运筹学——解对偶单纯形法
运筹学
1（单纯形法）例：Min Z=-2x1-x2+x3 , s.t. 3x1+x2+x360≤ x1-x2+2x310≤,x1+x2-x320≤,xj 0≥,解析：对第一、二、三个不等式添加松弛变量x4 x5 x6,则原线性问题化成标准形形式为：（略）因为B=（A4 A5 A6）是一单位矩阵，且b=(60 10 20)T>0 所以基B 是可行基，x4 x5 x6为基变量，x1 x2 x3为非基变量，基B 对应的基本可行解为 检验数02>=ξ，故当前解不是最优解，A1列中有三个元素a11 a21 a31 均为正数，取 min ()31 3 212111,,a b a b a b =min ()1 20110360,,=10故转轴元为a21,x1为进基变量，x5为出基变量，进行旋转后得下表（略）它对应的基本可行解为x=(10 0 0 30 0 10)T,其目标函数值为Z0=-20，但,032>=ξ仍不是最优解， （以下的过程跟前面一样）最后得Z0=-35，检验向量0<ξ故为最优解。故基本可行解x*=(15 ,5 ,0 )Tm 目标函数值为Z0=-35。 2（两阶段法）例 max z=3x1+4x2+2x3 s.t. x1+x2+x3+x430≤, 3x1+6x2+x3-2x40≤, x24 ≥解：化为标准形形式为min z=-3x1-4x2-2x3 s .t.分别加x5 x6 x7松弛变量，因为该线性规划的系数矩阵的系数矩阵已包含两个单位向量，就是A5=（100）T ，A6=（010）T ，第一阶段只要增加一个人工变量x8得到辅助LP 问题为min g=x8 s.t .以下略，作如下表（略），将表中第三行加到关于g 的第0行中，得到第一张单纯形表（略）按单纯形迭代，表略，第一阶段结束，得到辅助问题的一个最优解， 3（对偶单纯形法）例 min 2x1+3x2+4x3, s.t. x1+2x2+x33≥ 2x1-x2+3x34≥ x1 x2 x3 0≥,解：引进非负的剩余变量x40≥,x50≥,将不等式约束化为等式约束 直接利用对偶单纯形法求解，b2=- 4
单纯形法
单纯形法 simplex method 求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。 最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。 改进单纯形法 原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。 对偶单纯形法 1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder 和Mead发现（1965年），这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。 这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的N + 1个顶点的凸包，是一个多胞体：直
运筹学
1.用单纯形法求解下述问题，并指出问题的解属于哪一类。 2.分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出解属于哪一类 3.已知线性规划问题： （a ）写出其对偶问题； （b ）已知原问题最优解为X*=（1,1,2,0）。试根据对偶理论，直接求成对偶问题的最优解。 ?????? ?≥≥≥≤++≤+-≤++-++=3,2,117220441322..46max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x z ()?? ???? ?=≥=-+≤+≥++++=3,2,105421823..54max 32121321321j x x x x x x x x x t s x x x z j 123412412343413 min 86362336..2 2 0(1,,4) j z x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?++≥? +++≥?? +≥??+≥??≥=?
