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(整理)空间曲线的主法线曲面的几何性质
空间曲线的主法线曲面的几何性质目录第一章绪论 (1)第二章空间曲线的主法线曲面的曲率 (1)2.1 第一基本形式 (1)2.2 第二基本形式 (2)2.3 法曲率 (2)2.4 主曲率 (2)2.5 高斯曲率 (3)2.6 平均曲率 (3)第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 (3)3.1 渐近线 (3)3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 (3)3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 (4)3.2 曲率线 (5)3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 (5)3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 (5)3.3 测地线 (6)3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 (6)3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 (7)3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 (7)第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 (8)4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 (8)4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 (8)第五章特殊曲线的主法线曲面的性质 (9)5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 (9)5.2正螺面的几何性质 (10)致谢： (11)参考文献： (12)附录：............................................................................................ 错误!未定义书签。
第一章 绪论本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入化的研究。
通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。
因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
空间曲线和曲面的方程和性质
空间曲线和曲面的方程和性质空间曲线和曲面是我们学习高等数学时接触到的一个重要概念。
在三维空间中，任何一条曲线都可以用一条参数方程来表示，而曲面则可以用一个或者多个方程来表示。
在本文中，我们将会探讨空间曲线和曲面的方程及其性质，为我们更好地理解和应用它们打下基础。
一、空间曲线的方程和性质1. 参数方程一条曲线可以用一个或多个函数的参数形式来表示，这种表示方式叫做曲线的参数方程。
以抛物线为例，其参数方程可以表示为：x = ty = t²z = 0其中t就是参数。
2. 长度公式曲线的长度公式是通过对曲线上的每一段微小线段求长然后求和得到的。
对于弧长可微的平面曲线，其长度公式可以表示为：L = ∫ab sqrt(1 + [f'(x)]²) dx对于空间曲线，则是对其弧长进行积分：L = ∫ab sqrt([dx/dt]² + [dy/dt]² + [dz/dt]²) dt3. 曲率公式曲线的曲率代表了曲线扭曲的程度。
对于空间曲线，其曲率公式可以表示为：k = |dT/ds|其中，T是切向量，s是曲线长度。
二、空间曲面的方程和性质1. 方程的类型空间曲面可以分为三类：点，直线和曲线。
具体来说，一般来说，地球的表面就是一个曲面，可以用数学公式表示。
在三维空间中，曲面的方程可以表示为一个或多个方程的形式。
例如，球面可以用方程x² + y² + z² = r²来表示。
2. 面积公式对于曲面而言，其面积公式是通过对曲面微元面积求和得到，可表示为：A = ∫∫D |N| dS其中D是曲面的投影区域，N是微元面积的法向量，dS是微元面积。
3. 曲率公式曲面的曲率代表了曲面弯曲的程度。
在数学上，曲面的曲率函数是由曲面上每一点的两个主曲率（即最大和最小曲率）所定义的。
曲面的平均曲率可以表示为这两个主曲率之和的一半。
总之，空间曲线和曲面的方程和性质在不同的数学领域中都有广泛应用。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
空间曲线与曲面的参数方程与性质
空间曲线与曲面的参数方程与性质空间曲线和曲面是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的参数方程以及它们的性质。
一、空间曲线的参数方程与性质空间曲线是指在三维空间中由一组点构成的连续曲线。
为了描述和研究曲线的性质，可以使用参数方程来表示曲线上的点的坐标。
