中考数学压轴题专题解析---等腰三角形中的动点问题

中考数学压轴题专题解析---等腰三角形中的动点问题这节课我们学什么

1.动点等腰三角形代数法

2.动点等腰三角形三线合一与锐角三角比

3.动点等腰三角形相似转化

知识点梳理

等腰三角形常见解法：

法一：代数法，利用边相等的原则，采用距离公式，勾股定理等方法，以计算为主；法二：三线合一与锐角三角比，常见辅助线方法是作垂线构造直角三角形求解；

法三：相似转换，利用角相等转换为相似三角形求解

典型例题分析

1.动点等腰三角形----代数法；

例1.如图，已知抛物线2144

y x bx =-++与x 轴相交于A 、B 两点，

与y 轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为8,0B （）

． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；

（2）连接AC 、BC ，试判断AOC ∆与COB ∆是否相似？并说明理由；

（3）M 为抛物线上BC 之间的一点，N 为线段BC 上的一点，若//MN y 轴，求MN 的最大值；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ACQ ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案：

（1）抛物线的解析式为21

3442

y x x =-++，对称轴方程为直线3x =． （2）AOC COB ∆~∆． 在AOC ∆和COB ∆中，

90AOC BOC ∠=∠=︒

2,4,8,OA OC OA OC OB OC OB

===∴= ∴AOC COB ∆∆∽

（3）当4x =时MN 有最大值4． （4）∵抛物线的对称轴方程为3x =，可设点(3,)Q t ，则有：

AC ===AQ ==CQ =

①当AQ CQ ==10,(3,0)t Q =∴

②当AC AQ =

2,5t =-，此方程无实数根，∴此时不能构成等腰三角形；

③当AC CQ ＝

，解得4t =

∴Q 点坐标为

23(3,4,(3,4Q Q

综上所述，点Q 的坐标为1(3,0)Q

，23(3,4,(3,4Q Q 】

例2.如图，已知tan 2MON ∠=，点P 是MON ∠内一点，PC OM ⊥，垂足为点C ，2PC =，6OC =，A 是OC 延长线上一点，联结AP 并延长与射线ON 交于点B ． （1）当点P 恰好是线段AB 的中点时，试判断AOB ∆的形状，并说明理由； （2）当CA 的长度为多少时，AOB ∆是等腰三角形；

（3）设AP k AB

=，是否存在适当的k ，使得APC OBPC S k S ∆=四边形，若存在，试求出k 的

【答案：（1）AOB ∆是直角三角形．

（2）CA 31 12、

、时，AOB ∆是等腰三角形 （3）11263x k a x +=

==+．】

2、 动点等腰三角形----三线合一与锐角三角比；

例3.如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点（不与B 、

C 重合）

，过点E 作EF AE ⊥交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG AC ⊥，垂足为G ，BG 交AE 于点H ；

（1）求证：ABH ECM ∆~∆；

（2）设BE x =，EH y EM

=，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当BHE ∆为等腰三角形时，求BE 的长；

【答案：（1）略．

（2）4243x y x

=-定义域为08x （＜＜） （3）BE 的长为97

324、、．】

3、 动点等腰三角形-----相似转化；

例4.如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点30,2C ⎛⎫- ⎪⎝

⎭，且与x 轴交于点A 、点B ，若2tan 3

ACO ∠=． （1）求此抛物线的解析式．

（2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点（不与点B 重合），45MPQ ∠=︒，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当MPQ ∆为等腰三角形，求点P 的坐标．

【答案：（1）21322

y x x =--．

（2）P 坐标为(10)，或30-（）】

例5.已知在梯形ABCD 中，//AB DC ，2AD PD =，2PC PB =，ADP PCD ∠=∠，

4PD PC ==， （1）求证：//PD BC ；

（2）若点Q 在线段PB 上运动，与点P 不重合，联结CQ 并延长交DP 的延长线于点O ，如图2，设PQ x =，DO y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）若点M 在线段PA 上运动，与点P 不重合，联结CM 交DP 于点N ，当PNM ∆是等腰三角形时，求PM 的值．

【答案：

（2）82y x

=-定义域是：02x << （3）6PM =．】

A

P D C B 图1 A P D C B 图2

Q O

课后练习

练1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y ax ax c =++（a ≠0）经过点(0,4)A (3,1)B -两点，顶点为C ．

（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；

（2）将（1）中求得的抛物线沿y 轴向上平移m （0m ＞）个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D ，当ACD ∆是等腰三角形时，求点D 的坐标；

（3）若点P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针旋转90°得到线段'PO ，若点'O 恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P 的坐标．

【答案：（1）表达式为244y x x =++．顶点C 的坐标为-2,0（）．

（2）D 的坐标为（0，524+）

（3）P （2-，1-）．】

练2. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BC ⊥，9AD =，12AC =，

16BC =，

点E 是边BC 上的一个动点，EAF BAC ∠=∠，AF 交CD 于点F ，交BC 延长线于点G ，设BE x =；

（1）试用x 的代数式表示FC ；

（2）设FG y EF

=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当AEG ∆是等腰三角形时，直接写出BE 的长；

【答案：（1）35

CF x = （2）343:20(016)551004x y x x x x

⎛⎫=-=<≤ ⎪-⎝⎭．（3）1012.57BE =、、．】

B

B