4.已知线性规划问题 其最优解为x 1=-5,x 2=0,x 3=-1. （a ）求k 的值； （b ）写出并求其对偶问题的最优解。 5.对于下述线性规划问题 已知最优解中的基变量为x 3,x 1,x 5,且已知 求：根据上述信息确定三种资源各自的影子价格 6.已知线性规划问题 当t 1=t 2=0时，求解得最终单纯形表如下表所示： 当t 1=t 2=0时，求解得最终单纯形表如下表所示： x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 5/2 ? 1 ? ??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 4..22min x x x kx x x x x x t s x x x z ??? ?? ? ?=≥≤++++≤++++≤++++++++=)5,,1(0)3(180323)2(270234)1(1803332..93648max 5432154321543215 4321 j x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z j 资源资源资源 ???? ? ?????----=???? ? ?????-103 2 396131127 131 2 1423131 ()??? ??=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03..00max 2 253232221212 14313212111543322111 j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a t s x x x c x c x t c z j
《运筹学》课后习题答案 第2章 对偶原理与灵敏度分析
一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、判断题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、写出下列线性规划问题的对偶问题 123 12312 3123123(1)2242352 373..465,,0 Min Z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩ 对偶问题：123 12312 3123123()235232342..57640,,0 a MaxW y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≤⎩ 123 1232313132(2)2433212 210..215,0,0 Max Z x x x x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪+≥⎪⎨ -=⎪⎪≥≤⎩ 对偶问题：123 1231 23123123()121015023204..2230,0,b MinW y y y y y y y y y s t y y y y y y free =++++≥⎧⎪-+≥⎪⎨+-≥⎪⎪≥≤⎩ 12312312312123(3)2323253..100,0,Max Z x x x x x x x x x s t x x x x x free =+-+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨ +=⎪⎪≥≤⎩ 对偶问题：123 123123123123()253102 21..3030,0,c MinW y y y y y y y y y s t y y y y y y free =++++≥⎧⎪-+≤⎪⎨ -+⋅=⎪⎪≥≤⎩ 123132312123(4)23332210..280,,0Min Z x x x x x x x s t x x x x free x =+-+≥⎧⎪+≤⎪⎨+=⎪⎪≤≥⎩ 对偶问题：123 123123123123()3108021 022..32030,0,d MaxW y y y y y y y y y s t y y y y y y free =+++⋅+≥⎧⎪⋅++=⎪⎨ ++⋅≤-⎪⎪≥≤⎩ 四、应用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 12121212 (1)24..75,0Min Z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ 标准型： '12 12312412 24..75,0Max Z x x x x x s t x x x x x =----+=-⎧⎪--+=-⎨⎪≥⎩
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析 第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶 1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤8 2．解： （1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.5 3．解： （1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤150 4．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥4 5. 解： 最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-14011 B ； 最优解变为130321 ===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321 ===x x x ，，，最小值变为-96； 6．解： （1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。 （2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 （3）0≤b 2≤45。 （4）最优解不变，故不需要修改生产计划。 （5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。 7. 解：
(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为 ,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件： 解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。 (2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
运筹学讲义1
《运筹学》讲义 运筹学是一门应用科学，它广泛应用现代科学技术知识、用定量分析的方法，解决实际中提出的问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。运筹学的核心思想是建立在优化的基础上。 例如，在线性规划中体现为两方面： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多？ 运筹学解决问题的主要方法是用数学模型描述现实中提出的决策问题，用数学方法对模型进行求解，并对解的结果进行分析，为决策提供科学依据。 随着计算机及计算技术的迅猛发展，目前对运筹学的数学模型的求解已有相应的软件。因此，在实际求解计算时常可借助于软件在计算机上进行，这样可以节省大量的人力和时间。
