≤ ≤ 1}，则∁UA＝
{2，6，7，8} ，∁UB＝
{1，2，4，6} .
2.设全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，4，7}，集合B＝
{0，2，5}，则∁UA＝
8} .
{0，2，3，5，6，8} ，∁UB＝
{1，3，4，6，7，
二、选择题
1.设全集U＝R，集合A＝{x｜x＞5}，则∁UA＝（
A.{x｜x＞5}
∁UA＝{x｜x∈U且x∉A}.
3.∁UA的图形表示：
1.1.3集合的基本运算-补集
1.1.3集合的基本运算补集（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。
（2）补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：∁U A即：∁U A ＝{x|x ∈U ，且x ∉A}.（3）补集的Venn 图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制1、求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
2、集合基本运算的一些结论：A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅，A ∩B=B ∩AA ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A ，A ∪B=B ∪A （∁U A ）∪A=U ，（∁U A ）∩A=∅若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求ð.解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ； （2）()A A C B C .解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ .（1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------ . ∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------. A B B A-1 3 59 x【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A = ，求实数m 的取值范围. 解：由A B A = ，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B = ，则(){6,7,9}U C A B = .由{5,8}A B = ，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，则()(){6,7,9}U U C A C B = ，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B = .由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B = ，()()()U U U C A C B C A B = .点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B = 与()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.【自主尝试】1.设全集{}|110,U x x x N =≤≤∈且,集合{}{}3,5,6,8,4,5,7,8A B ==,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋃.2.设全集{}{}{}|25,|12,|13U x x A x x B x x =-<<=-<<=≤<集合,求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋂.3.设全集{}{}{}22|26,|450,|1U x x x Z A x x x B x x =-<<∈=--===且, 求A B ⋃,A B ⋂,()U C A B ⋃.-2 4 m x B A【典型例题】1.已知全集{}|U x x =是不大于30的素数,A,B 是U 的两个子集,且满足{}{}()5,13,23,()11,19,29U U A C B B C A ⋂=⋂=,{}()()3,7U U C A C B ⋂=,求集合A,B.２.设集合{}{}22|320,|220A x x x B x x ax =-+==-+=,若A B A ⋃=,求实数a 的取值集合.３. 已知{}{}|24,|A x x B x x a =-≤≤=<① 若A B φ⋂=,求实数a 的取值范围；② 若A B A ⋂≠,求实数a 的取值范围；③ 若A B A B A φ⋂≠⋂≠且,求实数a 的取值范围.4.已知全集{}22,3,23,U a a =+-若{}{},2,5U A b C A ==,求实数a b 和的值.【练习】１.已知全集{}{}{}0,1,2,4,6,8,10,2,4,6,1U A B ===,则()U C A B ⋃=( )Ａ {}0,1,8,10 Ｂ {}1,2,4,6 Ｃ {}0,8,10 Ｄ Φ２.