角的平分线的性质知识讲解
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角的平分线的性质
角的平分线的性质一. 基础知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 .第4题第5题第6题第7题二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等 三、解答与证明21． 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.DCAO 第18题22． 如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .23． 如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .F CAE24． 如图，已知AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)若DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB 于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC=2AD；（2）求证：AB=AE+CE；（3）求证：DE平分∠MDB3.如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分∠AOB；（2）求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
角的平分线的画法及性质预习课件
性质
角的平分线上的点到 角的两边的距离相等 。
角的平分线与相对的 边形成一个等腰三角 形。
角的平分线将角平分 为两个相等的小角。
角的平分线的作法
使用量角器
首先找到角的顶点，然后使用量角器将角平分为两个相等的小角，最后通过角 的两边画出射线和交点。
使用圆规
首先以角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，与角的两边相交于两点，然后 分别以这两点为圆心，相同的半径画弧，两弧相交于一点，最后连接角的顶点 和交点。
角的平分线定理的逆定理
如果一个点到角的两边的距离相等， 则这个点位于角的平分线上。
与角的平分线相关的习题
习题1
已知角平分线上的点A到角的两边 BC和BA的距离相等，求证：角 BAC是直角。
习题2
在三角形ABC中，AD是角BAC的 平分线，E、F分别是AB、AC上 的点，且DE=DF，求证：E、F分 别位于AD的两侧。
证明方法三
01
利用角平分线的定义证明
02
根据角平分线的定义，利用角的 平分线上的点到角的两边的距离 相等，证明角的平分线性质。
04
角的平分线的拓展知识
与角的平分线相关的定理
角的平分线定理
角的平分线与平行线定理
角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等。
角的平分线与相对的平行线交于一点 ，这一点到这个角的两边的距离相等 。
在日常生活中，角的平分线也有广泛 的应用。例如，在制作风筝时，可以 利用角的平分线来平衡风筝的左右两 侧，使其在空中保持平衡。
在建筑设计、道路规划等领域，角的 平分线也经常被用来确定建筑物的位 置、道路的方向等，以确保整体布局 的协调和美观。
在数学问题中的应用
在数学问题中，角的平分线是常见的考点之一。例如，在解决三角形问题时，可 以利用角的平分线来将一个三角形划分为若干个小三角形，从而利用小三角形的 性质来解决问题。
七年级角平分线知识点
七年级角平分线知识点七年级的数学学习中，角平分线是比较重要的知识点之一，它是几何中的一个比较基础的概念。
本文将针对角平分线的定义、性质、求解方法以及应用场景等方面进行详细介绍，希望对各位学生的数学学习有所帮助。
一、角平分线的定义角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线，也称为角的平分线。
如下图所示，$BD$就是角$ABC$的平分线。
（请参见附图一）二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
如下图所示，$BP$是角$ABC$的平分线，$BD$和$BC$是该角的两边，那么有$BD=PC$，$BC=PD$。
（请参见附图二）2. 在一个三角形中，角平分线将对边分成相似的线段。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$。
（请参见附图三）3. 在一个四边形中，对角线相交于一点，当且仅当相邻角的平分线相交于该点。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，$AC$和$BD$也交于该点。
（请参见附图四）三、角平分线的求解方法1. 利用角平分线的定义和性质进行推导。
如下图所示，$BD$是角$ABC$的平分线，那么有$\angleABD=\angle DBC$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，又因为$\angle ABD=\angle DBC$，所以$\angle ABC=2\angle ABD$。
因此，当角的度数已知时，可以通过计算得到角平分线所对应的度数。
2. 利用相似三角形的性质。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$，因此可得出$BD$所对应的线段长度。
3. 利用对角线的交点进行计算。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，可以通过计算点$P$的坐标来求解角平分线。
角的平分线的性质(讲义及答案)
精讲精练
1. （1）以点 O 为圆心；适当长为半径； （2）点 M；N；大于 1 MN 的长；∠AOB 的内部； 2 （3）画射线 OP； 射线 OP 即为所求．
2. A 3. 15 cm2 4. 3 5. 3:2 6. 3 7. C 8. 110° 9. 证明：如图，过点 O 作 OF⊥BC 于点 F
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC=90°
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
BD CD（已知）
DE
DF （已证）
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEA=∠DFA=90°
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，
作法：
（1）________________，__________________画弧，交 OA