设曲线上的点的坐标为(x, y, z)，曲线的参数为t，则曲线的参数方程可以表示为：x=f(t)y=g(t)z=h(t)其中f(t)，g(t)，h(t)是t的函数，且在t的定义域上连续可导。
空间曲线的参数方程可以灵活地描述曲线的形状，在计算和分析上也更具优势。
根据具体的问题和曲线的特点，可以选择不同的参数方程来表达。
根据参数方程，可以计算曲线上各个点的切向量、曲率、弧长等性质。
切向量表示曲线在该点的切线方向，曲率描述曲线在该点的弯曲程度，而弧长则是曲线上两个点之间的距离。
二、空间曲面的参数方程与性质空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的连续曲面。
为了描述和研究曲面的性质，同样可以使用参数方程来表示曲面上的点的坐标。
设曲面上的点的坐标为(x, y, z)，曲面的参数为u和v，则曲面的参数方程可以表示为：x=f(u, v)y=g(u, v)z=h(u, v)其中f(u, v)，g(u, v)，h(u, v)是u和v的函数，且在参数域上连续可导。
空间曲面的参数方程可以将曲面分解成u和v两个变量的函数，对于复杂的曲面，参数方程的使用相对简单和便捷。
通过参数方程可以计算曲面上各个点的法向量、曲率、面积等性质。
法向量表示曲面在该点的法线方向，曲率描述曲面在该点的弯曲程度，而面积则是曲面上某一区域的大小。
三、空间曲线与曲面的参数方程的关系与应用空间曲线和曲面的参数方程之间存在密切的联系。
实际上，曲线可以被看作是曲面上的一条特殊轨迹。
通过曲线的参数方程，可以确定曲线在曲面上的位置和方向。
而通过曲面的参数方程，可以描述曲线所在的曲面的形状和性质。
空间曲线与曲面的切线与法线
空间曲线与曲面的切线与法线空间曲线和曲面是三维几何中重要的概念，它们的性质和特点对于理解和应用空间几何学非常重要。
在本文中，我们将讨论空间曲线和曲面的切线与法线的概念及其相关性质。
一、空间曲线的切线与法线空间曲线是由一个或多个参数方程所确定的三维图形。
在空间曲线上的任意一点，都存在一个切线和一个法线。
切线是曲线在该点处的切线方向，而法线则垂直于切线，并指向该点的曲线内侧。
切线的表示方法有两种：一是使用曲线的参数方程，确定曲线上该点的切向量；二是使用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方向。
如果曲线的参数方程为x=f(t), y=g(t), z=h(t)，则曲线上点P(t)处的切向量为：T = （dx/dt, dy/dt, dz/dt）其中dx/dt, dy/dt, dz/dt分别表示函数f(t), g(t), h(t)对t的导数。
这个向量就是曲线在点P(t)处的切线方向。
对于曲线上的任意一点P(x0, y0, z0)，可以通过计算切线的斜率来确定切线的方向。
假设P处的切线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b 为截距。
可以使用以下公式计算切线斜率：k = dy/dx = dy/dt / dx/dt其中dy/dt和dx/dt可以通过曲线的参数方程计算得到。
通过计算切线的斜率和已知的点P(x0, y0, z0)，我们可以得到曲线在该点处的切线方向。
同样地，可以根据切线斜率求得切线的截距。
除了切线，每个点处还有一个法线。
空间曲线的法线垂直于曲线平面。
法线的计算方法和切向量类似，可以使用曲线的参数方程计算得到。
二、空间曲面的切线与法线空间曲面是由一个或多个方程所确定的三维图形。
在空间曲面上的任意一点，都存在一个切平面和一个法线。
切平面与切线类似，是曲面在该点处的切平面，法线则垂直于切平面。
切平面的计算方法与切线类似。
首先，我们需要求得曲面方程的偏导数，然后使用这些偏导数构成一个向量。
以曲面方程F(x, y, z) = 0为例，该曲面上点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dF/dx(x0, y0, z0)(x-x0) + dF/dy(x0, y0, z0)(y-y0) + dF/dz(x0, y0, z0)(z-z0) = 0其中dF/dx, dF/dy, dF/dz为曲面方程F(x, y, z)对应的偏导数。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对空间曲线和空间曲面进行详细的介绍，并探讨它们的特性和性质。
一、空间曲线空间曲线是三维空间中的曲线，可以用参数方程或者向量方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点表示为参数 t 的函数，通常用向量形式表示。
向量方程则是直接用向量表示曲线上的点，一般形式为 r(t) =(x(t), y(t), z(t))，其中 x(t)，y(t)，z(t) 分别表示曲线在 x、y、z 轴上的坐标。
空间曲线可以分为直线和曲线两种形式。
直线是最简单的空间曲线，可以用一个点和一个方向向量来确定。
曲线则更为复杂，可以是一段圆弧、螺旋线或者任意曲线。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，可以用方程、参数方程或者向量方程来表示。
方程形式的空间曲面通常为 F(x, y, z) = 0，其中 F(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