集合{}{}21,4,,,1A x B x A B B ==⋂=且,则满足条件的实数x 的值为 ( ) Ａ １或０ Ｂ １,０,或２ Ｃ ０,２或－２ Ｄ １或２3.若{}{}{}0,1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===⋂⋃⋂则(A B)(B C)＝ ( )Ａ {}1,2,3 Ｂ {}2,3 Ｃ {}2,3,4 Ｄ {}1,2,44.设集合{}{}|91,|32A x x B x x A B =-<<=-<<⋂=则 ( )Ａ{}|31x x -<< Ｂ{}|12x x << Ｃ{}|92x x -<< Ｄ{}|1x x <【达标检测】一、选择题1.设集合{}{}|2,,|21,M x x n n Z N x x n n N ==∈==-∈则M N ⋂是 ( )A ΦB MC ZD {}0２.下列关系中完全正确的是 ( )Ａ {},a a b ⊂ Ｂ {}{},,a b a c a ⋂=Ｃ{}{},,b a a b ⊆ Ｄ {}{}{},,0b a a c ⋂=３.已知集合{}{}1,1,2,2,|,M N y y x x M =--==∈,则M N ⋂是 ( )Ａ M Ｂ {}1,4 Ｃ {}1 Ｄ Φ４.若集合Ａ,Ｂ,Ｃ满足,A B A B C C ⋂=⋃=,则Ａ与Ｃ之间的关系一定是( )Ａ A C Ｂ C A Ｃ A C ⊆ Ｄ C A ⊆５.设全集{}{}|4,,2,1,3U x x x Z S =<∈=-,若u C P S ⊆,则这样的集合Ｐ共有( )Ａ ５个 Ｂ ６个 Ｃ ７个 Ｄ８个二、填空题６.满足条件{}{}1,2,31,2,3,4,5A ⋃=的所有集合Ａ的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.７.若集合{}{}|2,|A x x B x x a =≤=≥,满足{}2A B ⋂=则实数a ＝＿＿＿＿＿＿＿.８.集合{}{}{}0,2,4,6,1,3,1,3,1,0,2U U A C A C B ==--=-,则集合Ｂ＝＿＿＿＿＿.９.已知{}{}1,2,3,4,5,1,3,5U A ==,则U C U =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10.对于集合Ａ,Ｂ,定义{}|A B x x A -=∈∉且B ,Ａ⊙Ｂ=()()A B B A -⋃-, 设集合{}{}1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,10M N ==,则Ｍ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.三、解答题11.已知全集{}|16U x N x =∈≤≤,集合{}2|680,A x x x =-+={}3,4,5,6B = (1)求,A B A B ⋃⋂,(2)写出集合()U C A B ⋂的所有子集.12.已知全集Ｕ＝Ｒ,集合{}{}|,|12A x x a B x x =<=<<,且()U A C B R ⋃=,求实数a 的取值范围13.设集合{}{}22|350,|3100A x x px B x x x q =+-==++=,且13A B ⎧⎫⋂=-⎨⎬⎩⎭求A B ⋃.。
1.1.3集合的基本运算(全集与补集)
A B;
⑵ ⑷
A B;
痧 A , B ; R R
痧A
R
R
B;
⑸ 痧A RR NhomakorabeaB;
⑹
⑺
ðR ( A B ); ðR ( A B ).
小 结
ðR ( A B ) = 痧 R A
A ðR ( A B ) = 痧 R
R
B;
B . R
2.
设全集为U={2, 4, a a 1},
则由U中所有不属于A的元素组 成的集合叫作U中子集A的补集
或(余集). 记作 ðu A
即
ðu A {x x U , 且x A}.
A
U
ðu A
性质
(1) (2)
A (ðu A) U A (ðu A) Φ
例题讲解
设全集为R, A {x x 5}, B {x x 3}. 求 1.
观察集合A,B,C与D的关系: A={菱形} B={矩形} C={平行四边形}
D={四边形}
定 义
在研究集合与集合的关系时, 如果一些集合是某个给定集合
的子集,则称这个集合为全集.
全集常用U表示.
A={菱形} B={矩形}
C={平行四边形} D={四边形}
定 义
设U是全集,A是U的一个子集,
2
A {a 1, 2}, ð U A {7},
求实数a的值.
作业练习
教材P12练习T1~4
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法/）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第六百⑨拾四部分红尘域卡槽"你准备去哪里/叶静云用着它那双修长笔直の大腿漫无目の踢咯踢面前の石头/长腿划过优雅の弧度/完美の曲线让人心魂
集合的基本运算-补集 课件
题型一 补集的简单运算 【例 1】 已知全集为 U，集合 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB ＝{1,4,6}，求集合 B. [思路探索] 先结合条件，利用补集性质求出全集 U，再由补集 定义求集合 B.
