关于“什么是投影变换矩阵”的探究

发现有颇多值得研究 之处 ， 特别 是学生提 出 ： 么样 的矩 什 阵可以称为投影变换矩阵？ 笔者与学生一起对这一 问题进
行了一 系列 的探究 ， 出了一个较为合 理的解释 。 给
苏版材的义下 ［ ］ ：类 教教中定如： ：［ ］将 像 ， 这 ：
平 面 内 图形 投 影 到 某条 直线 （ 或某 个 点 ） 的矩 阵 ， 为 投 上 称
【 ４ Ｊ ２
（ ，３ ， Ａ ７ １ ）而 Ａ’、 Ｂ’和 ｃ Ｂ ｃ’并不交于 同一点 ， 以不 所 是经过同一点的相交直线 。 从 上 述 的验 证 一 和 验 证 二 ，我 们 可 以 看 出 矩 阵
ｘＲＥ 总 立可 ：： ． Ｅ ， Ｒ 成 ，得 ｛ｋ ｙ ｄｂ
【 ｍ＝０
是 平行 投影 还 是 中心 投 影 ） 。
［ ］ 能为影换 阵 能 称投变矩？ 不
要 回答这个问题 ， 们就首先要 清楚什么是 “ 影 ” 我 投
的矩阵。 问题 ３ 什么样 的矩阵对应 的变换 可以将平 面图形正 ：
投 影 到 直 线 ｙ ｋ？ ＝ ｘ
固 园下 刊 新校 旬
将点 Ｂ １２变换为点 Ｂ’５ ｌ）而 Ａ ’ Ｂ 不平行 ， （，） （，Ｏ， Ａ 与 Ｂ’
所 以投 影 线 不 是 平 行 直 线 。 验 证 二 ： 影 线 不 是 经 过 同一 点 的相 交 直 线 。 投
ｙ＋ 则阵 ］ 的换 Ｔ ［］ ＝ｍ 矩 ［ 对 变为：］ ＝ ｋ， ： 应 ｘ ［ ： 一
（ 在立体几何中 ） 一般地 ， 用光线照射物体 ， 在某个平 面（ 地 面、 墙壁等 ） 上得到的影子叫做物体 的投影 ， 照射光线叫做 投影线 ， 影所在 的平面 叫做投影面 。一个投影应该有 三 投
个要素 ： 投影 、 投影线 、 投影面 。投影分为 中心投影和平行
投影 两 大 类 。
矩 阵 ” ？
结 ：不所 的如阵 ｂ都投变 论并 是有形 矩 ［ 是影 ｋ ｈ Ｊ
换矩阵。
我考一特 ： ［ 】 应变 Ｔ］ 们虑个例 阵 所 的换： 矩 对 ［ ：
一
从问题 ２的讨论 中我们发现 ， 一个矩 阵是否为投影变
换矩阵 ， 需要满足两个条件 ：１是否 能将平面 图形对应到 （）
１ ２
设 ｂ是 应换 阵 变 Ｔ点（变 【 ｋ 对变 矩 ， 换 将 Ｐ） ｈ ］ 则 ｘ ， ｙ
则直线 Ｐ Ｐ’垂直于直线 ｙ ２ ， Ｐ ＝ ｘ 即 Ｐ’的斜 率为 一１
．
对 应的变换作用 下所 得的图形 ， 中 Ａ（ ， ） 其 １１，
１ １
一
［＝ ］］将ｃ变为 ’’ 中 ： ｆ ［， 点， 换ｃ，， ： ：即 ｘ 】 ｘ ， 其
ｙ ’２ 是否能找到相应的投影 线（ 不论 简单起见 ， 我们考虑平行投影 中的正投影变换所对应
ｆ＿２， 发 点 ｔ ｔ直 ｙ 上 那 Ｉ ｘ 我 现 （， ） 线＝ 。 么 ＋ 们 ｙ在 ２ ｌ
Ｏ教 学 研 究
慧 第 １ ９期 ６
关 于 么 ＾ 是投影变换矩阵∥ 的探 究
沈柏 英 王
（． １ 无锡市第一 中学 ， 江苏
谧
无锡 ２ ４ ０ ） １００
无锡 ２ ４ ０ ； ． １００ ２无锡市新城中学 ， 江苏
选 修 ４ ２中对 投 影 变 换 的 描 述 不 多 ， 在 教 学 过 程 中 — 但
［ ］， 点，换（ ’ ｛。ｙ ： ［即 （变为’其 ａ ， ： ］将 ｘ ｘ ） ：＋ ｙ ， 中 ：ｄ ） ｙ ＝ｂ ｘ
而点 ｘ。 ，ｙ’ ） 在直 线 ｙ ｋ＋ ＝ ｘ ｍ上 ， ｃ＋ ｙ ｋａ＋ ｙ＋ 则 ｘ ｄ ＝ （ ｂ）ｍ对 ｘ
『＝ ａ ｃ ｋ
矩 ２所 应 变 将 （３变 点Ｃ 阵ｆ 对 的 换 点Ｃ １） 为 １ ， ｔ
在这 里 ， 我们对 比立体几何 中的定义认为 ： 投影 面与
影变换矩阵 。那么怎样 的矩 阵可 以称为投影变换矩 阵呢？ 在这个定 义中有两个关键词 ：投影” “ “ 、某条直线 （ 或 某个点 ）。探究从 “ ” 某条直线 ” 开始。
投都变后 到直。要到 ４ 对 的 影是换得 的线 只找 ［２ 应 ］ 所
２ ０筚 第 ０１
１ 箕 胃
探究 ４验证一个实例 。 ：
教 学 研 究 。
一 ２— ５ ５
即
便 用 归 纳 推 理 的 思路 进 行 探 究 。
探究 １ ：将平面 图形变换 为直线 ｙ２ ＝ ｘ的正投影变 换 所对应 的变换矩 阵。
１ ２
课本 习题 中有这样 的一个 习题 ：研究 ＡＡ Ｃ在矩 阵 Ｂ
但这 个 “ 影 变 换 ” 不 到 平 行 投影 线 或 中 心投 影 投 影 线 。 投 找
我 认 ｆ ２所 应 变 不 投 变 。 们 为： 对 的 换 是 影 换 １
【 ４ ２ Ｊ
问 ：如 ｂＪ的 阵 不 称 “ 影 换 题２ ｆ ｋｂ ｉ矩 能 能 为 投 变 形 ｌ ｋ ａ
变换 中是 否能找到相应 的投影 线即可说 明它是否为投影
变换。
问题 １投影变换矩阵所对应 的变换将平面 内图形变 ：
换 成 哪些 直线 ？
验证一 ： 投影线不 是平 行直线 。
我 不 假 矩 ｆ １平 内 形 影 直 们 妨 设 阵 将 面 图 投 到 线
矩 ｌ ２所 应 变 将 （）为 ３） 阵 ４ 对 的 换 点Ａ， 点Ａ （ ， ｆ １ １变 １ ｔ， ６ ２ Ｊ
由此 ， 我们得 到 ： １ 直线 ｙ ｋ＋ 中 ｍ ０ 即矩 阵对 （） ＝ｘｍ ＝ 应 的变 换 将 图形 投 影 到直 线 ｚｌ ， 一定 过 原 点 ； ２ ｃ ｋ， （ ）＝ ａ
ｄｋ． ＝ ｂ
【 ． 应 变 虽 将 面 形 换 直 ｙ ｆ ４ 对 的 换 然 平 图 变 为 线：， ２ ２ １ Ｊ 所 ２