第一部分线性规划内容框架 LP问题 基本概念数学模型可行解、最优解 LP问题解的概念基本解、基可行解 基本最优解 基本方法 图解法 原始单纯形法 单纯形法大M法 人工变量法 对偶单纯形法两阶段法 对偶理论 进一步讨论 灵敏度分析──参数规划* 在经济管理领域内应用 运输问题（转运问题） 特殊的LP问题整数规划 多目标LP问题* 第一部分线性规划（Linear Programming） 及其应用 第一章 LP问题的数学模型与求解 §1 LP问题及其数学模型 （一）引例1（生产计划的问题） 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品
所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下表 该问题可用一句话来描述，即在有限资源的条件下，求使利润最大的生产计划方案。 解：设x1,x2分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于资源的限制，所以有： 机器设备的限制条件：x1+2x2≤8 原材料A的限制条件：4x1≤16 （称为资源约束条件） 原材料B的限制条件：4x2≤12 同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有 x1≥0，x2≥0 （称为变量的非负约束）显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1，x2以得到最大的利润，即使目标函数 Z=2x1+3x2的值达到最大。 综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示： maxz=2x1+3x2
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。 8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0运筹学原理单纯形法练习题
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。 问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省 ? 某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4
每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少? 五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 Xl X2 X3 X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xl a d e 1 (1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
用对偶单纯形法求对偶问题最优解
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解 摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解. 关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形 Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of The Dual Problem Abstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method 1 引言 首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点. 2 对偶问题的形式 对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题. 2.1对称形对偶问题 设原线性规划问题为 Max 1122... n n Z c x c x c x =+++
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量） ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量 的检验数 （标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将 的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解
将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 ，说明在最优生产计 划中，第 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 ，说明在最优生产计 划中，第 种资源一定还有剩余。
8．对于 来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为 ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加 个单位，相应的目标函数值增加 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 ，且 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题 （1） （2） ；
运筹学总复习
《运筹学》总复习 第1章线性规划及其对偶问题 • 基本概念 基本要素：决策变量、目标函数、约束条件 线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。 标准形式：目标函数取“max ”、约束条件取“="、约束右端项非负、决策变量非负 解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称 为线性规划的可行域，使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。 •数学建模与求解 建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择 单纯形法与对偶单纯形法： 单纯形法 对偶单纯形法 原规划基本解是可行解 原规划基本解的检验数小于等于零 无 可行解 解无界 计算： n r b । …b 9 = min{-a\a > 0] = -i- a k a 以 a 为中心元素进行迭代 以 a 为中心元素进行迭代 计算：o = max(o . o , > 0) 计算：b = min(b\b < 0) 计算:
两阶段法： 第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰
变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。在最终单纯形表中如果存在人工变量， 由无可行解，否则转第二阶段。 第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型 的目标系数，按单纯形法继续迭代。 •练习题： 1.某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利 2.某旅馆在不同时段所需服务员数如表所示： 每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅 3. min w = x + 2 x + 3 x 1 2 3 x + 2 x + 3 x = 15 s.t < 2x + x + 5x = 20 x > 0 11~3 4.用对偶单纯形法求解线性规划问题： min w = 5 x + 2 x + 4 x 1 2 3 3 x + x + 2 x > 4 s .t < 6 x + 3 x + 5 x > 12 x1 > 02 3 1 1~3 第2章整数规划与分配问题 •0-1变量的用法及建模 理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握
运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法比较
对偶单纯形法与单纯形法对比分析 1教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2•教学内容： 1对偶单纯形法的思想来源 2对偶单纯形法原理 3 •教学进程： 1讲述对偶单纯形法解法的来源： 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美 国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 2)为什么要引入对偶单纯形法： 单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问 题的效率，因为它具有以下优点： (1)初始基解可以是非可行解，当检验数都为负值时，就可以进行基的变换，不需加入人工变量，从而简化计算； (2)对于变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法可以减少计算量在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在 一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。
我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对 偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代, 减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法，只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。 一.单纯形法和对偶单纯性法 单纯形法是求解线性规划的主要方法，单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算工具。设线性规划问题为 n Max Z 二、 。力 j m “ n t/ ay」兰b（iT，..m） s.t. 店X j =0（ j =1,. . n）, 将其化为标准形式，得 Max Z= CX st N+Xs^b s.t.丿 l X,X^0 其中C=（C B，C N），C N =o=（o,o，...Q），A =（B,N），x= 第3章对偶理论和灵敏度分析 3.5对偶问题的经济解释 3.6对偶单纯形法 教学目的 正确理解单纯形表和对偶的关系 教学要求 掌握：影子价格、对偶单纯形法，从一个对偶可行，原始不可行的解出发求出最优解。 了解：单纯形表和对偶的关系，能根据单纯形表求出对偶问题的解。 教学重难点 重点：影子价格、对偶单纯形法 难点：影子价格、对偶单纯形法 教学方法 启发式教学 教学提纲 3.5 对偶问题的经济解释 3.6 对偶单纯形法 第5节对偶问题的经济解释 ――影子价格 引言：在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z二C B B-%，和检验数C N -C B B’N中都有乘子Y=C B B」，那么丫的经济意义是什么？ 设B 是｛maxz=CX|AX < b,X _ 0｝的最优基，由Yb = -C B B」b（2-12）式可知z* =C B B」b =Y*b. 对z求偏导数，得 * .:z 」* C B B=Y .:b 由上式可知，变量y*的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目 标函的最优值的变化。 y；=1.5,y；= 0.125, y；=0. 这说明是其他条件不变的情况下，若设备增加一台时，该厂按最优计划安排生产可多获利 1.5元;原材料A增加1kg，可多获利0.125元；原材料B增加1kg，对获利无影响。 从图2-1可看到，设备增加一台时，代表该约束条件的直线由①移至①’，相应的最优解 由（4，2）变为（4，2.5），目标函数z=2X 4+3X 2.5=15.5，即比原来的增大1.5。又若原材料A 增加1kg时，代表该约束方程的直线由②移至②’，相应的最优解从（4，2）变为（4.25，1.875），目标函数z=2 X 4.25+3 X 1.875=14.125。比原来的增加0.125。原材料B增加1kg时，该约束方程的直线由③移至③’，这时的最优解不变。 图2-1 习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋x4≥3 3x1＋x2＋x3＋x4≥6 x3 ＋x4＝2 x1 ＋x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） ４７ 2023年运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性 法的比较 目前，运筹学领域中的单纯性法和对偶单纯性法是两种最为常 用的线性规划求解方法。随着科技和工业的不断发展，未来的运 筹学研究也将越来越受到人们的关注。因此，在未来的2023年中，我们不仅需要掌握这两种方法的基本概念和原理，还需要深入的 了解它们的比较和应用。 第一章单纯性法的基本原理 单纯性法是一种常用的线性规划求解方法，其基本流程可以归 纳为以下几个步骤： 1. 确定一个基本可行解； 2. 判断该基本可行解是否是最优解； 3. 如果不是最优解，则选择一个入基变量和一个出基变量； 4. 对出基变量进行互换，更新基本可行解； 5. 重复执行步骤2至步骤4，直至得到最优解。 单纯性法的优点在于可快速地求得最优解，特别是在少数变量和简单约束的情况下，可以快速解决线性规划问题。但是，当规模较大或者约束条件复杂时，单纯性法很可能会陷入循环，导致计算时间过长。 第二章对偶单纯性法的基本原理 对偶单纯性法是单纯性法的一种扩展，其实质是对线性规划模型的对偶模型进行求解。其基本流程可以归纳为以下几个步骤： 1. 确定一个对偶基本可行解； 2. 判断该对偶基本可行解是否是最优解； 3. 如果不是最优解，则选择一个入基变量和一个出基变量； 4. 对出基变量进行互换，更新对偶基本可行解； 5. 重复执行步骤2至步骤4，直至得到最优解。 对偶单纯性法的优点在于可以避免陷入循环的情况，同时，还可以通过求解对偶问题来产生原问题的最优解。 第三章两种方法的比较 从计算复杂度的角度来比较单纯性法和对偶单纯性法，很明显对偶单纯性法更加高效。因为对偶单纯性法的目标函数和限制条件比原问题要少，因此需要的计算步骤相对更少。但是，在实际操作中，对偶单纯性法的计算结果通常需要进行一次转换才能得到原问题的最优解。 从求解结果的角度来比较单纯性法和对偶单纯性法，也可以发现它们的区别。