于点 M，交 OB 于点 N．
（2）分别以______，______为圆心，______________为半径
画弧，两弧在________________交于点 P．
（3）_________________________．
AD AD（公共边）
DE
DF（已证）
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）
∵AE=8 cm，AC=5 cm
∴AF=8 cm，CF=AF-AC=3 cm
∵△BDE≌△CDF
∴BE=CF（全等三角形对应边相等）
∴BE=3 cm
6
______________________________．
2. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结一、角平分线的定义在平面几何中，如果一条射线恰好把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线的定义性质：角平分线将一个角分成两个相等的角。
2. 角平分线定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么这条射线上的任意一点与角的两边构成的两个角相等。
3. 两条角平分线的交点：如果两条不同的角平分线相交于一个点，那么这两条角平分线所构成的角是相等的。
4. 角平分线的唯一性：一个角的两边上有且仅有一条角平分线。
5. 角平分线的夹角定理：角的平分线所平分的角，与角的两边构成的角互补。
6. 角平分线的垂直平分线：在一个直角三角形中，直角的平分线即为直角边的垂直平分线。
7. 角平分线的应用：在一些证明题目中，角平分线可以被运用，简化证明的过程。
三、角平分线的构造方法1. 利用直尺和圆规来画出一个角的角平分线。
2. 利用三角形特点来寻找角平分线，如利用等腰三角形的特点来构造角平分线。
3. 利用角平分线的性质来构造角平分线，如利用角平分线与直线的相交得到的相等角来构造角平分线。
四、角平分线的应用1. 利用角平分线进行角的三等分。
如在一个40度的角中，通过画出其角平分线，再进行角的三等分。
2. 利用角平分线进行证明。
如在一个几何问题中，可以利用角平分线的性质来简化证明的过程。
3. 利用角平分线进行角的构造。
如在画出一个特定角度的角时，可以利用角平分线来准确地构造。
五、角平分线的相关定理1. 角平分线的交叉定理：如果两条角平分线相交于一点，那么这两条角平分线所构成的角相等。
2. 角平分线的三线共点定理：在任意的三角形中，角的外角平分线、内角平分线和中垂线三条线相交于一点。
3. 角平分线的内切定理：三角形内切圆的切点与三角形的顶点连线所成的角等于这个角的角平分线与这个角的两边所成的角。
4. 角平分线的外角平分线定理：在一个三角形中，三个外角平分线所构成的三个角互补。
角平分线点有关的知识点
角平分线点是几何学中一个重要的概念，它与角的平分线和角的内切圆密切相关。
在本文中，我们将逐步探讨角平分线点的定义、性质以及与其他几何概念的关系。
1.角平分线点的定义：角平分线点是指一个角的两条平分线所交的点。
对于一个任意的角，它都有两条平分线，它们相交于一个点，这个点就是角的平分线点。
2.角平分线点的性质：（1）角平分线点在角的内部：根据角的定义，
平分线点一定在角的内部。
（2）角平分线点到角的边的距离相等：角的平分线点到角的两条边的距离相等。
这是因为平分线将角分成两个相等的角，而平分线点到角的边的距离就是角的内部到边的距离，所以距离相等。
（3）角平分线点到角的顶点的距离最短：角平分线点到角的顶点的距离最短。
这是因为角平分线点是两条平分线的交点，而两条平分线的交点到角的顶点的距离是最短的。
3.角平分线点与其他几何概念的关系：（1）角平分线点与角的内切圆：
角的平分线点是角的内切圆的圆心。
内切圆是与角的每一条边都相切的圆，而圆心恰好是角的平分线点。
（2）角平分线点与角的外接圆：角的平分线点是角的外接圆的圆心。
外接圆是过角的每一条边的圆，而圆心正好是角的平分线点。
综上所述，角平分线点是指一个角的两条平分线所交的点。
它具有一些特殊的
性质，如在角的内部、到角的边的距离相等以及到角的顶点的距离最短。
此外，角平分线点还与角的内切圆和外接圆有密切的关系。
通过理解和应用角平分线点的概念和性质，我们可以更好地解决与角平分线点相关的几何问题。
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角的平分线的性质(提高)
【学习目标】
1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.
2•掌握角平分线的判定及角平分线的画法.
3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分/ ADB点P是CD±一点，且/KAD于点E, PF丄BD于点F,则PE二PF.
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上要点诠释: 用符号语言表示角
的平分线的判定：
若PEL AD 于点E, PFL BD 于点F, PE二PF,贝U PD 平分/ ADB
要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图
(1) 以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于D, 交0B于E.
1
(2) 分别以D E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在/ AOB内部交于点C.
2
(3) 画射线0C.
射线0C即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等•
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点•这点叫做三角形的旁心
三角形有三个旁心•所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ ABC的内心为R '旁心为Fa, F S,P4‘这四个点到△ ABC三边所在直线距离相等・
P4
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质及判定
1、如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.
(1) 求证：PA平分/ BAC的外角/ CAM
(2) 过点C作CELAP, E是垂足，并延长CE交BM于点D.求证：CE=ED
B c N
【思路点拨】C )过P作PTL BC于T, PSL AC于S, PCL BA于Q根据角平分线性质求出
PQ=PS=PT根据角平分线性质得出即可；
(2)根据ASA求出△ AED^AAEC即可.