参数方程和向量方程也可以用来表示空间曲面，其中参数方程将曲面上的点表示为参数 u、v 的函数，向量方程则直接用向量表示曲面上的点。
空间曲面可以分为封闭曲面和非封闭曲面。
封闭曲面是指四面都封闭的曲面，比如球体或者圆柱体。
而非封闭曲面则是有开口的曲面，比如抛物面或者双曲面。
三、空间曲线的特性和性质1. 切线与法线：空间曲线上的每个点都有一个切线和一个法线。
切线是与曲线相切的直线，其斜率等于曲线在该点的导数；法线则垂直于切线，并与切线构成曲线的法平面。
2. 弧长和曲率：空间曲线的弧长是曲线上的两点间距离。
曲率是衡量曲线弯曲程度的指标，可以通过曲线的切线和法线计算得到。
3. 参数化表示：空间曲线的参数化表示可以使曲线更加灵活，方便计算和研究。
不同的参数化方式可以得到不同的曲线形状。
四、空间曲面的特性和性质1. 曲面方程：空间曲面可以用方程、参数方程或者向量方程表示。
方程形式的曲面方程通常是一个关于 x、y、z 的等式，可以反映曲面上点的坐标特性。
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2.2第二基本形式................................. 错误!未指定书签。
2.3法曲率....................................... 错误!未指定书签。
2.4主曲率....................................... 错误!未指定书签。
2.5高斯曲率..................................... 错误!未指定书签。
2.6平均曲率..................................... 错误!未指定书签。
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3.1渐近线....................................... 错误!未指定书签。
3.1.1空间曲线的主法线曲面的渐近线方程....... 错误!未指定书签。
3.1.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件错误!未指定书签。
3.2曲率线....................................... 错误!未指定书签。
3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程....... 错误!未指定书签。
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3.3测地线.............................................................................. 错误!未指定书签。
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第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件................ 错误!未指定书签。
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第一章绪论本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入化的研究。
通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。
因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。
了解了曲面的内蕴性质就是要研究其几何性质包括曲面的弯曲程度。
所以我们首先就是要给出它们的第一基本形式和第二基本形式，进而给出它们的法曲率、主曲率、Gauss 曲率、平均曲率等来刻画曲面的弯曲程度。
再通过研究曲面上的特殊曲线：渐近线、曲率线、测地线并给出参数网是渐近线网、曲率线网、测地线网的充要条件等等来说明主法线曲面的特殊性质。
最后通过研究特殊曲线的主法线曲面来深化以上的性质，使我们对于主法线曲面有更形象更深刻的认识。
第二章空间曲线的主法线曲面的曲率2.1第一基本形式第一基本形式描述了曲面的度量性质，它可以使我们计算出曲面上曲线的长度与区域的面积。
设任意空间曲线的自然参数表示为()r s ，αβα••=为曲线上任意一点P 的主法向量，则曲线()r s 的主法曲面为(,)()()x s t r s t s β=+。
根据空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s αββτγγτβ•••⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩，则有()[()()()()](1())()()()s x s t k s s s s tk s s t s s αατγατγ=+-+=-+，()t x s β=， 则曲面的第一基本量22()()(1())(())E r s r s tk s t s τ=•=-+，0F =，1G =。
因此，空间曲线的主法线曲面的第一基本形式是：Ⅰ=2222222[(1())(())]Eds Fdsdt Gdt tk s t s ds dt τ++=-++。
2.2第二基本形式正如在研究空间曲线的时候我们不仅仅研究了弧长，还研究了曲线的曲率与挠率。