解 法一 ∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 法二 借助 Venn 图，如图所示，
2．补集的性质 利用补集的定义可知，补集仍是一个集合，具有如下性质： (1)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (2)A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 拓展 补集除具有以上较为明显的性质外，还有如下两个性质： ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
题型三 补集的综合应用 【例 3】 (12 分)已知集合 A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}， 且 A ∁RB，求 a 的取值范围． 审题指导 先求∁RB → 分情况讨论 → 由A ∁RB，求a
[规范解答] ∁RB＝{x|x≤1 或 x≥2}≠∅，(2 分) ∵A ∁RB， ∴分 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论．(4 分) (1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥a， ∴a≥2.(7 分) (2)若 A≠∅， 则有2aa≤－12<a， 或22aa－－22<≥a2，. ∴a≤1.(11 分) 综上所述，a≤1 或 a≥2.(12 分)
【题后反思】 解答本题的关键是利用 A ∁RB，对 A＝∅与 A≠∅ 进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域 端点的问题．
误区警示 考虑问题不全面，等价变换时易出错 【示例】 已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2＋px＋4＝0}，求 ∁UA. [错解] 由已知得 A⊆U，设方程 x2＋px＋4＝0 的两根为 x1，x2， 所以 x1x2＝4. 当 A＝{1,4}时，p＝－5，∁UA＝{2,3,5}． 当 A＝{2}时，p＝－4，∁UA＝{1,3,4,5}．
高一数学第一章《集合的基本运算--全集与补集》知识点归纳、例题解析及课时作业
3．2全集与补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？答案老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向．梳理(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作U.知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．梳理类型一求补集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}答案 C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.答案{(x，y)|xy≤0}类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝v，(∁A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．U跟踪训练2如图所示的V enn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.答案 {x |0≤x ≤1或x ＞2}解析 A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}， 由图可得A *B ＝∁(A ∪B )(A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．命题角度2 补集性质在解题中的应用 例3 关于x 的方程：x 2＋ax ＋1＝0，① x 2＋2x －a ＝0，② x 2＋2ax ＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围． 解 假设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <－1，－2<a < 2.解得－2<a <－1，∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根， 即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集． 跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 解 假设集合A 中含有2个元素， 即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98且a ≠0，则集合A 中含有2个元素时， 实数a 的取值范围是{a |a <98且a ≠0}．在全集U ＝R 中，集合{a |a <98且a ≠0}的补集是{a |a ≥98或a ＝0}，所以满足题意的实数a 的取值范围是{a |a ≥98或a ＝0}．类型三 集合的综合运算例4 (1)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )等于()A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 答案 A解析 ∵∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}，又∵B ＝{1,2}，∴∁U B ＝{3,4}， A 中必有3，可以有1,2，一定没有4. ∴A ∩(∁U B )＝{3}．(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 {a |a ≥2}解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.反思与感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴．跟踪训练4 (1)已知集合U ＝{x ∈N |1≤x ≤9}，A ∩B ＝{2,6}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,3,7}， A ∩(∁U B )＝{4,9}，则B 等于( ) A ．{1,2,3,6,7} B ．{2,5,6,8} C ．{2,4,6,9} D ．{2,4,5,6,8,9}答案 B解析 根据题意可以求得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn 图(如图所示)，可得B ＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．解如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}答案 C2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}答案 D3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案 C4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()A．Z∪∁U N B．N∩∁U NC．∁U(∁U∅) D．∁U Q答案 A5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于()A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}答案 B1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.课时作业一、选择题1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}答案 C解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，选C.2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于() A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}答案 D解析如图，阴影部分为(∁U B)∩A，∴A＝{3,9}．3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2 D ．2答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB ) B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )答案 B解析 阴影部分表示集合B 与集合A 的补集的交集． 因此阴影部分所表示的集合为B ∩(∁U A )．5．已知U 为全集，集合M ，N ⊆U ，若M ∩N ＝N ，则( ) A ．∁U N ⊆∁U M B ．M ⊆∁U N C ．∁U M ⊆∁U N D ．∁U N ⊆M 答案 C解析 由M ∩N ＝N 知N ⊆M .∴∁U M ⊆∁U N .6．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5} 答案 B解析 因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}， 所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}． 二、填空题7．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________.答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．∁U A＝{x|x>0}，∁U B＝{x|x<1}，∴(∁A)∩(∁U B)＝{x|0<x<1}．U8．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁U A.(填“∈”或“∉”)答案∈解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，∴(－1,1)∈∁U A.9．设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤1}解析∁U A＝{x|x≤1}，∵(∁U A)∪B＝R，∴B⊇{x|x>1}，∴a≤1.10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案{x|x≤1或x>2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．三、解答题11．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x<1或x>2}．又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．12．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，求实数m 的值．解 A ＝{－1,2}，B ∩(∁U A )＝∅等价于B ⊆A . 当m ＝0时，B ＝∅⊆A ； 当m ≠0时，B ＝{－1m}．∴－1m ＝－1或－1m ＝2，即m ＝1或m ＝－12.综上，m 的值为0,1，－12.13．设全集为R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x |4<x <10}． (1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；(2)若C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围． 解 (1)∵A ∪B ＝{x |3<x <10}， ∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥10}． 又∵∁R A ＝{x |x ≤3或x ≥7}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}． (2)∵A ∩C ＝A ，∴A ⊆C .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4≥7，a －4≤3⇒⎩⎨⎧a ≥3，a ≤7⇒3≤a ≤7.∴a 的取值范围为{a |3≤a ≤7}． 四、探究与拓展14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(∁I A ∩B )∩C B ．(∁I B ∪A )∩C C ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．(A ∩∁I B )∩C 答案 D解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .15．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，求∁U (M ∪P )．解 集合M 表示的是直线y ＝x ＋1上除去点(2,3)的所有点，集合P 表示的是不在直线y ＝x ＋1上的所有点，显然M ∪P 表示的是平面内除去点(2,3)的所有点，故∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．。
人教A必修第一册第一章：集合的基本运算-全集与补集
3}．
课堂总结
补集及其 ∪ =
（4） ∩ = ∅
（5） ∩ = ( ∪ )
（6） ∪ = ( ∩ );
⊆ B ⟺ ∪ =
典例4
已知U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={2, 4, 5}, B={1, 3, 5, 7},
求A∩(CUB), (CUA)∩(CUB).