在某些情况下，单纯性法得出的最优解不一定是方案的唯一最优解，而对偶单纯性法则可以直接得到原问题的唯一最优解。这说明，对偶单纯性法在一些线性规划求解问题中会更具优势。 第四章运筹学的未来 随着未来运筹学的不断发展，计算机技术的提升将成为重要的推手。未来的求解方法可能会更具智能化和自动化，使得线性规划问题的求解更加简单和高效。同时，在实际应用中，运筹学的研究也将与其他学科相结合，产生更多领域的应用。比如，在交 2013-2014（1）学期《管理运筹学A》复习題二参考答案1.对偶单纯形法与单纯形法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优 检验但不完全满足（非负）约束。 2.若原问题有最优解，那么对偶问题（一定）有最优解，且原问题与对 偶问题的最优（目标函数值）相等。 3.原问题可行，而对偶问题不可行，则原问题（无）界。 4.一般的图都具有（点）和（边）两个要素。 5.网络中从一点到另一点的所有路中各边权数之和最小的路称为（最短 路）。 6.线性规划问题的基本解一定是基本可行解。（X ） 7.用单纯形法求解标准型线性规划问题时，与检验数大于0相对应的变量都可被选作换入变量。（V ） 8.在运输问题中，只要给出一组含有（m + n -1）个非零的xij且满足 全部约束，就可以作为基本可行解。（X ） 9.表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。（V ） 10・如果网络G中不含有流f的增流链，则网络的流为最大流。 （ V ） 11.增流链一定是不饱和链，不饱和链不一定是增流链。（V ） 12.如果网络G中含有流f的增流链，则网络的流值可以增加。 （ V ） 13.网络的最小费用流与最小费用最大流是什么关系答：网络的最小费用流是指网络的流值等于某一目标流的流值时，在这所 有的流中费用最小的流；也就是在满足某一目标运输量下，所有的运输方 案中，运输费用最小的运输方案。而网络的最小费用最大流是指在网络流 值达到最大时，所有流中费用最小的流；也就是达到运输网络最大运输量 的所有运输方案中，运输费用最小的运输方案。可以看出，网络的最小费 用最大流是网络的最小费用流的一种特殊情况，即目标流的流值等于最大 流的的流值的情况。 14. 当线性规划的可行解集合非空时一定（D ） A.包含原点X=（0,0, •・・,（）） B.有界 C.无界 D.是凸集 15. 有5个产地6个销地的平衡运输问题模型具有特征（D ） A.有11个变量 B.有10个约束 C.有30约束 D.有10个基变量 根据所给的表和一组解判断是否最优解，若不是，请求出最优解。 解：（1）计算检验数（格子左上角数值） 16. 地 产地 B 2 Bs B 4 产量 A x 3 11 3 10 7 A : 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 销量 3 6 5 6 （兀3 9 册4，兀2】*22，“32，尢34）=（① 3, h 5, 4） 标准文档 运筹学课程 运筹学对偶单纯形法与单纯形法 对比分析大作业 哈尔滨工业大学工业工程系 学生姓名: 学号：11208401 指导教师： 成绩： 评语： 运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析 摘要：这篇论文主要介绍了对偶单纯形法的实质、原理、流程和适用条件等。将对偶单纯形法与单纯形法的基本思想进行对比分析，从而说明对偶单纯形法的优点和适用范围。 关键词：对偶单纯形法；对偶理论；单纯形法；基本思想 在线性规划早期发展阶段的众多重要发现中，对偶的概念及其分支是其中最重要的内容之一。这个发现指出，对于任何一个线性规划问题都具有对应的称为对偶问题的线性规划问题。对偶问题与原问题的关系在众多领域都非常有用。 （一）教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解。掌握对偶单纯形法的解题过程，理解对偶理论的其原理，了解对偶单纯形法的作用和应用范围 （二）教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3）对偶理论的实质 4）单纯形法和对偶单纯形法的比较 （三）教学进程： 一、对偶单纯形法的思想来源 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家 C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 二、对偶问题的实质 下面是原问题的标准形式以及其对应的对偶问题： 从而可以发现如下规律： 1.原问题目标函数系数是对偶问题约束方程的右端项。 2.原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数。 3.原问题一个变量在所有约束方程中的系数是对偶问题一个约束方程中 的所有系数。 三、对偶单纯形法原理 对偶单纯形法是通过寻找原问题的对偶问题的可行解来求解原问题的最 优解的方法，它的应用包括影子价格和灵敏度分析等。为了理解对偶单纯形 法为什么能够解出原方程的最优解，我们需要对对偶理论的几个基本原理有 所了解。 1.弱对偶性 如果是原问题的可行解，是其对偶问题的可行解，则恒有 证明：由于对偶方程中原问题的约束条件是各行的a i j x j之和小于等于y i 的系数b i，而对偶问题的约束条件是各行的a i j y i之和小于等于x j的系数c j， 故将和分别和比较，可得上述结论。 线性规划 如何建立线性规划的数学模型； 线性规划的标准形有哪些要求？如何把一般的线性规划化为标准形式？ 如何用图解法求解两个变量的线性规划问题？由图解法总结出线性规划问题的解有哪些性质？ 如何用单纯形方法求解线性规划问题？ 如何确定初始可行基或如何求初始基本可行解？（两阶段方法） 如何写出一个线性规划问题的对偶问题？如果已知原问题的最优解如何求解对偶问题的最优解？（对偶的性质，互补松紧条件） 对偶单纯形方法适合解决什么样的问题？如何求解？ 对于已经求解的一个线性规划问题如果改变价值向量和右端向量原最优解/基是否仍是最优解/基？如果不是，如何进一步求解？ 1、建立线性规划的数学模型： 特点： （1）每个行动方案可用一组变量（x 1，…，x n ）的值表示，这些变量一般取非负值； （2）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示； （3）有一个需要优化的目标，它也是变量的线性函数。 2、线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ 目标求极小；约束为等式；变量为非负。 min b 0 T z C X AX X ==⎧⎨ ≥⎩ 例：把下列线性规划化为标准形式： 12 1212112 max 2328 1 20,0z x x x x x x x x x =++≤⎧⎪ -+≥⎪⎨ ≤⎪⎪≤<>⎩ 解：令 13245,,x x x x x =-=-标准型为： ,3453456345738min 23()2()8 () x 1 +x 20,3,4,5,6,7,8i z x x x x x x x x x x x x i =-+--+-+=⎧⎪ ++--=⎪⎨ -=⎪⎪≥=⎩第6节对偶单纯形法
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
2023年运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法的比较
西南交大《管理运筹学A》作业答案
哈工大运筹学大作业-对偶单纯形法对比
运筹学知识点总结