【答案与解析】
证明：C)过p作PTLBC于T, PSI AC于S,PQLBA于Q如图，
・••在△ ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,••• PQ=PT PS=PT
••• PQ=PS
・AP平分/ DAC
即PA平分/ BAC的外角/ CAM
R c r jV
(2)T PA平分/ BAC的外角/ CAM
•••/ DAE=/ CAE •••CEL AP, •••/ AEDM AEC=90 ,在厶AED 和厶AEC 中r ZDAE=ZCAE
*AE 二AE
L ZDEA=ZCEA
•••A AED A A AEC
・CE=ED
【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的矢键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS A AAED^AAEC注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.
举一反三：
【变式】如图，AD是/ BAC的平分线，DEIAB,交AB的延长线于点E, DF丄AC于点F,且DB二DC.
求证：BE二CF.
【答案】
证明：・DELAE, DF丄AC,AD是/ BAC的平分线,
• DE= DF,/ BED=Z DFC= 90°
一- 出：DB=DC
在RtA BDE 与Rt △ CDF 中，
、DE = DF
・R tA BDE A RtA CDF( HL)
・B E= CF
2、如图，久。
是厶ABC 的角平分线，DF 丄AB 垂足为F, DP DG A ADG A HA AED 的面
积分别为50和39,则厶EDF 的面积为：（
） A.11 B.5.5 C.7・△ EDF 的面积为5.5 【总结升华】本题求△ EDF 的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ ADGPA AED 的面积来表示△ EDF 面积.
3、（2016?湖州）如图，AB// CD, BP 和CP 分别平分/ ABC 和/ DCB , AD 过点P,且与 AB 垂直.若AD=8，则点P 到BC 的距离是（ ）
A . 8B. 6C. 4D. 2 【思路点拨】过点P 作PELBC 于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推岀 P 到BC 的距离.
【答案与解析】
解：过点P 作PELBC 于E,
•/ AB // CD , PAL AB , D.3.5
【答案】B ；
【解析】解：过D 点作DHL AC 于H,
•/ AD>A ABC 的角平分线，DF± AB DHL AC
•“ DF= DH
在 RtA EDF 和 RtA GDH 中
DE= DQ DF= DH
・ RtA EDF A RtA GDH
同理可证RtA ADF 和RtA ADH
… S A AED * SA EDF=S A ADG - S A GDH
—2 S A EDF = S A ADG - SA AED
50 39 11
C
D
・PD丄CD ,
•/BP 和CP 分另g 平分 / ABCftI/ DCB ,
•••PA二PE, PD=PE, ••• PE=PA=PD ,
•/ PA+PD=AD=8 ,
・ PA=PD=4,
・PE=4.故选C.
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的尖键.
类型二、角的平分线的性质综合应用
4、如图，P ABC的外角平分线上任一点 .求证：PB+ PO AB+ AC.
【思路点拨】在BA的延长线上取AD= AC,证厶PAD2
PAC从而将四条线段转化到同一个
A PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题
【答案与解析】证明：①当点P与点A不重合时，在BA 延长
线上取一点D,使AD= AC,连接PD.
••• P ABC的外角平分线上一点，・/ 1 = 72
・・・在厶PAD和厶PAC中
PA= PA
I
AD = AC
・△ PAD A A PAC( SAS, •- PD= PC
• • •在/\ PBD 中、PB+ PD> BD, BD= AB+ AD
・ PB+ PO AB+ AC.
②当点P与点A重合时，PB+ PC二AB+ AC.
综上,PB+ PC> AB+ AC.
【总结升华】利用角平分线的对称，性，在角两边取相同的
线段，通过(SAS构造全等三角形，从而把分散的线段集中到
同一个三角形中举一反三：
【变式】如图'四边形ABDC中，7 D=7ABD=90，点0为
BD的中点，且0A平分/ BAC
(1) 求证：0C平分7 ACD
(2) 求证:OALOC
(3) 求证：AB+CD=AC
A R
【答案】
证明：⑴过点o作0吐AC于E,
•••/ ABD=90 , 0A 平分/ BAC
•••OB=OE
・••点0为BD的中点，
・OB=OD
・OE=OD
•••0C 平分 / ACD
(2)在RtA ABO 和RtA AEO 中，
AO=AO
L OB=OE'
・RtA AB® RtA AEO( HL),
•••/ AOBM AOE
同理求出/ CODWCOE
•••/ AOCMAOE# COE= X 180° =90°,
2
・OALOC
(3 )T Rt △ ABO八Rt △ AEO
・AB=AE
同理可得CD=CE
•/ AC=AE+CE
AB+CD二AC。