解法一：依题意可知, CUA={1, 3, 6, 7}, CUB={2, 4, 6},
∴ A∩(CUB)={2, 4, 5}∩{2, 4, 6} ={2, 4}.
素，那么就称这个集合为全集，记作U .
请指出以下例子中的全集：
（1）在实数范围内解方程： x 2 x 2 3 0.
（2）在有理数范围内解方程： x 2 x 2 3 0.
2. 补集的概念
概念
对于一个集合A，由全集U中的不属于A的所有元素组成的集合称
为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作
答案：{2,4,6}
5．设集合 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，则 A∩(∁UB)
等于________．
解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,5}，∴∁UB＝{1,3,4}．
又 A＝{1,2,3}，∴A∩(∁UB)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．
(CUA)∩(CUB)={1, 3, 6, 7}∩{2, 4, 6}={6}.
已知 = {1,2,3,4,5,6,7}, = {2, 4, 5} , = {1, 3, 5, 7} ,
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1、3、3 全集与补集
第一部分 走进预习
【 预 习 】阅读教材第 页，试回答下列问题
1、全集（universal set ）的概念
2、补集的概念：
①自然语言
②符号语言 ③图形语言
第二部分 走进课堂
【复习检测】
交集、并集的定义
①自然语言
②符号语言 ③图形语言
指出：这一节课我们研究集合间的另一种运算。
【探索新知】
全集的概念
阅读下列一段材料：
在研究集合间的关系和运算时，我们所研究的集合常常是某一特定集合的子集，这个特定的集合叫做全集，记作U.
例如：1、研究{}1|≥=x x A , {}31|<≤-=x x B 等集合时，A 、B 都是R 的子集 ， R
就是全集。
2、在研究
①{}Z n n x x A ∈==,2| , {}Z n n x x B ∈-==,12|
②{}Z n n x n A ∈==,3|，{}Z n n x x B ∈+==,13|，{}Z n n x x C ∈+==,23|
等集合时，A 、B 、C 都是Z 的子集，Z 就叫做全集。
3、在研究质数集A 与合数集B 时，质数集合A 与合数集合B 都是{}2|≥∈=n Z n U 的子集，U 就是全集。
4、在研究有理数集Q 合无理数集时，有理数集Q 和无理数集都是实数集R 的子集，U=R 就是全集。
5、在研究{}
是斜三角形x x A |= , {}是直角三角形x |x B =等集合时，A 、B 都是 {}是三角形
x U |x =的子集，U 就是全集。
补集的定义
指出：有时全集也可以规定：
例如：{
}5,4,3,2,1=U ，{}3,2,1=A 问题：集合{}5,4与U 、A 有什么关系？
结论：{}5,4是由全集U 中所有不属于A 的元素组成的集合，记作{}5,4=A C U ，A C U 叫做A 在U 中的补集。
{}A x |∉∈=且U x x A C U
在上面五个例子中，求集合A 、B 的补集。
指出：我们也可以用Venn 图表示补集
显然：A A C C U U =)(，U C U =φ, φ=U C U
φ=A A C U )(, U A A C U = )(
【例题剖析】
例1、已知U=R ，{3|-=x A ≤x ≤}4, {x x B |=≤}52>x 或
求)(B A C U , )(B A C U
)()(B C A C U U ,)()(B C A C U U
再看例1的逆向思维：
已知U=R ，{3|-=x A ≤x ≤}4，{x x B |=≤}3+>a x a 或
{x x B A C U <=4|)( ≤}φ≠+3a
求
a 的取值范围。
例2、已知{}的公约数与是3024|x x U =，{}
065|2=+-=x x x A {}
067|2=+-=x x x B
求)(B A C U ,)(B A C U )()(B C A C U U ,)()(B C A C U U 。
问题：从例1和例2的结果看，你能得出什么结论呢？ 对于这个结论，你能通过画Venn
图得到体验吗？
反思总结：。