对于曲面我们也不仅仅要研究该曲面的内蕴性质，即曲面的第一基本形式所确定的几何性质还应该研究刻画曲面离开切平面的弯曲程度的量。
因此，我们引入第二基本形式来表示空间曲线的主法线曲面的弯曲性。
曲面的单位法向量s t s t x x n x x ⨯===⨯， 22(())()(()(())(()))()()()ss x t k s s k s t k s t s s t s s ατβτγ••=-+--+，()()()()st x k s s s s ατγ=-+，0tt x = 则有第二基本量分别为：22ss L r n •••=•=st M r n =•=，0tt N r n =•=因此，空间曲线的主法线曲面的第二基本形式是：Ⅱ222•••+。
2.3法曲率由第二基本形式可以知道曲面在已知点处的弯曲性仍与方向相关，即沿着不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。
所以，我们用法曲率n k 刻画曲面上一点在方向ds dt上的弯曲性，则空间曲线的主法线曲面的法曲率为：22222222n Lds Mdsdt Ndt k Eds Fdsdt Gdt •••++==++2.4主曲率曲面上已知点（非脐点）的法曲率是一个随着方向不断变化的变量，在这些变化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知点的主曲率1k 、2k 。
根据主曲率的计算公式222()(2)()0N N EG F k LG MF NE k LN M ---++-=。
即有空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式为：22222222()[(1())(())]0(1())(())N N s tk s t s k k tk s t s τττ•••-+--=-+解之得：1k =，2k = 2.5高斯曲率1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则高斯曲率是2212222()[(1())(())]M s K k k E tk s t s ττ--===-+， 它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的总的弯曲程度。
当曲面的高斯曲率是常数时，我们就称此曲面是常曲率曲面。
不难发现，曲面上任意一点都有0K ≤，则空间曲线的主法线曲面上的点不可能是椭圆点。
同时，我们也可以知道空间曲线的主法线曲面是一类直纹面。
特别地，当且仅当对于曲面上任意一点0K ≡时，有挠率()0s τ≡，即空间曲线()r s 为平面曲线时，空间曲线的主法线曲面是可展曲面。
2.6平均曲率1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则平均曲率是：2212223/2()()()()()222[(1())(())]k k L t s k s t s t k s s H E tk s t s ττττ•••++-===-+。
它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的平均的弯曲程度。
第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族3.1渐近线3.1.1空间曲线的主法线曲面的渐近线方程空间曲面上渐近曲线的微分方程是2220Lds Mdsdt Ndt ++=。
由空间曲线的主法线曲面的第二基本量可知，此类空间曲面上的渐近曲线的微分方程是220Lds Mdsdt +=，2220•••+=所得渐近线的微分方程为0ds =以及22[()()()()()]2()0t s k s t s t k s s ds s dt ττττ•••+-+=（3.1）。
整理（3.1）可得：2[()()()()]11()02()2()s k s k s s ds s ds dt s t s t τττττ•••-++=。
令1u t =，则有()()()()()2()2()du s s k s s k s u ds s s τττττ•••-=--，可以发现上式是一次线性非齐次方程。
因此，根据常微分方程的常数变易法可得到（3.1）的通解为：1t u ••==。
综上所述，空间曲面上的渐近曲线的方程为1s c =（其中1c 为常数），t ••=。
特别地，空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。
因为空间曲线的主法线曲面的法向量是s t s t x x n x x ⨯===⨯，而曲线()r s 的主法向量是()s β，故n 与()s β的夹角是2π，则曲线上任意一点处沿切方向的法曲率0n k =，即空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。
3.1.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 由3.1.1可知空间曲线的主法线曲面的渐近网的方程是220Lds Mdsdt +=，而曲纹坐标网的方程是0dsdt =，即0ds =或0dt =。
因此，若该曲面的曲纹坐标网是渐近网，则必可推出0L =。
同样的，若0L =，则曲纹坐标网的方程与渐近网的方程相同，即该曲面的曲纹坐标网就是渐近网。